陕西省咸阳市实验中学2024-2025学年八年级下学期第三次质量检测试数学试卷

这是一份陕西省咸阳市实验中学2024-2025学年八年级下学期第三次质量检测试数学试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在坐标平面内，把点向左平移个单位得到点，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ）
A．7.5B．8C．15D．无法确定
4．当分式有意义时，满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，，，， 要根据“”证明，则还需要添加一个条件是（ ）
A． B． C． D．
6．下列因式分解中，结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图表示的是关于的不等式的解集，则的值为（ ）
A．3B．C．D．2
8．如图，的斜边在轴上，，含角的顶点与原点重合，直角顶点在第二象限，将绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
9．因式分解： ．
10．不等式的所有正整数解之和为 ．
11．如图①是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形，若，则 ．

12．如果分式的值为0，则x的值为 ．
13．如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为 ．

三、解答题
14．因式分解、解不等式组：
(1)；
(2)．
15．化简、解方程：
(1)；
(2)．
16．如图，线段绕某一点逆时针旋转一定的角度得到线段（其中与是对应点），利用尺规确定旋转中心．（保留作图痕迹，不写作法）
17．化简求值：，并从，0，1三个数中选一个合适的数代入求值．
18．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的长．
19．如图，直线与x轴交于点，直线与x轴交于点，两条直线交于点C．

(1)观察图象，直接写出不等式的解集；
(2)若不等式的解集是，求点C的坐标．
20．若关于的分式方程有增根，求的值．
21．某建筑集团完成一路段的高架桥铺设任务，在合同期内高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一段对话：
通过这段对话，请你求出该建筑集团原来每天铺设的米数．
22．如图，是等边三角形，，点从点开始以的速度向点运动，点从点开始以的速度向点运动，两点同时出发，当有一点到达目标点时另一点也随之停止运动，连接，设运动的时间为，请解答下面的问题：
(1)用含的代数式表示：_____，_____；
(2)当为何值时，是直角三角形？
23．某商场购进两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？（列不等式组求解）
24．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得△AFB，连接EF.
证明:(1)△AED≌△AEF；
(2)BE 2＋DC 2＝DE 2.
25．分组分解也是因式分解的一种方法，顾名思义就是将原多项式进行合理分组后分别进行因式分解的方法．如
分解因式：

问题1．通过分析，你认为下面哪种说法才是分组分解的关键______；（只填序号）①分组后组内能提取公因式；②分组后组内能运用公式；③分组后组间还能继续分解．
问题2．请你利用分组分解法分解因式：
（1）；
（2）
问题3．若a，b，c是的三边，当时，判断的形等腰三角的形状．
26．两个顶角相等的等腰三角形．如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段．例如：如图1，△ABC中，，△ADE中，，且，连接DB，EC，则可证得，此时线段DB和线段EC就是一对“友好”线段．
(1)如图2，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，且．
①图中线段AE的“友好”线段是______；
②连接AD，若，，，求AE的长；
(2)如图3，△ABC是等腰直角三角形，，P是△ACB外一点，，，，求线段BP的长．
《陕西省咸阳市实验中学2024-2025学年八年级下学期第三次质量检测试数学试卷》参考答案
1．D
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．是中心对称图形，故D选项合题意；
故选：D．
2．C
【分析】本题考查的知识点是坐标与图形变化-平移，解题关键是正确掌握平移规律．
根据点的平移规律，左右移，横坐标减加，纵坐标不变；上下移，纵坐标加减，横坐标不变即可求得答案．
【详解】解：根据点的平移规律，点向左平移个单位得到点，即．
故选：．
3．A
【详解】试题分析：如图，过点D作DE⊥BC于点E．
∵∠A=90°，∴AD⊥AB．∴AD=DE=3．
又∵BC=5，∴S△BCD=BC•DE=×5×3=7.5．
故选A．
考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
4．D
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0即可求解．
【详解】解：当分式有意义时，，
解得，
故选D．
5．A
【分析】本题考查三角形的判定，根据“”的判定方法，结合题干条件判断，即可解题．
【详解】解： ，，，
要根据“”证明，
需添加条件为斜边相等，即，
故选：A．
6．B
【分析】此题主要考查了分解因式，正确应用公式法分解因式是解题关键．
利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、不能分解，故此选项错误；
故选：B．
7．A
【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解不等式得出，结合数轴知，据此可得关于a的方程，解之可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
则，
由数轴知，
∴，
解得，
故选：A．
8．A
【分析】如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，再利用旋转的性质得到，然后利用第四象限点的坐标特征写出点的坐标．
【详解】如图，

在中，，
，
绕原点顺时针旋转后得到，
，
点的坐标为．
故选A．
本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：．
9．
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
用提公因式的方法分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10．6
【分析】本题考查解一元一次不等式，先求出不等式的解集，再找出所有的正整数解，最后求和即可．
【详解】解：，
解得，
正整数解为：3，2，1，
所有正整数解之和为：，
故答案为：6．
11．
【分析】利用含角的直角三角形的性质得，再利用勾股定理即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
在中，由勾股定理得，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识点，掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键．
12．
【分析】本题考查分式的值为0的条件，掌握分子为0，而分母不为0是解题的关键．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，解得，
故答案为：．
13．9
【分析】利用旋转的性质可得，，由题意可得阴影部分的面积，过点作，利用含30度直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：由旋转的性质可得：，，
∴
∴阴影部分的面积
过点作，如下图：

∵
∴
，即阴影部分的面积为
故答案为：
【点睛】此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
14．(1)
(2)不等式组的解集为
【分析】本题考查了因式分解、解不等式组.
（1）先根据平方差公式化为，再根据完全平方公式分解即可；
（2）分别解不等式，即可得到不等式组的解集.
【详解】（1）
；
（2）由得，，
由得，，解得，
不等式组的解集为
15．(1)
(2)原分式方程无解
【分析】本题主要考查了分式的乘法计算，解分式方程，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先把第二个分式的分母分解因式，再约分即可得到答案；
（2）把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
整理得：
方程两边同乘得，
解得，
检验：当时，，
是分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
16．见详解
【分析】本题主要考查了旋转变换、尺规作图，理解旋转的性质“对应点与旋转中心的连线段相等”是解题的关键．根据旋转的性质可知，旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上，由此连接、，分别作、的垂直平分线，它们的交点为点，即可求解．
【详解】解：如下图，点即为所求．
17．
【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键．
先对分式进行化简，然后再结合分式有意义的条件进行代值求解即可．
【详解】解：
．
根据分式有意义的条件有：，
即有，
则在，0，1中，只能取，
把代入，原式．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质．
（1）由线段垂直平分线的性质得到，因此，求出，即可得到；
（2）设，由勾股定理得，求出，得到．
【详解】（1）垂直平分，
，
，
，
，
；
（2）设，则，
，
由勾股定理得：，
，
，
．
19．(1)
(2)．
【分析】（1）根据图象可直接得出答案；
（2）由题意可得点C的横坐标为，把代入，得出，求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴观察图象可知，不等式的解集为：；
（2）解：由题意可得点C的横坐标为，
把代入，
得：，
解得，
∴，
把，代入，
解得，
∴点C的坐标为．

【点睛】本题考查一次函数的性质，图象法解一元一次不等式，掌握一次函数的性质是解题的关键．
20．
【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
分式方程去分母转化为整式方程，把增根代入整式方程，即可求得相关字母的值．
【详解】解：，
去分母，得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，可得．
21．．
【分析】本题考查方式方程的应用．根据采用新技术前后时间和等于列出分式方程，即可求解
【详解】解：设原来每天铺设米，
根据题意，得．
解得：，
经检验：是分式方程的解并且符合实际意义．
答：该建筑集团原来每天铺设．
22．(1)；
(2)当为或时，是直角三角形
【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，含 30 度角的直角三角形性质，注意分类讨论．
（1）根据已知速度求解即可．
（2）分为两种情况：①，②，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：分为两种情况：①，
∵是等边三角形，
，
，
，
即，
解得：；
②，
，
，
，
，
解得：；
∴当为或时，是直角三角形．
23．购进商品的件数为19件或20件
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用：
设购进件商品，则购进件商品，根据购进商品的件数不少于商品件数的2倍，利润不低于1770元列出不等式组求解即可．
【详解】解：设购进件商品，则购进件商品，
则，
解得，
为整数，
的值为19或20．
答：购进商品的件数为19件或20件．
24．(1) 证明见解析；(2) 证明见解析.
【分析】（1）易证∠FAE=45°，即可证明△AED≌△AEF，即可解题；
（2）求出∠FBE=90°，再利用勾股定理列式整理即可得证．
【详解】(1)由题意，得AD＝AF，∠DAF＝90°，DC＝BF.
又∠DAE＝45°，
∴∠EAF＝45°,
在△ADE和△AFE中,
∴△ADE≌△AFE.
(2)由△ADE≌△AFE，
∴DE＝EF
由∠BAC＝90°，得∠ABC＋∠ACB＝90°，
即∠FBA＋∠ABC＝90°，
∴∠FBE＝90°
∴BF2＋BE2＝EF2
即BE2＋DC2＝DE2.
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记性质并准确识图，理清图中各角度和边之间的关系是解题的关键．
25．问题1：③；问题2：（1）；（2）；问题3：等腰三角形
【分析】本题主要考查的是因式分解，提公因式法、平方差公式和完全平方公式是常用的因式分解法．
问题1：确定分组分解的关键步骤；
问题2：利用分组分解法进行因式分解；
问题3：利用分组分解法进行因式分解，再判定三角形的形状．
【详解】解：问题1：分组分解的目的是分组以后，继续因式分解，最后组与组之间还要因式分解，
故选③；
问题2：（1）
；
（2）
；
问题3：，
，
，
，
，，是的三边，
不可能是0，
，
，
∴是等腰三角形．
26．(1)①BD；②6
(2)14
【分析】（1）①由题意易证，即得出连接AE和BD使，即线段AE的“友好”线段是BD；②连接AD，由全等三角形的性质可知．根据等腰直角三角形的性质得出，从而可求出．再根据勾股定理可求出，，从而即可求出AE的长；
（2）以C为直角顶点构造等腰直角三角形PCD，连接AD，过点D作交AP的延长线于点E．由（1）可得．利用勾股定理即可求出．再根据，可求出，从而可由含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理求出，，进而可求出．最后再次利用勾股定理求出 ，即得出BP的长．
【详解】（1））①∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，且，
∴，，．
即在△ACE和△BCD中，
∴，
即连接AE和BD使，
∴线段AE的“友好”线段是BD，
故答案为：BD；
②如图，连接AD，
∵，
∴．
在△ABC中，，，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，以C为直角顶点构造等腰直角三角形PCD，连接AD，过点D作交AP的延长线于点E．
由（1）可得．
在△PCD中，，，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴，．
在△AED中，，，
∴．
∴．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的定义和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质．理解题意，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
C
A
D
A
B
A
A