四川省绵阳外国语学校2024-2025学年高二下学期期末模拟考试数学试卷

这是一份四川省绵阳外国语学校2024-2025学年高二下学期期末模拟考试数学试卷，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页。完卷时间：120 分钟。满分：150 分
第Ⅰ卷（选择题 ，共 58 分）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知事件 A，B 相互独立， P( A)  0.8 ， P(B)  0.4 ，则 P(B A) 等于
A. 0.32B. 0.4C. 0.5D. 0.8
10
2、某射击选手每次射击击中目标的概率是 0.8，这名选手在 10 次射击中，恰有 8 次击中目标的概率为
10
C 2  0.28  0.82
0.88  0.22
C8  0.88  0.22
0.28  0.82
3、函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数 f (x) 在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有（）个
A. 1B. 2C．3D. 4
4、已知an 是各项不相等的等差数列，若a4  4 ，且a2 ， a4 ， a8 成等比数
列，则数列an 的前 10 项和S10 
A. 5B. 45C．55D. 110

5、若 ax 

系数是
1 n

x2 
的展开式中二项式系数之和为 32，各项系数之和为 243，则展开式中 x2 的
A. 80B. 64C. 32D. 16
6、在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1000名学生（百分制且卷面成绩均为整数）?服从正态分布?(82.5,5.42)，则下列说法错误的是（人数保留整数）
参考数据： 若? ∼ ?(?,?2)则?(? ― ? < ? ≤ ? + ?) ≈ 0.6827,?(? ― 2? < ? ≤ ? +2?) ≈ 0.9545，
?(?3? < ? ≤ ? +3?) ≈ 0.9973．
A．年级平均成绩为 82.5 分
B．成绩在 95 分以上（含 95 分）人数和 70 分以下（含 70 分）人数相等
C．成绩不超过 77 分的人数少于 150
D．超过 99 分的人数约为 1
ξ
1
0
1
P
1 a 3
1
3
a2
7、若随机变量ξ的分布列如下表所示，则 D(1  3ξ) 
A. 50
27
C． 41
9
B. 2
D. 50
9
8、某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能
力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打 2 局，当两人获胜局数不少于 3 局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局
获胜的概率分别为 p ， p ，且满足 p  p  4 ，每局之间相互独立.记甲、乙在 n 轮训练中
12123
训练过关的轮数为 X ，若 E  X   16 ，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为
A. 28B. 24C. 32D. 27
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）
9、下列有关线性回归分析的问题中，正确的是
A. 线性回归方程 yˆ  bˆx  aˆ 至少经过点 x1 , y1 ,  x2 , y2 ,  x3 , y3 ,,  xn , yn  中的一个点
B. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 r 的值越接近于 1
C. 若设直线回归方程为 yˆ  2x 1，则当变量 x 增加 1 个单位时， yˆ 平均增加 2 个单位
D. 对具有线性相关关系的变量 x ， y ，其线性回归方程为 yˆ  0.3x  m ，若样本点的中心为
m, 2.8 ，则实数m 的值是4 .
10、已知数列a 满足： a  2 ，当n  2 时， a  2   a 2 12 ，则关于数列a 的说法
n1
正确的是
A． a2  7
nn1n
B. an 是递增数列
n
C． a  n2  2n 1
D. 数列an 为周期数列
11、已知函数?(?) = ?(1 ― ln?)，下列选项正确的是
A．?(?)的最大值为 1 B．?(?)有唯一的零点
C．若? ≥ e时，?(?) ― ?(e ― ?) ≤ 0恒成立，则? ≤ 1
D．设?1，?2为两个不相等的正数，且?1ln?1 ― ?2ln?2 = ?1 ― ?2，则?1 + ?2 < 2
第Ⅱ卷 (非选择题，共 92 分)
三、填空题（本题共 3 小题，每题 5 分，共 15 分.把答案填写在答题卡相应位置上）
12、已知 f (x)  2x2  3x  lnx ，则 f (x) 的单调增区间为.
13、某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有 5 名同学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参加且只能参加 1 个社团，每个社团必须有人参加，则这 5 个同学中有 1 人参加“舞动青春”社团的不同方法数为.（用数字作答）
 n
n231
n  N *
14、已知数列 an 的前
项和 Sn 
2  (t  2)n ， bn  a
，若对任意的
，都有
n
bn  b6 ，则实数t 的取值范围为.
四、解答题（本题共 5 个小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15、（13 分）已知函数 f (x)  x3  ax  a ．
若 x  1 是函数 f (x) 的极值点，求 f (x) 在(1 ， f (1)) 处的切线方程．
若 a  6 ，求 f (x) 在区间[0 ， 2] 上最大值．
有购买意愿
没有购买意愿
合计
男
40
女
60
合计
50
16、（15 分）游乐园推出的西游主题毛绒公仔，具有造型逼真可爱、触感柔软等特点，深受学生喜爱.某调查机构在参观西游乐园的游客中随机抽取了 200 名学生，对是否有购买西游主题毛绒公仔的意愿进行调查，得到以下的 2×2 列联表：
完成上述 2×2 列联表，根据以上数据，根据小概率值? = 0.01的独立性检验，能否认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关？
某文创商店为了宣传推广西游主题毛绒公仔产品，设计了一个游戏：在三个外观大小都一样的袋子中，分别放大小相同的 1 个红球和 3 个蓝球，2 个红球和 2 个蓝球，以及 3 个红球和 1 个蓝球.游客可以从三个袋子中任选一个，再从中任取 2 个球，若取出 2 个红球，则可以获赠一套西游主题毛绒公仔.现有 3 名同学参加该游戏，?表示 3 名同学中获赠一套毛绒公仔的
?.? =? = ? + ? + ? + ?
人数，求随机变量 的数学期望 附： 2 ?(??―??)2，其中．
(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)
?(?2 ≥ ?)
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
17、（15 分）已知数列an 中， a1  1, a2  2 ，当n  2 时， an1  an1  2 an  n ，记
bn  an1  an ．
求数列bn 的通项公式；
设数列 1  的前 n 项和为S ，证明： S  29 ．
b 
nn18
 n 
18、（17 分）国产动画电影《哪吒之魔童闹海》凭借其独特的艺术魅力与深刻的故事情节吸引了无数观众的目光，电影中的人物哪吒也深得观众喜爱.某公司适时推出 20 种款式不同的哪吒玩偶随机购活动，购买规则及概率如下：每次购买一个，且买到任意一种款式是等可能的.小王特别喜欢 20 种款式中的一种.
若 20 种款式的玩偶各有一个.
求小王第二次才买到特别喜欢的款式的概率；
设小王买到特别喜欢的款式所需次数为 X，求 X 的数学期望 E( X ) .
若每种款式的玩偶数量足够多，每次玩偶被买后公司都会补充被买走的款式.为了满足客户的需求，引进了保底机制：在购买前指定一个款式，若前 6 次未买到指定款式，则第 7 次必定买到指定款式.设 Y 为小王买到某指定款式所需的次数，求 Y 的数学期望 E(Y ) .
（参考数据： 0.956  0.74 ，结果保留整数）
19、（17 分）已知函数?(?) = ?(e? ― ?)，? ∈ ?.
（1）当 a  0 时，求?(?)的极值；
（2）若函数?(?) = ?(?) ― ?ln?有 2 个不同的零点 x1, x2 .
求a 的取值范围；
x  x 1a
证明： e 1 2
.
x1 x2
绵阳外国语学校 2024-2025 学年下期期末模拟教学质量检测
高二年级数学试卷答案
12、 1,  / 1, 13、18014、(5, 4)
15、解：（1）Q f (x)  x3  ax  a ， f (x)  3x2  a ， f  （1）  3  a  0  a  3 ，
有购买意愿
没有购买意愿
合计
男
90
40
130
女
60
10
70
合计
150
50
200
 f (x)  x3  3x  3 ， f (x)  3x2  3 ，
 f (1)  5 ， f (1)  0 ，
 f (x) 在(1 ， f (1)) 处的切线方程为 y  5  0 ．
（2）6
16、解：（1）由题可得 2×2 列联表如下：
提出假设?0：购买西游主题毛绒公仔与学生的性别无关，根据列联表中的数据，可以求得
?2 = 200(90×10―60×40)2 = 600 ≈ 6.5934 < 6.635，
150×50×130×7091
因为当?0成立时，?2 ≥ 6.635的概率大于 1%，
所以没有 99%的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
B
C
A
C
D
D
BCD
ABC
ABC
3
（2）一次游戏中取出 2 个红球的概率? = 1
1
× 0 +
3
× 2 + 1
C2
C2
43
× 3 = 2，
C2
C2
49
2
9
22
由题可知? = 0,1,2,3，则?~? 3,，所以?(?) = 3 ⋅ = .
93
17、【详解】（1）解：由题意得an1  an  an  an1  2n ，所以bn  bn1  2n ，即bn  bn1  2n ．当n  2 时， bn  bn  bn1   bn1  bn2  L b2  b1   b1  2n  2(n  1) L 2  2  1 
(2n  4)(n  1)  1  n2  n  1 ． 2
当n  1 时， b  a  a  1 也符合．综上， b  n2  n  1 ．
121n
1
（2）证明：由（1）得 1，
n
bn2  n  1
1
当n  1 时S  1  1  29 ；
b118
当n  2 时， 1 1
 1  1 1  ，
bn2  n  23  n  1n  2 
n
故当n  2 时， S

 1  1 L 1  1 1 1 1  1  1  1  1  1  1 L 1 
1  
nbbb3 4253647n 1n  2 
12n
29  1  1  1 
1   29 ．综上， S  29 ．
183  nn  1
n  2 18
n18

18、解：（1）（i）设小王第i 次买到特别喜欢的款式为事件 Ai .
则小王第二次才买到特别喜欢的款式的概率为 P  A A   P  A  P  A
A1
  19  1
 1 ；
（ii） X 的可能取值为1, 2,3,L, 20 ，
2 112
201920
则 P  X  k   191 
Ak 1  A1
A
k
20
1 , k  1, 2, 3,L, 20 ，
X
1
2
L
19
20
P
1
20
1
20
L
1
20
1
20
20
所以 X 的分布列为
11111 20 20121
E  X   1 2 L 20  1 2 L 20；
202020202202
（2）记 p 
1  0.05,Y 的可能取值为1, 2, 3,L, 7 .
20
因为前 6 次（包含第 6 次）没有保底，
则 P Y  k   (1 p)k1 p  0.95k1  0.05 ，其中 k  1, 2,L, 6 ，
Y
1
2
L
6
7
P
0.950  0.05
0.951  0.05
L
0.955  0.05
0.956
P Y  7  (1 p)6 p  (1 p)6 1 p  (1 p)6  0.956 ，所以Y 的分布列为
则 E Y   1 0.950  0.05  2  0.951  0.05 L 6  0.955  0.05  7  0.956 .
记 S  1 0.950  2  0.951 L 6  0.955 ，
则0.95S  1 0.951  2  0.952 L 6  0.956 ，
两式相减，得0.05S  1 0.950  0.951 L 0.955  6  0.956
1 0.95666
 6  0.95
1 0.95
 20  26  0.95 ，
所以 E Y   0.05S  7  0.956  20 19  0.956  5.94  6 .
19、解：（1） a  0 时， f (x)  xex ， f (x)  (x 1)ex
∴ ?′(?)在(,1) 单调递减， (1,) 单调递增，
1
∴ ?(?)的极小值为 f (1)  
e
，无极大值.
（2）（i）?(?) = ?(?) ―?ln? = ?e? ―?(? + ln?) = ?e? ―?ln(?e?)，? ∈ (0, + ∞)，令? = ?e?，? ∈ (0, + ∞)，
∵ ?′ = (? + 1)e? > 0， ∴ ? = ?e?在(0, + ∞)单调递增，
令ℎ(?) = ? ― ?ln?，即ℎ(?)在? ∈ (0, + ∞)有 2 个零点?1，?2，且?1 = ?1e?1，?2 = ?2e?2，
?
∵ ℎ′(?) = 1 ― ? =
?―?
，
?
∴ ? ≤ 0时，ℎ′(?) > 0，ℎ(?)在? ∈ (0, + ∞)单调递增，不存在 2 个零点，
∴ ? > 0，
∵ ? ∈ (0,?)时，ℎ′(?) < 0；? ∈ (?, + ∞)时，ℎ′(?) > 0，
∴ ℎ(?)在(0,?)单调递减，在(?, + ∞)单调递增，
∵ ?→0时，ℎ(?)→ + ∞；?→ + ∞时，ℎ(?)→ + ∞，
∴ ℎ(?)min = ℎ(?) = ?(1 ― ln?) < 0， ∴ ? ∈ (e, + ∞).
（ii）设?1 < ?2， ∵ ℎ(1) = 1 > 0，ℎ(e) = e ―? < 0，
?e
1
∴ 由（i）知，1 < ?1 < e < ? < ?2，即证：?1?2 > ?e，即证：?2 > ? ，
?e
1
∵ ?2 > ?，?
> ?，ℎ(?)在(?, + ∞)单调递增，
?e
?1
e ln?1
?1
e
∴ 即证：0 = ℎ(?2) > ℎ，
?e
?1
?1
∵ ? =， ∴ ℎ
?e?e
e
?1
= ―?ln = ?
― ln
= ?
+ ln(ln? )― 1 ，
ln?1
e
?1
?11
1
令?(?1) = ? + ln(ln?1) ―1，?1 ∈ (1,e)，
e1?1―eln?1
即证：?(?1) < 0，?′(?1) = ― ?2 + ? ln? = ?2ln? ，
11 11 1
令?(?1) = ?1 ― eln?1，?1 ∈ (1,e)，
e
∵ ?′(?1) = 1 ― ?1 =
?1―e
?1
< 0， ∴ ?(?1)在(1,e)单调递减，?(?1) > ?(e) = 0，
∴ ?′(?1) > 0， ∴ ?(?1)在(1,e)单调递增， ∴ ?(?1) < ?(e) = 0.