第22讲 空间向量复习：利用空间向量解决探索性问题讲义（原卷版+教师版）暑期预习衔接 人教A版高二数学选修第一册

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学 科
数学
年 级
课题名称
内容
专题拓展：利用空间向量解决探索性问题
一、与空间向量有关的探索性问题
一类是探索线面位置关系的存在性问题，即线面的平行与垂直，
另一类是探索线面的数量关系的存在性问题，即线面角或二面角满足特定要求时的存在性问题。
二、利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路：
（1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。
（2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在。
三、动点的设法（减少变量数量）
在解决探索性问题中点的存在性四，经常需要设出点的坐标，而(x,y,z)可表示空间中的任一点，使用三个变量设点需要列三个方程，导致运算量增大。为了减少变量数量，用以下设法。
1、直线（一维）上的点：用一个变量可以表示出所求点的坐标；
依据：根据平面向量共线定理—若，使得
【示例】已知，，那么直线上的某点坐标可用一个变量表示，
方法如下：，
因为在上，所以
∴，
所以可设点.
2、平面（二维）上的点：用两个变量可以表示出所求点的坐标。
依据：平面向量基本定理—若，不共线，则平面上任意一个向量，均存在，，使得
【示例】已知，，，则平面上某点坐标可用两个变量表示，
方法如下：，，
故，即
所以可设点.
考点一：平行问题中的动点探索
例1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）如图，在直三棱柱中，是的中点，是的中点，是与的交点.
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.
【变式1-1】（23-24高二上·山东滨州·期末）如图，已知正方体中，点分别在棱和上，.
(1)求平面与平面的夹角的余弦值；
(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由.
【变式1-2】（23-24高三上·河北秦皇岛·月考）如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，是与的交点．
(1)求多面体的体积；
(2)求点到平面的距离；
(3)在线段上是否存在点，使得平面？
【变式1-3】（23-24高三上·云南昆明·月考）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，，平面平面ABCD，且，，点G是EF的中点．

(1)证明：平面ABCD；
(2)线段AC上是否存在一点M，使平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
考点二：垂直问题中的动点探索
例2. （23-24高二上·四川成都·月考）如图，多面体中，面为正方形，平面，且为棱的中点，为棱上的动点.
(1)证明：当为棱的中点时，平面；
(2)是否存在点，使得；若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【变式2-1】（23-24高二上·广东江门·月考）如图1，在边长为2的菱形中，，将沿对角线折起到的位置，使平面平面，E是BD的中点，平面ABD，且，如图2．
(1)求证：平面；
(2)在线段AD上是否存在一点M，使得平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【变式2-2】（23-24高二上·北京延庆·期末）如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点为棱的中点，，.
(1)求平面与平面夹角的余弦值；
(2)若为棱的中点，则棱上是否存在一点，使得平面. 若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.
【变式2-3】（23-24高二上·广东·月考）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，平面， ．
(1)若点是棱上靠近的三等分点，证明：平面；
(2)试探究棱上是否存在一点（不与、重合），使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
考点三：夹角问题中的动点探索
例3. （23-24高三上·江苏·月考）如图，在四棱锥中，是正三角形，，平面平面，是棱上动点．
(1)求证：平面平面；
(2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【变式3-1】（23-24高二上·广西南宁·期末）如图，在直角梯形中，，，．以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且．
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【变式3-2】（23-24高二下·江苏南京·期中）在三棱柱中，已知，，，，M是BC的中点．
(1)求证：；
(2)在棱上是否存在点P，使得二面角的正弦值为？若存在，求线段AP的长度；若不存在，请说明理由．
【变式3-3】（23-24高二上·福建泉州·期中）如图，在三棱台中，是等边三角形，，，侧棱平面，点是棱的中点，点是棱上的动点（不含端点）.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面所成的锐角的余弦值为，试判断点的位置.
考点四：距离问题中的动点探索
例4. （23-24高二上·江西萍乡·期末）如图，是边长为4的正方形，平面，，且．
(1)证明：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．
【变式4-1】（22-23高二上·云南临沧·月考）如图，三棱柱的所有棱长都是平面分别是的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？请说明理由.
【变式4-2】（23-24高二上·上海·月考）如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，且为中点．
(1)求二面角的余弦值；
(2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
【变式4-3】（22-23高二下·福建·月考）如图，三棱锥的底面是以为底边的等腰直角三角形，且，各侧棱长均为3.
(1)求证：平面平面；
(2)若点为棱的中点，线段上是否存在一点，使得到平面的距离与到直线的距离之比为？若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由.
一、多选题
1．（23-24高二上·河南商丘·期中）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，为线段上的动点，则（ ）
A．存在点，使得直线
B．存在点，使得平面
C．点到直线距离的最小值为
D．三棱锥的体积为
2．（23-24高二上·重庆·月考）如图，在棱长为的正方体中，点满足，其中，，则（ ）
A．存在点，使得平面
B．存在点，使得平面
C．当时，的最小值为
D．当时，的最大值为
3．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（ ）
A．存在点，使得平面
B．存在点，使得直线与直线所成的角为
C．存在点，使得三棱锥的体积为
D．不存在点，使得，其中为二面角的大小， 为直线与所成的角
二、解答题
4．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且，.
(1)求直线与平面所成角的余弦值．
(2)线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
5．（2024高三·全国·专题练习）如图，三棱柱中，，，点在底面上的射影点O是BC的中点，则：
(1)求证：上存在一点E，使平面，并求出AE的长；
(2)求二面角的余弦值.
6．（23-24高二上·四川绵阳·期中）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）．
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
7．（23-24高二上·福建福州·期中）如图，在三棱锥中，为等边三角形，，.
(1)求证：平面平面；
(2)点是棱上的动点，当直线与平面所成角的正弦值为时，求点的位置.
8．（23-24高二下·福建泉州·月考）如图，四棱锥中，底面是正方形，，且，平面平面，点，分别是棱，的中点，是棱上的动点．

(1)求证：平面平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．