第24讲 与直线有关的距离最值问题讲义（原卷版＋教师版）暑期预习衔接 人教A版高二数学选修第一册

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学 科
数学
年 级
课题名称
内容
专题拓展：与直线有关的距离最值
一、常用距离公式
1、点到点的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：．
2、点到直线的距离公式：点到直线的距离．
3、直线到直线的距离公式：两条平行直线，，它们之间的距离为：．
二、点关于直线的对称
1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线．
2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，
则
（2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为
三、线段和与差的最值问题解题思路
1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短；
2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短．
考点一：两点间的距离最值
例1．（2023高二上·全国·专题练习）若动点P的坐标为，，则动点P到原点的最小值是 .
【变式1-1】（23-24高二上·山东德州·月考）若三条直线相交于同一点，则点到原点的距离d的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（23-24高二上·全国·专题练习）已知，，则S的最小值是 .
【变式1-3】（22-23高二上·浙江绍兴·期末）已知，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．3
考点二：点到直线的距离最值
例2.（23-24高二上·河北张家口·月考）已知定点和直线，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（23-24高二上·山西吕梁·月考）点到直线的距离的最大值（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（23-24高二上·四川内江·月考）点到直线l：的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）
A．；B．；
C．；D．；
【变式2-3】（23-24高二上·江苏·单元测试）在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点P，则当实数变化时，点P到直线的距离的最大值为( )
A．B．C．3D．
考点三：平行线间的距离最值
例3.（23-24高二上·河南洛阳·月考）已知点A，B分别是直线与直线上的点，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
【变式3-1】（23-24高二上·云南楚雄·月考）已知点分别是直线与直线上的点，则的最小值为 ．
【变式3-2】（22-23高二上·四川成都·期中）已知，两点的坐标分别为，，若两平行直线，分别过点A，B，则，间的距离的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．
【变式3-3】（22-23高二上·福建龙岩·月考）已知直线，，则直线与之间的距离最大值为 .
考点四：距离之和的最值
例4.（23-24高二上·福建福州·期末）已知点，，H是直线：上的动点，则的最小值为（ ）
A．6B．C．D．
【变式4-1】（23-24高二上·重庆·期末）的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（23-24高二上·河南信阳·期中）已知，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．6
【变式4-3】（23-24高二上·江苏南通·月考）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线,分别恒过定点A，B，则的最大值为( )
A．4B．8C．D．
考点五：距离之差的最值
例5.（23-24高二上·重庆黔江·月考）已知点，点是直线上的动点，则的最大值为 .
【变式5-1】（23-24高二上·重庆九龙坡·月考）直线分别交轴和于点，，为直线上一点，则的最大值是 ．
【变式5-2】（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数满足，则的最大值是 ．
【变式5-3】（23-24高二上·山东枣庄·月考）已知点，直线，点在直线上，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
考点六：将军饮马综合应用
例6.（23-24高二上·宁夏银川·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句.诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．13B．11C．9D．7
【变式6-1】（23-24高二上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为，河岸所在直线方程为，将军从点处出发，先到河边饮马，然后再返回军营，如果将军只要到达军营所在区域即回到军营，则这个将军所经过的最短路程为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（23-24高二上·上海奉贤·月考）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ）
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是
B．将军在河边饮马的地点的坐标为
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是
D．“将军饮马”走过的总路程为5
【变式6-3】（23-24高二上·山西·开学考试）（多选）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流，，其方程分别为，，点，，则下列说法正确的是（ ）
A．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7
B．将军从出发，先去河流饮马，再返回的最短路程是7
C．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是
D．将军从出发，先去河流饮马，再去河流饮马，最后返回的最短路程是
一、单选题
1．（23-24高二上·全国·期中）已知，点为轴上一动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）点，点在轴上，则的最小值为（ ）
A．B．5C．4D．
3．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知点在由直线，和所围成的区域内（含边界）运动，点在轴上运动.设点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）原点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二上·浙江·期中）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（ ）
A．B．2C．3D．5
6．（23-24高二上·四川成都·月考）的最小值所属区间为（ ）
A．B．C．D．前三个答案都不对
二、多选题
7．（23-24高二上·江苏·开学考试）已知点，，且点在直线：上，则（ ）
A．存在点，使得B．存在点，使得
C．的最小值为D．最大值为3
8．（23-24高二上·江西·月考）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ）
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是
B．将军在河边饮马的地点的坐标为
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是
D．“将军饮马”走过的总路程为
三、填空题
9．（23-24高二上·江苏泰州·月考）已知点，，点在直线上，则的最小值为 .
10．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线，，则直线，之间距离的最大值为 ．
11．（23-24高二上·福建三明·月考）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 ．
四、解答题
12．（23-24高二下·上海·月考改编）已知的三个顶点的坐标分别是点与，直线.
(1)求边AC所在直线的斜率和边AC上的高所在直线的方程;
(2)记为点到直线的距离，试问:是否存在最大值?若存在，求出的最大值:若不存在，说明理由;
13．（23-24高二上·辽宁·月考）已知直线，点，点，点在直线上移动，
(1)求的最小值：
(2)求的最大值，以及最大值时点的坐标