【数学】湖北省鄂州市部分高中教科研协作体2024-2025学年高二上学期期中考试试卷（解析版）

这是一份【数学】湖北省鄂州市部分高中教科研协作体2024-2025学年高二上学期期中考试试卷（解析版），共99页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，设直线的倾斜角为，直线经过点 ,
则直线的斜率 , 则有 ,
而 ，则有.故选: A
2. 在四棱柱中，若，，，点为与的交点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
,故选：C.
3. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】易知圆可化为，可得，即；
又在圆外部，可得，解得；可得.故选：B.
4. “五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛.若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为约定连胜两场者赢得比赛，所以比赛6场后甲赢得比赛情况为：
第一场甲胜，第二场乙胜，第三场甲胜，第四场乙胜，第五场甲胜，第六场甲胜，
所以所求概率为.
故选：C.
5. 直线与圆的位置关系是（ ）
A. 相离B. 相交
C. 相切D. 无法确定
【答案】B
【解析】由，所以直线恒过定点1,0，
因为，所以点1,0在圆的内部，
所以直线与圆相交. 故选：B.
6. 已知直线，，，若且，则的值为（ ）
A. B. 5C. -7D. 7
【答案】D
【解析】根据题意，直线，，，
若，则有，解可得，则，
若，则有，解可得，故.
故选：D.
7. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在点，使以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解法一：圆的方程化标准方程为，所以圆是以为圆心，1为半径的圆.设，由以为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，得关于的不等式有解，即有解，所以，解得或.故选：B.
解法二：圆的方程化标准方程为，所以圆是以为圆心，1为半径的圆.又直线上存在点，使以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，
所以只需圆与直线有公共点即可.
由，解得或.故选：B.
8. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，为棱的中点，且，，若点到平面的距离为，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由题意得：因为，为中点所以
又，与交于点A，平面，平面
所以平面
以点为原点，，的方向分别为x，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
故，所以
所以
又，，设平面的法向量，
则令，则，，所以.点到平面的距离为，解得或（舍）
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则相互独立
D. 若相互独立，则
【答案】AC
【解析】对于A，若，则，A正确；
对于B，若，则事件互斥，所以，B错误；
C选项，因为，所以，则相互独立，C正确；
D选项，若相互独立，则相互独立，且，
所以，D错误．
故选：AC．
10. （多选）在正方体中，，，则（ ）
A. 若，则点P的轨迹为线段
B. 若，则点P的轨迹为连接棱AD的中点和棱中点的线段
C. 若，则三棱锥的体积为定值
D. 若，则与平面所成角的余弦值的最大值为
【答案】BC
【解析】以点A为坐标原点，AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，
，
对于A选项，当，时，则三点共线，
即点P的轨迹为线段，A错；
对于B选项，若，即点，此时，点P的轨迹为连接棱AD的中点和棱中点的线段，B对；
对于C选项，若，即点，其中，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，又，
则点P到平面的距离为为定值，
因为的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，C对；
对于D选项，若，则，其中，
易知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
当x=1时，取最小值，此时取最大值，且，
则，
因此当时，则与平面所成角的余弦值的最大值为，D错.
故选：BC.
11. 若点的坐标是，圆关于直线对称，是圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 点在直线上B. 的取值范围是
C. 以为直径的圆过定点D. 若直线与圆切于点，则
【答案】AC
【解析】圆即，
则圆心，半径，
因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上，
所以，即，所以点在直线上，故A正确；
令，因为是圆上的动点，所以，
解得，所以的取值范围是，故B错误；
因为，且点的坐标满足方程，
即点、都在直线上，当、不重合时，，所以，
则以为直径的圆过定点，当、重合时，也满足题意，
故以为直径的圆过定点，故C正确；
由直线与圆相切，所以，
所以要使取最小，只要最小
又的最小值就是点到直线的距离，
所以，即，故D错误.
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若，则______.
【答案】
【解析】∵，，，
∴，∴，∴.故答案为：.
13. 若圆与曲线有两个公共点，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】圆的圆心为坐标原点，关于轴对称，
因为为偶函数，函数图象关于轴对称，所以曲线的图象也关于轴对称，
所以只需研究与圆只有一个交点即可，
当与圆相切时，则，
当与圆相交时（只有一个交点），则，
综上可得的取值范围为.
故答案为：
14. 先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子，记向上的一面点数分别为a，b，则函数是定义域为R的偶函数的概率为______.
【答案】.
【解析】根据题意，先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子，记向上的一面点数分别为a，b，则a、b都有6种情况，故的可能情况有种，
若函数是定义域为R的偶函数，则为正偶数，
则符合题意的有，
，共13种情况，
故是定义域为R的偶函数的概率.故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 直线与直线相交于点P，直线l经过点P.
（1）若直线，求直线l的方程；
（2）若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.
解：（1）联立得即.
因为，不妨设直线l的方程为，
将点代入，得，
所以直线l的方程为.
（2）当直线l经过坐标原点时，直线l的方程是，即；
当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为，
将点代入，得，
所以直线l的方程为，即.
综上所述，直线l的方程是或.
16. 已知圆和点.
（1）过点作一条直线与圆交于两点，且，求直线的方程；
（2）过点作圆的两条切线，切点分别为，求所在的直线方程.
解：（1）圆的标准方程为，圆心为，半径为，
所以圆心到直线距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时圆心到直线的距离为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由题意可得，解得，
此时直线AB的方程为，即，
综上所述，直线的方程为或；
（2）因为，，
所以以点为圆心，为半径为圆的方程为，
联立，两式相减整理可得：，
即EF所在的直线方程为.
17. 如图，在四棱锥中，，，，点为棱上一点．

（1）证明：；
（2）当二面角的余弦值为时，求．
（1）证明：因，所以，所以，
又，且平面，所以平面，
又平面，所以．
（2）解：因为，所以，则．
由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．
可知，
设，则，
设平面的一个法向量n1=x1,y1,z1，则即
令，解得，，故，

设平面的一个法向量为，
由，得令，解得，故，
所以，
即，整理，得，解得或（舍去）．
故．
18. 有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率．
（1）恰有两名同学拿对了书包；
（2）至少有两名同学拿对了书包；
（3）书包都拿错了．
解：（1）设4名同学的书包分别为A，B，C，D，4名同学拿书包的所有可能可表示为
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
共有24种情况． 恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，分别为
，，，，，，
故其概率为．
（2）至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，分别为
，，，，，，，
故其概率为．
（3）书包都拿错了包含9个样本点，分别为
，，，，，，，，，
故其概率为．
19. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图一，球的半径为，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过的圆，同理，圆，的劣弧的弧长分别记为，曲面（阴影部分）叫做球面三角形，若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为.
（1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积；
（2）若将图一中四面体截出得到图二，若平面三角形为直角三角形，，设，，.
①求证：；
②延长与球交于点，连接，若直线与平面所成角分别为，，，，为中点，为中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值.
（1）解：因为平面，平面，平面两两垂直，所以，
所以球面三角形ABC的面积；
（2）①证明：由余弦定理可得：，且,
所以，
即，
消去，则有：
即；
②解：由题意可知是球的直径，则有,
又，所以平面，
又因为平面，所以,
又因为，所以平面，平面，所以，
又因为直线与平面所成的角分别为，，所以，
不妨令，则，，
又因为,,,
以为坐标原点，以所在直线为轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系：
设，
则
可得，
则，，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，所以；
设平面的一个法向量为，则，
取，则，所以，
要使取最小值，则取最大值，
因为
令，则，
所以
当且仅当时等号成立，
则的最大值为，
所以取最小值为.