山东省德州市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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主考学校：德州二中
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1-2页，第II卷3-4页，共150分，测试时间120分钟.
注意事项：
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.
第I卷选择题（共58分）
一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）
1. 命题，的否定是（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】将全称量词命题否定为存在量词命题即可.
【详解】命题，的否定是，.
故选：D
2. 已知命题为锐角；命题且；则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.
【详解】当为锐角时，且；
当且时，为第一象限的角，此时不一定为锐角，
所以是充分不必要条件.
故选：A
3. 已知函数（且）恒过定点，则过点的幂函数经过（ ）
A. 第一、二象限B. 第三、四象限C. 第一、三象限D. 第二、四象限
【答案】A
【解析】
【分析】先根据对数函数的性质求出点的坐标，再求出幂函数的解析式，然后根据幂函数的性质可得答案.
【详解】由，得，则，
所以函数（且）恒过定点，
设过点的幂函数为，则，得，
所以过点的幂函数为，
此幂函数的图象只经过第一、二象限，
故选：A
4. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用幂函数的性质和对数函数的性质进行比较即可.
【详解】，
因为在上递增，且，
所以，所以，即，
因为在上递增，且，
所以，所以，即，
所以.
故选：D
5. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若，，则图中弧与弦围成的弓形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知所求弓形的面积为扇形的面积减去等边三角形的面积，所以根据已知条件求出扇形的面积和等边三角形的面积即可.
【详解】因为，，所以为等边三角形，
因为，所以，
所以弧与弦围成的弓形的面积为
.
故选：B
6. 如图所示，在平面直角坐标系中，角与角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别是射线和射线，若射线与单位圆的交点为，射线与单位圆的交点为，且，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据题意求出，再根据任意角的三角函数的定义和诱导公式求出的值，然后代入计算即可.
【详解】由题意得，且，解得，所以，
所以，
因为，所以，
所以.
故选：A
7. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%.经测定，刚下课时，空气中含有0.35%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，又测定，当时，教室内空气中含有0.2%的二氧化碳，则该教室内从刚下课时的二氧化碳浓度达到国家标准，所需要时间（单位：分钟）的最小整数值为（参考数据，）（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知当时，，代入函数中可求出的值，当时，，代入函数中可求出的值，从而可求出函数解析式，然后将代入函数求出即可.
【详解】由题意可知当时，，所以，得，
所以，
当时，，则，
所以，得，
所以，，得，
所以，
当时，，
得，所以，
，得，
所以所求时间的最小整数值为8.
故选：C
8. 定义不超过的最大整数称为的整数部分，记作，为的小数部分，记作，称为小数函数，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 小数函数在定义域内单调递增
C. 为奇函数
D. 的所有零点之和为
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，依次分析各选项否正确，综合可得出答案.
【详解】对于A，根据题意，，，当时，，，所以，故A错误；
对于B，，，所以，小数函数在定义域内不是单调递增，故B错误；
对于C，由，因为，，所以，所以不是奇函数，故C错误；
对于D，的零点，即方程的根
显然不是方程的根；
当，方程化为，作出两函数与的图像如图：
由图知，两函数的交点除之外，其余的交点关于中心对称，则函数的所有零点之和为，故D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查函数的新定义、函数图像及其性质和函数零点的求解，为函数的综合问题.考查运算求解能力、转化与化归能力和数形结合思想，把函数零点问题转化为两个函数图像的交点问题是关键.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列计算正确的有（ ）
A.
B.
C. 若，，则
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据对数运算判断A，应用指数对数运算化简求值判断B，应用换底公式及对数运算判断C，应用指数运算计算判断D.
【详解】，A选项错误；
，B选项正确；
若，，则，C选项正确；
若，则，所以，D选项正确.
故选：BCD.
10. 已知角满足，则（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知条件可得，然后利用同角三角函数的关系求出，再化简计算即可得答案
【详解】由，得，
所以，则，
化简整理得，
所以，或，
当时，，
所以当时，，
当时，，
当时，，
故选：ACD
11. 已知函数，则（ ）
A. 函数有3个零点
B. 若函数有2个零点，则
C. 关于的方程有5个不等实数根
D. 若关于的方程有3个不等实根时，实根之和为，有4个不等实根时，实根之和为，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意画出函数图象即可判断A正确；利用函数与方程的思想结合图象可知B错误；由整体换元法令可知有三个零点，对应的值共有5个，可得C正确；由图象对称性可得，而或，可判断D错误.
【详解】对于A，由函数解析式可画出函数图象如下：
显然函数图象与轴仅有三个交点，可得A正确；
对于B，若函数有2个零点，可得函数与函数有两个交点，
可得或，因此B错误；
对于C，令，由可得，易知；
结合图象可知函数有三个零点，
不妨取，结合图象可知两个零点在抛物线对称轴的两侧，且在函数的对称轴的右侧，
即可得；
易知与函数的图象有1个交点，与函数的图象有4个交点，与函数的图象有0个交点；
因此关于的方程有5个不等实数根，即C正确；
对于D，若关于的方程有3个不等实根时，可得或
当，利用对称性可知实根之和为，
当，实根之和为，
当有4个不等实根时，可得，实根之和为，
即可能或，可得D错误.
故选：AC
【点睛】方法点睛：求解函数零点问题时经常通过画出函数图象，结合函数与方程的思想将零点个数转化为图象交点个数问题，再利用对称性求出所有零点之和.
第II卷非选择题（共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知幂函数在上单调递增，则_____.
【答案】8
【解析】
【分析】由题意可得，且，则可求出的值，从而可求出幂函数的解析式，进而可求出.
【详解】因为为幂函数，
所以，得，
，解得或，
因为幂函数在上单调递增，
所以，得，所以，
所以，所以.
故答案为：8
13. 定义，已知，，记函数，则的最大值是_____.
【答案】##
【解析】
【分析】先根据题意求出解析式，然后求出每一段上函数的值域，从而可求出的值域，进而可求出的最大值.
【详解】由，得，化简得，
解得或，
所以，
在上递增，所以，
在上递减，所以，
在上递减，所以，得，
综上，，
所以的最大值是.
故答案为：
14. 已知函数，若，则的最小值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数函数性质判断在不同区间的符号，在结合二次函数性质得为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值，即可求解；
【详解】函数定义域为，而，，，
要使，则二次函数，在上，在上，
所以为该二次函数在上的唯一一个零点，易得，
又，且开口向上，
所以，只需，
所以，
当时，取得最小值，
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求、；
（2）当时，
①若关于的不等式解集为，求实数的取值范围；
②若、，求的最小值.
【答案】（1），.
（2）①；②.
【解析】
【分析】（1）分析可知、是方程的两根，利用韦达定理可求得、的值；
（2）由已知条件得出，①由题意可得，由此可求得实数的取值范围；②将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【小问1详解】
由题意可知、是方程的两根，则，
解得，
【小问2详解】
当时，则，可得，则，
则，
①因为关于的不等式解集为，
则，解得，
因此，实数的取值范围是；
②因为、，则，
当且仅当，即当时，等号成立，
所以当，时，的最小值为.
16. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第四象限内的点.
（1）若，求及的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，，结合求出，然后根据任意角的三角函数的定义求出，再对所求的式子化简变形，然后代值计算即可；
（2）利用同角三角函数的关系对已知条件化简可求出，然后由可求得答案.
【小问1详解】
由已知角的终边与单位圆交于第四象限内的点，
则，，，，由，
得，
则，
再由诱导公式可得
.
【小问2详解】
因为，
所以，又是第四象限角，
所以，，即，
17. 已知函数是定义在的奇函数.
（1）若集合，，求；
（2）设，且在上的最小值为，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得可求出，然后再验证即可求出的解析式，再解不等式求出集合，从而可求出；
（2）令，则将转化为，，然后分和两种情况结合二次函数的性质求出其最小值，然后列方程可求得结果.
【小问1详解】
因为是定义域为的奇函数，
所以，可得，
当时，，
所以，，
所以为奇函数，所以；
由，得，即，
因为，所以，
所以，即；
.
所以
【小问2详解】
令，因为和在上递增，
所以在上递增，
所以时，，
可化为
，，
当时，在上为减函数，在上为增函数，
所以或,
又，所以合题意.
当时，在上为增函数,
，解得不合题意，舍去,
综上可知.
18. 已知函数的定义域为，若，满足成立，则称函数是“任意漂移函数”；若，满足成立，则称函数是“存在漂移函数”.
（1）若函数是定义在的“存在漂移函数”，求出的值；
（2）若函数是定义在“任意漂移函数”，且，，解关于的不等式；
（3）若函数是定义在的“存在漂移函数”，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由漂移函数的定义列出方程求解即可；
（2）先确定在是单调递增函数，再通过赋值令，，得到，由单调性即可求解；
（3）由新定义得到，化简得在有解，再构造函数，通过，，讨论即可；
【小问1详解】
函数是“存在漂移函数”，
则在有解，
即，化简得，
令，则，即，解得
【小问2详解】
，设，则，得
，
即，
所以在是单调递增函数
令，得，解得
不等式可转化为，
从而
解得或，
所以不等式的解是
【小问3详解】
由函数为“存在漂移函数”
则满足，
即
化简得，整理得
即在有解
令
①当时，在无解，不合题意；
②当时，对称轴，与轴的交点为在轴的上半轴，
因此在无解，不合题意；
③当时，对称轴，需，
解得，又，则
综上所述：实数的取值范围是
【点睛】关键点点睛：第三问由函数为“存在漂移函数”得到在有解，构造函数，转换成二次函数的零点存在问题.
19. 低碳环保的新能源汽车逐渐走进千家万户，电动汽车正成为人们购车的热门选择.新能源电动汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速.经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示：
若该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，可用表示.
（1）请求出函数的表达式；
（2）现有一辆同型号纯电动汽车从甲地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的乙地，已知该电动车在高速公路上行驶时每小时耗电量（单位：wh），出发前汽车电池存量为35000wh，汽车到达乙地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.
（i）若出发前和行驶路途中都不充电，该电动汽车能否到达乙地？请说明理由；
（ii）已知该高速公路上服务区有功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间），求该电动汽车从甲地到达乙地所用时间的最小值（若不需充电，即求行驶时间的最小值；若需要充电，即求行驶时间与充电时间之和的最小值）.
【答案】（1）
（2）（i）该车若不充电不能到达乙地，理由见解析；（ii）4.33小时.
【解析】
【分析】（1）由题意将和代入函数中，解方程组可求出，从而可求出函数的表达式；
（2）（i）设耗电量为，根据题意求出，然后利用函数单调性的定义判断出函数在区间单调递增，从而可求出其最小值，与电池存量减去保障电量比较大小可得结论；（ii）设行驶时间与充电时间分别为，，总和为，则有，解得，然后表示出，利用基本不等式可求出其最小值.
【小问1详解】
由题意可得，
解得，
故；
【小问2详解】
，
设耗电量为，则
；
（i）任取，
，
由，，，，则有，
即，
所以函数在区间单调递增，
所以，
即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车若不充电不能到达乙地；
（ii）由（i）知该车需要充电，设行驶时间与充电时间分别为，，总和为，
若能到达乙地，则初始电量+充电电量消耗电量≥保障电量，
即，
所以，
解得
所以总时间
当且仅当，即时取等号，
所以，该汽车到达乙地的最少用时约为4.33小时.
【点睛】关键点点睛：此题考查利用函数模型解决实际问题，考查函数单调性的判断，考查基本不等式的应用，第（2）问解题的关键是根据已知的函数模型表示出总耗电量，再根据初始电量+充电电量消耗电量≥保障电量，列不等式，考查计算能力和理解能力，属于较难题.0
20
40
80
0
1800
5600
21600