新疆吐鲁番市2024-2025学年高一下期中测试数学试卷（解析版）

这是一份新疆吐鲁番市2024-2025学年高一下期中测试数学试卷（解析版），共8页。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．作答非选择题时，将答案填写在答题卡上，写在本试卷上无效.
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1. 已知，，则点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设,则，
解得.
故选:B
2. 已知，是它的共轭复数，则的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】复数，则，所以.
故选：C
3. 已知的内角所对的边分别为，若，则（ ）
A. B. C. 6D.
【答案】A
【解析】由正弦定理，整理得
故选：A．
4. 已知，，则在上的投影向量为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】在上的投影向量为．
故选：A．
5. 已知复数，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】，
则.
故选：B.
6. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，
，底边长，高，
所以，
直角三角形的周长为．
故选：A．
7. “景德镇大碗”，正式名称为景德镇昌南里文化艺术中心，其设计灵感来源于宋代湖田窑影青斗笠碗，造型庄重典雅，象征着“万瓷之母”.大碗高，底部直径，口部直径.若将其视为圆台，请估计该“世界第一大碗”的容积（单位：）是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】依题意，所求容积为（）.
故选：A
8. 在中，．若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以为的中点，所以．
又，所以，所以，
所以，
所以，所以．
故选：C
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. （多选）下列选项中，正确的是（ ）
A. 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
B. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
C. 以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所得的旋转体是圆锥
D. 用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面
【答案】CD
【解析】对于A，以直角梯形不垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体不是圆台，故A错误；
对于B，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故B错误；
对于C，根据圆锥的定义易得C正确；
对于D，由球的截面圆的性质可得,故D正确.
故选：CD.
10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABD
【解析】因为向量，，若，则，所以，故A正确；
若，则，所以，故B正确；
若，解得，故C错误；
若，则，所以，故D正确；
故选：ABD.
11. 若是复数，其在复平面内对应的点为，下列说法正确的是（ ）
A. 为纯虚数
B. 若，则
C. 若，则的轨迹是以为圆心，半径为1的圆
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，若，不是纯虚数，故A错误
对于B，因为，所以，故B正确
对于C，设即，
表示圆心在，半径为1的圆，故C正确
对于D，，设，则
，故D正确
故选：BCD.
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 若复数，则z在复平面内对应的点的坐标为___________.
【答案】
【解析】复数，
所以复数在复平面内对应的点的坐标为.
故答案为：
13. 已知向量，满足，，且，则，夹角为_______.
【答案】
【解析】向量，，则，解得，
因此，而，所以.
故答案为：
14. 随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图，已知该圆锥的高为3米，圆柱的高为4米，底面直径为8米，该蒙古包的表面积是_______（不含底面），体积是_______.
【答案】；
【解析】依题意，，，又,
所以该蒙古包的表面积为（）；
蒙古包的体积为（）.
故答案为：；
四、解答题 (本大题共 5 小题，共 77 分)
15. 化简下列各式：
（1）；
（2）．
（3）．
解：（1）．
（2）.
（3）.
16. 已知复平面内表示复数的点为．
（1）若复数是实数，求实数的值；
（2）若复数是纯虚数，求实数的值；
（3）若点位于上，求实数的值．
解：（1）复数是实数，则，
所以或.
（2）复数是纯虚数，
则，所以.
（3）复数对应的点在直线上，
则，所以.
17. 已知.
（1）求点的坐标和；
（2）求夹角的余弦值.
解：（1）设，而点，则，
由，得，解得，点的坐标为；
，，，所以.
（2）由（1）知，而，
所以.
18. 已知分别为三个内角的对边，.
（1）求；
（2）若，的面积为，求、.
解：（1）根据正弦定理，
变为，即，
也即，
所以．
整理，得，即，
所以，
所以，则．
（2）由，，得．
由余弦定理，得，
则，所以．则．
19. 如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中为圆心，直径的长为，两点在半圆弧上，且，设；
（1）当时，求四边形的面积.
（2）若要在景区内铺设一条由线段，，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值.
解：（1）连结，则
四边形的面积为
（2）由题意，在中，，由正弦定理
同理在中，，由正弦定理
令
时，即，的最大值为5