安徽省马鞍山市第八中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

这是一份安徽省马鞍山市第八中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 在实数，0，，，中无理数有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
2. 互联网已经进入时代，应用网络下载一个的文件只需要秒，其中数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列判断不正确是（ ）
A 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
4. 下列说法，正确的是（ ）
A. 同位角相等B. 平行于同一条直线的两直线平行
C. 同旁内角相等，两直线平行D. 互为同旁内角的两个角的平分线互相垂直
5. 如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（ ）
A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°
6. 如图，将三角形平移到三角形的位置，则下列说法：
①；
②；
③；
④平移距离为线段的长．其中说法正确的有（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④
7. 已知是一个多项式的完全平方，与的乘积中不含关于x的一次项，则的值是（ ）
A. B. 1C. 或1D. 或1
8. 已知关于x的不等式组恰有4个整数解，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
9. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图，已知点为的中点，连接、，将乙纸片放到甲的内部得到图，已知甲、乙两个正方形边长之和为，图的阴影部分面积为，则图的阴影部分面积为（ ）

A. B. C. D.
10. 数学著作《算数研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，例如：，，，给出如下结论：
①；
②若，则x的取值范围是；
③当时，的值为1或2．其中正确的结论有（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ②
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11. 因式分解：______．
12. 如果的小数部分为a，的整数部分为b，则__________________．
13. 已知，，，则a，b，c之间满足的等量关系是___________．
14. 关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是 _______．
15. 如图，小明从A出发沿北偏东方向行走至B处，又沿北偏西方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是右转______°．

16. 已知，则______．
17. 观察等式：；；按一定规律排列的一组数：，若，则用含a的代数式表示下列这组数的和_________．
18. 一副直角三角板中，，，，现将直角顶点O按照如图方式叠放，若按住不动，将绕点O转动一周，能使有一条边与平行的所有的度数为________．
三、解答题（本大题共6题，满分46分）
19. （1）计算：；
（2）解方程：．
20. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
21. 先化简，再求值：，自己任选一个整数代入求值．
22. 已知直线，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，平分线与的平分线交于点E，，．在图1中，求的度数（用含x的式子表示）；

小明的解决办法如下，你能帮他完成吗？
（1）解：如图所示过点E作，
∵，
∴，
∴（ ① ），（ ② ），
∵平分，
∴，
∴（ ③ ）＝（ ④ ）．
（2）按照上面方法，你能解决下面问题吗？
如图2，，延长交于点E，若，，求的度数．

23 根据以下素材，探索完成任务.
24. 数学教科书中这样写道：
“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如，求代数式的最小值．
可知，当时，有最小值，最小值是－4．
再例如，求代数式最大值．
．
可知，当时，有最大值，最大值是15．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）请比较多项式与的大小，并说明理由；
（2）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值；
（3）已知，，求的值．
马鞍山市第八中学2023—2024学年第二学期期末素质测试
七年级数学试题卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 在实数，0，，，中无理数有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的最简式子．根据无理数的定义：无限不循环小数判断即可．
【详解】解：，
，0，是有理数；无理数有，，共2个．
故选：C
2. 互联网已经进入时代，应用网络下载一个的文件只需要秒，其中数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】从左往右数第一个非“”数字前面有个就是，据此即可求解．
【详解】解：从左往右数第一个非“”数字前面有个，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示的数，理解科学记数法的定义是解题的关键．
3. 下列判断不正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查不等式性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质即可得到答案．
【详解】解：若，则，故选项A正确；
若，则，故选项B正确；
若，则，故选项C 不正确；
若，则，故选项D正确．
故选C．
4. 下列说法，正确的是（ ）
A. 同位角相等B. 平行于同一条直线的两直线平行
C. 同旁内角相等，两直线平行D. 互为同旁内角的两个角的平分线互相垂直
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查同位角的定义，平行公理的推论，平行线的判定，同旁内角定义以及垂直定义等知识，根据同位角的定义，平行公理的推论，平行线的判定，同旁内角定义以及垂直定义进行判断即可．
【详解】解：A、同位角不一定相等，故原说法错误；
B、平行于同一直线的两直线平行，是平行公理的推论，故原说法正确；
C、同旁内角互补，两直线平行，故原说法错误；
D、互为同旁内角的两个角的平分线不一定互相垂直，故原说法错误；
故选：B．
5. 如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（ ）
A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线的定义，得出∠MOC=35°，再根据题意，得出∠MON=90°，然后再根据角的关系，计算即可得出∠CON的度数．
【详解】解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，
∴∠MOC=35°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°．
故选：C
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义和垂线的定义，解决本题的关键在正确找出角的关系．
6. 如图，将三角形平移到三角形的位置，则下列说法：
①；
②；
③；
④平移距离为线段的长．其中说法正确的有（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，熟练掌握平移性质是解题的关键．
根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的大小与形状，平移后对应点的连线互相平行，对各选项分析判断后利用排除法．
【详解】∵将三角形平移到三角形的位置，
∴与、与、与对应点，
与是对应角，
，①错误；
，②正确；
∴，，③错误；
平移距离为线段的长，④正确．
正确的说法为②④，
故选：D．
7. 已知是一个多项式的完全平方，与的乘积中不含关于x的一次项，则的值是（ ）
A. B. 1C. 或1D. 或1
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，零次幂及负整指数幂，利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出与的值，代入原式计算即可求出值．熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
【详解】解：∵是完全平方式，不含的一次项，
∴，，
解得：或，，
当，时，；
当，时，，
则或，
故选：C．
8. 已知关于x的不等式组恰有4个整数解，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围
【详解】解：解不等式组，
由①得：；
由②得：，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组恰有4个整数解，即，10，11，12，
∴，解得．
故选：B．
【点睛】考查不等式组的解法及整数解的确定.求环等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，根据整数解的取值情况分情况讨论结果是解题的关键．.
9. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图，已知点为的中点，连接、，将乙纸片放到甲的内部得到图，已知甲、乙两个正方形边长之和为，图的阴影部分面积为，则图的阴影部分面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设甲正方形边长为，乙正方形边长为，根据题意分别得到，，两式相加可得，在图中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和，代入计算可得阴影部分面积．
【详解】解：设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则，，，
，
，
点为的中点，
，
图的阴影部分面积，
，
，
图的阴影部分面积


，
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形．
10. 数学著作《算数研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过x的最大整数，例如：，，，给出如下结论：
①；
②若，则x的取值范围是；
③当时，的值为1或2．其中正确的结论有（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ②
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了不等式组、方程的解法，理解题意和学会分类讨论是解决本题的关键．
①根据定义即可判定；②可根据题意中的规定判断；③当，，时，分类讨论得结论．
【详解】解：表示不大于的最大整数，
当时，，，
①不正确；
若，则的取值范围是，故②是正确的；
当时，，
当时，，
当时，，综上③是正确的．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解，先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 如果的小数部分为a，的整数部分为b，则__________________．
【答案】1
【解析】
【分析】利用和的取值范围得出a、b的值，再代入代数式计算即可．此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．
【详解】解：，
，
的整数部分为，
的小数部分为，
，
，
，
的整数部分为，
，
，
故答案为：1．
13. 已知，，，则a，b，c之间满足的等量关系是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴即，
故答案为：．
14. 关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是 _______．
【答案】且
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数求出m的范围即可．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
由分式方程的解为非负数，得到且，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15. 如图，小明从A出发沿北偏东方向行走至B处，又沿北偏西方向行走至C处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是右转______°．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了方位角的概念，以及根据平行线的性质求角的度数．求出，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示：
由题意得：，，
∵，
∴，
，
∵在C处需把方向调整到与出发时一致，
∴，
，
∴
故答案为：．
16. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式运算和代数式的知识，设，则；根据题意，得；再将代入到代数式中计算，即可得到答案．
【详解】∵
∴
设，则
∴，即
∴
故答案为：．
17. 观察等式：；；按一定规律排列的一组数：，若，则用含a的代数式表示下列这组数的和_________．
【答案】
【解析】
【分析】观察发现规律，并利用规律完成问题．
【详解】观察、发现
∴
=
=
=（把代入）
=
=．
故答案为：．
【点睛】此题考查乘方运算，其关键是要归纳出规律并运用之．
18. 一副直角三角板中，，，，现将直角顶点O按照如图方式叠放，若按住不动，将绕点O转动一周，能使有一条边与平行的所有的度数为________．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定与性质，分，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：①当时，如图：
则：，
∴，
∴；
②当时，如图：则：，
∴；
③当时，过点作，则：，
∴，
∴，
∴；
综上：或或；
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共6题，满分46分）
19. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）无解
【解析】
【分析】此题考查了算术平方根，立方根，负整指数幂和零指数幂，解分式方程，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先计算算术平方根，立方根，负整数指数幂和零指数幂，再计算加减法即可；
（2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．
【详解】解：（1）
；
（2），
方程两边同时乘以，得，
解得：，
检验：当时，，
则为分式方程的增根，
∴原方程无解．
20. 解不等式组，并把解集数轴上表示出来．
【答案】，见解析
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
详解】解：，
解不等式①：，
，
，
；
解不等式②：，
，
，
，
不等式组的解集是：．
21. 先化简，再求值：，自己任选一个整数代入求值．
【答案】，当时，原式=10
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值，原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的的值代入计算即可求出值．熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【详解】解：原式
，
∵，，
∴，，，
当时，
原式．
22. 已知直线，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，的平分线与的平分线交于点E，，．在图1中，求的度数（用含x的式子表示）；

小明的解决办法如下，你能帮他完成吗？
（1）解：如图所示过点E作，
∵，
∴，
∴（ ① ），（ ② ），
∵平分，
∴，
∴（ ③ ）＝（ ④ ）．
（2）按照上面方法，你能解决下面问题吗？
如图2，，延长交于点E，若，，求的度数．

【答案】（1）①；②；③；④
（2）
【解析】
【分析】本题考查平行线的模型，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，（1）根据平行线的性质可得①为；②为；再由角的等量代换即可得到③；④；
（2）由已知求出的度数，再根据平行线的性质得到，即可求出的度数
【小问1详解】
解：如图所示过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：①；②；③；④；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
过点作，同理可证：，

∴，
∴．
23. 根据以下素材，探索完成任务.
【答案】（1）“芝士杨梅”的定价为19元，“满杯杨梅”的定价为17元；（2）“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本均为9元/杯；（3）当利润最大时，两种奶茶共制作42杯
【解析】
【分析】（1）设“芝士杨梅”的售价为x元/杯，“满杯杨梅”的定价为y元/杯，根据题意列方程求解即可；
（2）设“满杯杨梅”成本为a元/杯，则“满杯杨梅”利润为元/杯，根据素材3列方程求解即可；
（3）设制作m杯“芝士杨梅”和n杯“满杯杨梅”，根据素材4列方程求解正整数解，再结合获利最大即可求解．
【详解】（1）设“芝士杨梅”的售价为x元/杯，“满杯杨梅”的定价为y元/杯，
由题意得：，
解得，
答：“芝士杨梅”的定价为19元，“满杯杨梅”的定价为17元，
（2）设“满杯杨梅”成本为a元/杯，则“满杯杨梅”利润为元/杯，
则“芝士杨梅”利润为元/杯，
由题意 ，
解得，
经检验满足题意，
芝士杨梅成本：（元/杯），
答：“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本均为9元/杯；
（3）设制作m杯“芝士杨梅”和n杯“满杯杨梅”，
由题意得：，变形得，
∵芝士配料不低于，
∴且m是5的倍数，
∴解得，
∵“芝士杨梅”每杯减4元则每杯利润6元，“满杯杨梅”每杯利润8元，
当时，总利润为266元，
当时，总利润为264元，
∴当利润最大时，两种奶茶共制作42杯．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组及二元一次方程的应用．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
24. 数学教科书中这样写道：
“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，经常用来解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如，求代数式的最小值．
可知，当时，有最小值，最小值是－4．
再例如，求代数式的最大值．
．
可知，当时，有最大值，最大值是15．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）请比较多项式与大小，并说明理由；
（2）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值；
（3）已知，，求的值．
【答案】（1）
（2）当，时，多项式有最小值4
（3）2
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）计算得，可知，即可比较大小；
（2）由变形得，再根据，，可得答案；
（3）先得到，然后代入到中得到据此求解即可．
【小问1详解】
解：，理由如下：
，
∵，
∴，即：，
∴；
小问2详解】
，
∵，，
∴
∴当，时，多项式有最小值4；
【小问3详解】
解：∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴．奶茶销售方案制定问题
素材1
当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需53元．
素材2
两款奶茶配料表如下：
芝士杨梅
配料
芝士/杯
茉莉清茶/杯
杨梅肉
多肉
满杯杨梅
配料
茉莉清茶/杯
杨梅肉
多肉

素材3
5月27日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯．
素材4
由于芝士保质期将至，为了去库存，5月28日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于3500mL，配制的17500mL茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”．
问题解决
任务1
确定奶茶的售价
每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？
任务2
确定奶茶的成本
每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是多少？（）
任务3
拟定最优方案
为了使5月28日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？
奶茶销售方案制定问题
素材1
当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需53元．
素材2
两款奶茶配料表如下：
芝士杨梅
配料
芝士/杯
茉莉清茶/杯
杨梅肉
多肉
满杯杨梅
配料
茉莉清茶/杯
杨梅肉
多肉

素材3
5月27日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯．
素材4
由于芝士保质期将至，为了去库存，5月28日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于3500mL，配制的17500mL茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”．
问题解决
任务1
确定奶茶的售价
每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？
任务2
确定奶茶的成本
每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是多少？（）
任务3
拟定最优方案
为了使5月28日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？