2022-2023学年湖北省孝感市重点高中教研协作体高二上学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖北省孝感市重点高中教研协作体高二上学期期中联考数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设i为虚数单位，复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用复数的代数运算法则，即可求出，再根据共轭复数的定义即可求得答案.
【详解】，则=.
故选：B
2．己知，若直线：与直线：平行，则它们之间的距离为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【分析】结合已知条件，利用直线间平行关系求出参数，然后利用平行线间的距离公式求解即可.
【详解】因为直线：与直线：平行，且，
所以，即，
此时直线：，：，即，
由平行线间的距离公式可知，.
故选：A.
3．A地的天气预报显示，A地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生0-9之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：
102 798 391 925 173 845 812 529 769 683
231 307 592 027 516 588 730 113 977 539
则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有可以通过列举得到共4组随机数，根据概率公式，得到结果．
【详解】在20组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的可以通过列举得到共5组随机数：
798，769、588、 977，共4组随机数，
所求概率为，
故选：D．
4．已知直线l过点，且方向向量为，则点到l的距离为（ ）
A．B．4C．D．3
【答案】A
【分析】根据直线一个方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算，代入点到直线的距离公式计算即可．
【详解】直线的一个方向向量为，取直线一个单位方向向量为
，
又为直线外一点，且直线过点， ，
，
点到直线的距离为
故选：A．
5．从空中某个角度俯视北京冬奥会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平面直角坐标系中，下列直线系方程（其中为参数，）能形成这种效果的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据图象可由原点到直线的距离为定值判断即可.
【详解】原点到直线的距离为不是定值，故A错误；
原点到直线的距离为不是定值，故B 错误；
原点到直线的距离为定值，故C正确；
原点到直线的距离为不是定值，故D错误；
故选：C.
6．设向量，其中O为坐标原点，，若A，B，C三点共线，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
【答案】D
【分析】由，，的坐标，写出，的坐标，由A，B，C三点共线，得，共线，得，利用基本不等式求出的最小值.
【详解】因为，，，
所以，，
又因为A，B，C三点共线，所以，共线，即，
得，
又因为，，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.
故选：D.
7．如图，正四棱台中，点E，F，G分别是棱的中点，则下列判断中，正确的是（ ）
A．B，D，E，G共面B．平面C．平面D．平面
【答案】D
【分析】根据正棱台的概念及正棱锥的性质结合条件逐项分析即得.
【详解】延长正四棱台的侧棱相交于，
则三棱锥为正四棱锥，
连接，因为，所以四点共面，
由异面直线的定义知，直线与直线是异面直线，
故B，D，E，G不共面，A不正确；
因为分别是棱的中点，
所以，由正棱锥的性质可知，
所以，即平面，故B不正确；
因为点分别是棱的中点，
所以，，
设，由正棱台的性质知，平面，平面，
∴，平面，平面，
∴平面，显然平面与平面不平行，故C不正确；
因为，平面，平面，
所以平面，故D正确.
故选：D.
8．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，点P为椭圆C的上顶点，直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的短轴长为（ ）
A．2B．4C．3D．6
【答案】B
【分析】由题意得到方程组①和②，即可解出a、b，求出短轴长．
【详解】椭圆的面积，即①
因为点P为椭圆C的上项点，所以
因为直线与椭圆C交于A，B两点，不妨设，则且，所以
因为的斜率之积为，所以，把代入整理化简得：②
②联立解得：．
所以椭圆C的短轴长为．
故选：B
二、多选题
9．随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数.设事件“第一次为偶数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为偶数”，则（ ）
A．A与B互斥B．C．A与C相互独立D．
【答案】BCD
【分析】利用古典概型的概率公式求出、，即可判断B；根据互斥事件的定义即可判断A；根据相互独立事件的定义即可判断C；根据事件表示第一次为偶数或第二次为奇数，求出此事件的对立事件的概率即可求出，即可判断D.
【详解】解：由题意可得，，
所以，故B正确；
因为事件、可以同时发生或都不发生，故两事件不是互斥事件，故A错误；
因为事件、互不影响，所以、为相互独立事件，
则，
因为事件表示第一次为偶数且第二次为偶数，
所以，
又，所以与相互独立，故C正确；
事件表示第一次为偶数或第二次为奇数，
它的对立事件为第一次奇数且第二次都是偶数，
所以，故D正确.
故选：BCD.
10．圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦所在直线方程为
B．过上任意一点P作圆的切线，则切线长的最小值为
C．公共弦的长为
D．圆与圆C关于直线
【答案】ABD
【分析】A选项，两圆方程作差即可求出公共弦方程；B选项，设上任意一点P为，设切点为，则，即可求出切线长的最小值；C选项，求出一个圆的圆心到公共弦的距离，利用垂径定理计算即可；D选项，求出直线的斜率和中点即可验证.
【详解】因为圆：和圆的交点为A，B，
作差得，
所以圆与圆的公共弦AB所在的直线方程为，故A正确；
设上任意一点P为，过点作圆的切线，
则，设切点为，则
，
当时，.所以B正确.
圆化为标准方程为：，
则圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
圆与圆的公共弦AB的长为，故C错误；
圆的圆心为，
圆化为标准方程为，圆心
若圆与圆C关于直线，则
则关于直线的对称点为，
则，的中点为在直线上，
所以圆与圆C关于直线.
故选：ABD.
11．已如椭圆的左，右两焦点分别是，其中，直线与椭圆交于A，B两点．则下列说法中正确的有（ ）
A．若，则
B．若的中点为M，则
C．的最小值为
D．若，则椭圆的离心率的取值范围是
【答案】BD
【分析】对于A，C，根据直恒过定点，结合椭圆的定义即可判断；对于B，用点差法即可得到结果；对于D，根据向量的坐标运算，结合椭圆的定义及离心率的定义代入计算即可判断.
【详解】对于选项A，直线恒过点，即左焦点，
由椭圆的定义可知：的周长为：
，
∴
所以A不正确
对于选项B，设，所以有
，两式作差可得
设，因为的中点为M，所以，
因此，所以B正确；
对于选项C，因为直线过定点，但是不包括直线，
因为只有当时，才有最小值，所以C不正确；
对于选项D，，
而，所以，
显然
而，
所以，故D正确，
故选：BD
12．正方体的棱长为2，动点P，Q分别在棱上，将过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，设，，其中，下列命题正确的是（ ）
A．当时，S的面积为
B．当时，S为等腰梯形
C．当时，以为顶点，S为底面的棱锥的体积为定值
D．当时，S为矩形，其面积最大值为
【答案】BCD
【分析】根据正方体截面的特征，结合各个选项逐一分析判断即可得出答案.
【详解】解：对于A，当时，为的中位线，，
∵，∴，
∴S为等腰梯形，过P作于E，如图，
∴，∴，∴，
∴，故A不正确；
对于B，当时，，即，
∵，∴，∴S为等腰梯形，故B正确；
对于C，当时，以为顶点，S为底面的棱锥为，
当时，以为定点，S为底面的棱锥为，如图，
，故C正确；
对于D，当时，点P与点B重合，∴，
如图，此时S为矩形，当点Q与点重合时，S的面积最大，，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．已知向量，且，则___________．
【答案】10
【分析】应用向量线性运算的坐标表示得，再由向量垂直有，应用坐标表示求参数x，即得坐标，应用坐标公式求其模长.
【详解】由题设，，又，
所以，可得，
则，故.
故答案为：
14．函数的图象与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是___________．
【答案】
【分析】画出函数的图象与函数的图象，结合图象求得的取值范围.
【详解】解：，即，即，
表示圆心在原点，半径为的圆在轴上方的部分（含点），
画出函数的图象与函数的图象如下图所示，
由消去并化简得，
令，解得，
由于函数的图象与函数的图象有两个交点，
结合图象可知，的取值范围是，即.
故答案为：
15．排球比赛的规则是5局3胜制，在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率均为，若前2局结束后乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是___________．
【答案】
【分析】最后乙队获胜，则需要在剩下的三局比赛中赢一局，分情况计算概率即可.
【详解】最后乙队获胜，则需要在剩下的三局比赛中赢一局即可．
若第三局乙队获胜，其概率为；
若第三局乙队负，第四局乙队获胜，其概率为；
若第三､四局乙队负，第五局乙队获胜，其概率为．
所以最后乙队获胜的概率为．
故答案为：．
四、双空题
16．已知正方体的所有顶点均在体积为的球O上，则该正方体的棱长为___________，若动点P在四边形内运动，且满足直线与直线所成角的正弦值为，则的最小值为___________．
【答案】 2
【分析】先利用正方体体对角线与外接球半径的关系求得正方体的棱长，再由题设条件推得，即点的轨迹是一段弧，从而求得，进而可得的最小值.
【详解】设正方体的棱长为，球的半径为，
则由得，所以，故，
因为，所以与所成角的正弦值也是，即，
又因为面，面，所以，
故，即，解得，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆与四边形内的一段弧，如图所示，
设正方形的中点为，连接，
因为，所以，
所以，即.
故答案为：；.
.
五、解答题
17．如图，在空间四边形中，己知E是线段的中点，G在上，且．
(1)试用表示向量；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）由（1）可得，根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得．
【详解】（1）∵，
∴，
∴又
∴
（2）由（1）可得知
．
18．已知圆C的圆心为，直线与圆C相切．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l过点，被圆C所截得的弦长为2，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由题意，根据点到直线距离公式，求出半径，进而可得圆的方程；
（2）先考虑斜率不存在的情况，由题中条件，直接得直线方程；再考虑斜率存在的情况，设的方程为，根据圆的弦长的几何表示，得到圆心到直线的距离，再根据点到直线距离公式列出方程求解，即可得出斜率，求出对应直线方程.
【详解】（1）因为直线与圆C相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即圆心到直线的距离为
∴圆C的方程为：；
（2）当l斜率不存在时，l的方程为，
易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意，所以；
当l斜率存在时，设l的方程为，
则．
又直线l被圆C所截得的弦长为2，所以，则，
所以，解得，
所以直线l的方程为．
综上：l的方程为或
19．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值，并求样本成绩的第80百分位数和平均数；
(2)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．
【答案】(1)，第80百分位数为86，平均数为74；
(2)，.
【分析】（1）由频率分布直方图的性质即可求解；
（2）由和组的平均数和方差即可求得总平均数和总方差.
【详解】（1）∵每组小矩形的面积之和为1，
∴
解得：
成绩落在内的频率为．
落在内的频率为．
设第80百分位数为m
由，得，故第80百分位数为86.
设平均数为，由图中数据可知：
.
（2）由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为．
故,
.
所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是23．
20．已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的面积．
(1)求A；
(2)求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角形面积公式结合正弦定理、余弦定理得到，得到；
（2）法一：利用余弦定理得到，利用基本不等式得到，结合，求出周长的取值范围；
法二：由正弦定理化边为角，结合三角函数恒等变换得到，
由，得到，求出周长的取值范围.
【详解】（1）由题意得：
，
由正弦定理得：，
根据余弦定理可知，又
所以，得，
因为，
所以；
（2）法一：，
因为，即，
即，解得：，当时等号成立，
又，
所以，
所以，
综上，周长的取值范围．
方法二：=由正弦定理．
∴又．
∴
∵，∴
∴，
∴，
∴．
综上，周长的取值范围．
21．如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，O为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的正弦值；
(3)线段上是否存在Q，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，.
【分析】（1）由面面垂直的性质定理即可证明；
（2）利用向量法求得两平面的法向量的夹角余弦值，再求正弦值即可；
（3）求在平面法向量上的投影即可.
【详解】（1）∵，O为的中点，∴，
∵侧面底面，侧面底面，
而平面，
∴平面.
（2）连接，∵底面为直角梯形，
其中，
∴，又平面，
∴以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系，如下图所示：
，
设平面的法向量，
则，取，得，
易知平面，则是平面的法向量，
设二面角夹角为，
则，
则，
∴两平面夹角的正弦值为.
（3）设线段上存在，使得它到平面的距离为，
，
∴Q到平面的距离，
解得或（舍去）
则，则．
22．生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点现椭圆C的焦点在x轴上，中心在坐标原点，从左焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到右焦点，这束光线的总长度为4，且椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为A、B．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P在椭圆上，求线段的长度的最大值及取最大值时点P的坐标；
(3)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，的斜率分别为，若，证明：直线l过定点，并求出定点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析，定点的坐标为
【分析】（1）根据题意，得到，再利用离心率，即可求出，得到椭圆C的方程.
（2），设，①，利用②，把②代入①，得
，进而利用二次函数的性质，即可求出，以及取最大值时点P的坐标.
（3）设直线l的方程为，则，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理进行消参，等参数，进而化简，即可得与的关系，进而，代入直线方程，可得，最后得到所求的直线的必过点.
【详解】（1）解：由题意可知，
则，
所以，所以
（2）由（1）得椭圆C的方程为，则，设，
则，
因为点P在椭圆上，
所以，
则，
则，
所以当时，，
此时，
所以；
（3）证明：，
设直线l的方程为，
联立，消y得，
则，
则
因为，
则，
即，
即，
即，
即，
化简得，
解得或，
时过点A，舍去
所以，
所以直线l得方程为，
所以直线l过定点．