安徽省马鞍山市第八中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷满分100分，考试时间90分钟：
2．请将答案写在答题卷上，在本试题卷上答题无效．
一、选择题（本大題共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．据此列式求解即可．
【详解】解：依题意，得
，
解得，．
故选：D．
2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，进行判断即可得．
【详解】解：A、被开方数含分母，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意；
B、被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式，选项说法正确，符合题意；
C、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意；
D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式．解题的关键是掌握最简二次根式必须满足两个条件．
3. 以直角三角形的三边为边做正方形，三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（ ）
A. 6B. 36C. 64D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据图形知道所求的A的面积即为正方形中间的直角三角形的A所在直角边的平方，然后根据勾股定理即可求解．
【详解】∵两个正方形的面积分别为8和14，
且它们分别是直角三角形的一直角边和斜边的平方，
∴正方形A的面积=14-8=6．
故选A．
【点睛】本题主要考查勾股树问题：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
4. 在中，斜边，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，根据“斜边”，结合勾股定理得出，代入计算得出答案即可，利用勾股定理正确计算是解题的关键．
【详解】解：∵在中，斜边，
∴，
∴，
故选：D．
5. 化简的结果为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方的逆用、平方差公式、实数的混合运算，利用积的乘方变形原式为，然后利用平方差公式计算即可，熟记运算法则、正确计算是解题的关键．
【详解】解：
，
故选：A．
6. 如果关于的一元二次方程有一个解是，那么的值是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程及其解的定义，首先把方程的解代入原方程中求出待定字母的值，再根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，取舍得出的值即可，正确计算、根据一元二次方程的定义取舍是解题的关键．
【详解】解：把代入中，得，
∴，
∴；
∵是一元二次方程，
∴，
∴．
综上，的值是，
故选：B．
7. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义理解，根据“使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，把代入关于的一元二次方程中计算求出的值即可，理解一元二次方程的解的定义、正确计算是解题的关键．
【详解】解：把代入，得：，
，
故选：D．
8. 满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A. B.
C ，BC＝4，AC＝5D. ∠A＝40°，∠B＝50°
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形的判定方法进行判断．
【详解】解：A、由题意可设∠A=3k，∠B=4k，∠C=5k，因为3k+4k=5k在k不为0时不会成立，所以∠A+∠B=∠C=90°也不会成立，△ABC不是直角三角形，符合题意；
B、由题意可设AB=3t，BC=4t，CA=5t，因为，所以△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、经过计算，所以△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、因为∠A+∠B=90°，所以△ABC是直角三角形，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的判定方法及勾股定理的逆用是解题关键．
9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
解得：；
故选C
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和解一元一次不等式，能根据根的判别式得出不等式是解此题的关键．
10. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（ ）
A. 240°B. 360°C. 540°D. 720°
【答案】B
【解析】
【分析】根据四边形的内角和及三角形的外角定理即可求解．
【详解】解：如图，、与分别相交于点、，
在四边形中，，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的外角与内角、三角形的外角性质，解题的关键是熟记多边形的内角和公式及三角形的外角定理．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）答案写在答题卷上的指定区域内．
11. 最简二次根式与同类二次根式，则__________．
【答案】7
【解析】
【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列得，求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得，
故答案为：7．
【点睛】此题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键．
12. 为实数，则的最小值是______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查配方法的应用，主要应用有：用配方法分解因式；用配方法化简求值；用配方法确定代数式的最值；用配方法证明等式；用配方法解方程有关问题；用配方法求函数最值；利用完全平方公式把含有x的项化成平方的形式，再进一步求解．
【详解】解：原式，
因为，
所以，
则代数式的最小值是5，
故答案是：5．
13. 已知，是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，，再由，代入进行计算即可，掌握“对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则，”是解题的关键．
【详解】解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴
，
故答案为：．
14. 我校八年级组织班级篮球赛，赛制为单循环形式（即每两班之间都比赛一场），若共进行了45场比赛，则有_______个班级篮球队参加．
【答案】10
【解析】
【分析】设有x个班级篮球队参加比赛，则每一个班比赛场，由于是单循环形式，故篮球赛的总场数为场，从而即可建立方程，求解并检验即可．
【详解】解：设有x个班级篮球队参加比赛，
由题意得，
解得（舍），
∴有10个班级篮球队参加比赛．
故答案为：10．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系“共进行了45场比赛”是解决本题的关键．
15. 一个多边形的内角和与外角和的和是，那么这个多边形的边数n＝_____．
【答案】6
【解析】
【分析】根据多边形内角和公式（n−2）•180°可得内角和，再根据外角和为360°可得方程（n−2）•180°＋360°＝1080°，再解方程即可．
【详解】解：多边形内角和为：（n−2）•180°，
由题意得：（n−2）•180°＋360°＝1080°，
解得：n＝6．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式与外角和定理．
16. 若直角三角形的三边长为6，8，m，则m的值为 _______．
【答案】或##或10
【解析】
【分析】题目主要考查了根据勾股定理计算直角三角形的一条边长，分两种情况讨论是解题的关键．
已知直角三角形的两边长，求第三边，第三边可能是斜边，也可能是直角边，分两种情况根据勾股定理求解．
详解】解：分两种情况讨论：
若m为一条直角边， 在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和，故直角边长
若m为斜边，在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和，故斜边长；
故答案为：或10．
17. 如图，，，，，，则________．

【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理即可解答．
【详解】解：，，，
，，
，，
，
是直角三角形，，
，
故答案为：．
18. 中，，高，则的长为___________．
【答案】4或14##14或4
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得，再由图形求出，在锐角三角形中，，在钝角三角形中，．
【详解】解：如图，是锐角三角形时，
∵在中，，
∴，
∴，
在中，，由勾股定理得
，
∴，
∴的长为；
如图，是钝角三角形时，
∵在中，，
∴，
∴，
在中，，由勾股定理得
，
∴，
∴的长为．
故答案为14或4．
三、解答题（本大题共6题，满分46分）．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卷上的指定区域内．
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解；
（2）先计算乘除，再计算加减，即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
20. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握利用配方法、因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
【小问2详解】
解：，
移项得：，
分解因式得：，即，
可得：或，
解得：，．
21. （1）边形其中一个顶点的对角线有_____条；
（2）一个凸多边形共有14条对角线，它是几边形？
（3）是否存在有21条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）七边形；（3）不存在，理由见详解
【解析】
【分析】本题考查了多边形的对角线，掌握任意凸边形的对角线有条是解决问题的关键．
（1）根据边形从一个顶点出发可引出条对角线即可求解；
（2）根据任意凸边形的对角线有条列出关于的方程，解方程即可得到答案；
（3）不存在，根据，解得：，不为正整数，所以不存在．
【详解】解：（1）边形过每一个顶点的对角线有条，
故答案为：；
（2）设它是边形，
则，
即，
解得：或（舍去），
它是七边形；
（3）不存在，
理由如下：如果存在，它是边形，
则，
即，
解得：，
不为正整数，
不存在．
22. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：
①测得水平距离的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风等线的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为米．
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）风筝的高度为米
（2）他应该往回收线8米
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用：
（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
（2）由题意得，米，则米，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【小问1详解】
解：在中，由勾股定理得，，
∴米或米 （负值舍去），
∴（米），
答：风筝的高度为米；
【小问2详解】
解：由题意得，米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴他应该往回收线8米．
23. “道路千万条，安全第一条”．公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销售，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让市民得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为
（2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔月份及月份的月销售量，得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据“月销售利润每个头盔的利润月销售量”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可．
【小问1详解】
解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意，得：，
，
，
解得：，（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
【小问2详解】
解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，
由题意，得：，
整理，得：，
，
或，
解得：（为让市民得到实惠，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个．
24. 先阅读下列一段文字，再回答问题．
已知平面内两点，，这两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或．
（1）已知点，，试求，两点间的距离；
（2）已知点，所在的直线平行于轴，点的纵坐标为，，两点间的距离为，求点的纵坐标；
（3）已知各顶点的坐标分别为，，，你能判断的形状吗？说明理由．
【答案】（1）
（2）或
（3）是等腰直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了两点间的距离公式、勾股定理及其逆定理，熟记掌握知识点、正确计算是解题的关键．
（1）直接利用两点间的距离公式计算即可；
（2）根据平行于轴的点横坐标相同，故、两点间的距离等于纵坐标差的绝对值，计算即可；
（3）先根据两点间距离公式计算出、、，然后根据等腰三角形的定义、勾股定理的逆定理进行判断即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴，两点间的距离为；
【小问2详解】
解：∵点，所在的直线平行于轴，点的纵坐标为，，两点间的距离为，
∴的纵坐标为或者．即点的纵坐标为或；
【小问3详解】
解：是等腰直角三角形．理由如下，
∵，，，
∴，，
，，
，，
∴，且，
∴是等腰直角三角形．