2026届高考一轮复习基础练数学第六章数列(第4节 数学归纳法)

这是一份2026届高考一轮复习基础练数学第六章数列(第4节 数学归纳法)，共7页。试卷主要包含了[人A选必二P52习题4，[人A选必二P51习题4等内容，欢迎下载使用。
知识点64：数学归纳法
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数学归纳法的证明步骤：（1）证明当n=n0(n0∈N∗)时命题成立；（2）假设当n=k(k≥n0,k∈N∗)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
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1.[人A选必二P52习题4.4第7题变式]已知 x>−1，n∈N∗，用数学归纳法证明：(1+x)n≥1+nx.
2.[人A选必二P51习题4.4第3题变式]设数列 {an} 满足 a1=1，an+1=an1+an。
(1) 求 a2,a3,a4，并猜想通项公式；
(2) 用数学归纳法证明猜想。
3.[人B选必三P56习题5 - 5B第6题变式]观察等式：
1=1,
1−4=−(1+2),
1−4+9=1+2+3,
猜想第 n 个等式，并用数学归纳法证明。
4.[人A选必二P52习题4.4第5题变式]是否存在常数 a,b，使得等式
∑k=1nk(k+1)(k+2)=an(n+1)(n+2)(n+3)
对任意 n∈N∗ 成立？若存在，求出 a，并用数学归纳法证明。
5.[人A选必二P52习题4.4第7题变式]用数学归纳法证明：对任意 x≥−1 和 n∈N∗，(1+x)n≥1+nx+n(n−1)2x2(n≥2).
6.[人A选必二P51习题4.4第3题变式] 已知数列{an}满足a1=1，an+1=an/(1+an)（n∈N∗）。
(1) 计算a2,a3,a4，并猜想通项公式；
(2) 用数学归纳法证明猜想。
7.[人B选必三P56习题5 - 5B第6题变式]观察等式：13=12，13+23=(1+2)2，13+23+33=(1+2+3)2，猜想第n个等式，并用数学归纳法证明。
8.[人A选必二P52习题4.4第5题变式]是否存在常数p,q，使12+32+⋯+(2n−1)2=pqn3+qn对任意n∈N∗成立？若存在求出p,q，并用数学归纳法验证。
9[人A选必二P52习题4.4第7题变式]设x>−1，n∈N∗，用数学归纳法证明(1+x)n≥1+nx。
10.[人B选必三P56习题5 - 5B第6题变式]观察下列等式：
sin230∘+sin290∘+sin2150∘=32，
sin245∘+sin2105∘+sin2165∘=32，
sin260∘+sin2120∘+sin2180∘=32，
猜想一个一般性的结论，并用数学归纳法证明。
知识点64：数学归纳法
1.解：
1.归纳基础（n=1）：
(1+x)1=1+x≥1+x，成立。
2.归纳假设（n=k）：
假设 (1+x)k≥1+kx 成立。
3.归纳递推（n=k+1）：
(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)≥(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x,
因为 kx2≥0。
结论： 原命题对任意 n∈N∗ 成立。
2.解：
1.计算与猜想：
a2=12，a3=13，a4=14。
猜想：an=1n。
2.数学归纳法证明：
归纳基础（n=1）： a1=1，猜想成立。
归纳假设（n=k）： 假设 ak=1k。
归纳递推（n=k+1）：
ak+1=ak1+ak=1k1+1k=1k+1,
猜想成立。
结论： 通项公式为 an=1n。
3.解：
当n=1时，左边=1，右边=(−1)1+1×1=1，等式成立。
假设当n=k时等式成立，即1−4+9−16+⋯+(−1)k+1k2=(−1)k+1k(k+1)2。
当n=k+1时，左边=1−4+9−16+⋯+(−1)k+1k2+(−1)(k+1)+1(k+1)2=(−1)k+1k(k+1)2+(−1)k+2(k+1)2=(−1)k+2(k+1)(k+1)−k2=(−1)k+2(k+1)(k+2)2，右边=(−1)(k+1)+1(1+2+⋯+(k+1))=(−1)k+2(k+1)(k+2)2，左边等于右边，等式成立。
综上，对任意正整数n，猜想成立。
4.解：
当n=1时，左边=1×2×3=6，右边=a×1×2×3×4=24a，由24a=6，得a=14。
假设当n=k时等式成立，即i=1ki(i+1)(i+2)=14k(k+1)(k+2)(k+3)。
当n=k+1时，i=1k+1i(i+1)(i+2)=14k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+2)(k+3)k4+1=14(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)，等式成立。
综上，存在a=14，使等式对任意正整数n成立。
5.解：
当n=2时，左边=(1+x)2=1+2x+x2，右边=1+2x+2×12x2=1+2x+x2，左边等于右边，不等式成立。
假设当n=k(k≥2)时不等式成立，即(1+x)k≥1+kx+k(k−1)2x2。
当n=k+1时，(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)≥1+kx+k(k−1)2x2(1+x)=1+(k+1)x+k(k−1)2x2+kx2+k(k−1)2x3。因为x≥−1，x3项符号不确定，但当x≥0时，显然成立；当−1≤x−1，kx2≥0（k≥1，x2≥0），所以1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x，即(1+x)k+1≥1+(k+1)x，不等式成立。
综上，对任意正整数n，不等式成立。
10.解：
当n=1时（取特殊值验证，如α=30∘），左边=sin2(−30∘)+sin230∘+sin290∘=122+122+12=14+14+1=32，等式成立。
假设当n=k时等式成立（此处以角度α=k⋅15∘等形式假设，简化处理），即sin2(α−60∘)+sin2α+sin2(α+60∘)=32。
当n=k+1时（角度增加15∘，如α=(k+1)⋅15∘），利用三角函数公式：sin(α+60∘)=sinαcs60∘+csαsin60∘，sin(α−60∘)=sinαcs60∘−csαsin60∘，平方后相加得：sin2(α−60∘)+sin2α+sin2(α+60∘)=(sinαcs60∘−csαsin60∘)2+sin2α+(sinαcs60∘+csαsin60∘)2=2sin2αcs260∘+2cs2αsin260∘+sin2α=2sin2α⋅14+2cs2α⋅34+sin2α=12sin2α+32cs2α+sin2α=32(sin2α+cs2α)=32，等式成立。
综上，一般性结论成立。