安徽省合肥市瑶海区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

这是一份安徽省合肥市瑶海区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列实数中，无理数（ ）
A. B. C. D.
2. 可乐和奶茶含有大量的咖啡因，世界卫生组织建议青少年每天摄入的咖啡因含量不能超过，将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，下列式子一定成立的是（ ）
A B. C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A B. C. D.
5. 如图，当光从一种物质斜射入另一种物质时，传播方向通常会发生偏折，这种现象叫光的折射．如图，一束光沿方向射入水平液面，在点B处发生折射，折射光沿方向射出，点D为延长线一点，若，，则与水平底面形成的的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 若关于的不等式，其解集在数轴上表示如图，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
7. 若常数M，N满足，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
8. 如图，以下说法正确是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
9. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在由四个面积分别为的小长方形组成的大长方形中、四边形和四边形均为正方形，若，且，则大长方形的面积是（ ）．
A. 25B. 26C. 27D. 28
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知，且m，n是两个连续的整数，则__________．
12. 已知关于x的不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是_________．
13. 定义：方程中含有根号，且被开方数含有未知数的方程叫做无理方程，比如：对于无理方程，可类比分式方程来解：
①第一步，等式两边同时平方，转化为整式方程，即；
②第二步，解整式方程，即；
③检验，是原方程的解．
仿照上述过程，可求出方程解为__________．
14. 已知两个角与满足，
（1）若两个角的两边分别平行，则__________；
（2）若两个角的两边，一组平行，另一组垂直，则__________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
16. 解不等式组，并把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知，．
（1）化简和；
（2）若，求的值．
18. 如图，在边长为的正方形网格纸中，三角形的顶点都在格点上．
（1）三角形经过平移后变为三角形，其中点的对应点为，画出三角形；
（2）已知，若点是线段上任意一点，连接，则线段CM长度的最大值为 ，最小值为 ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 在学习《实数》时，我们思考了在方格网中画格点正方形的问题，如图是边长为1的方格网．
（1）方格网中格点正方形的面积是 ，由此可知，以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点B表示的数为 ；
（2）按照（1）中的思路，在方格网中设计图形，并求出线段的长．
20. 已知点是上一点，过点作交于点，连接，此时．

（1）请补充以下的过程（括号里填写说理依据），说明；
因为（已知）
所以 （ ）
因为（已知）
所以 （等量代换）
所以（ ）
（2）若平分，则与相等的角有 （填上所有正确的序号）．
① ② ③
六、（本题满分12分）
21. 观察下列等式，并回答问题：
第个等式：，
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
……
（1）根据以上等式的规律，写出第个等式： ；
（2）写出第个等式，并证明结论的正确性．
七、（本题满分12分）
22. 某蔬菜经营户从周谷堆批发市场批发蔬菜进行零售，已知青椒比豆角的批发价每千克贵元，用元购买的豆角重量是用元购买的青椒重量的两倍．
（1）求青椒和豆角的批发单价；
（2）销售第一天，青椒和豆角的零售价分别为元千克，元千克，求该经营户当天全部售完批发的青椒和豆角后一共获利多少元；
（3）第二天，该经营户到批发市场得知，青椒和豆角的批发单价不变，于是该经营户用元批发青椒和豆角共千克，但在运输过程中青椒损坏了%，而豆角没有损坏，仍按昨天的零售价销售，要想当天售完所有蔬菜后，所获利润不低于第一天利润的倍，那么该蔬菜经营户应该如何给青椒定价？（精确到元）
八、（本题满分14分）
23. 【问题提出】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差．
（i）若，则；（ii）若，则；（iii）若，则；
【尝试应用】
（1）比较图中两个长方形周长的大小；
（2）若，，且，试比较代数式与的大小，
【联系生活】
（3）在某次1000米长跑中，甲同学前半程以速度匀速跑，后半程以速度为速跑．乙同学前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑，请问谁先到达终点？
2023-2024期末七年级数学质量检测卷
试题卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列实数中，无理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根，无理数的定义，熟练掌握无理数为无限不循环小数是解题的关键．
将算术平方根和立方根化简后，在根据无理数的定义求解即可．
【详解】、由于，因此为有理数，故不符合题意；
、由于，因此为有理数，故不符合题意；
、为整数，是有理数，故不符合题意；
、为无限不循环小数，是无理数，故D符合题意．
故选：．
2. 可乐和奶茶含有大量的咖啡因，世界卫生组织建议青少年每天摄入的咖啡因含量不能超过，将数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
用科学记数法将，表示为即可．
【详解】解：由题意可得当化为的形式时，
即为，
故数据用科学记数法表示为，
故选：．
3. 已知，下列式子一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，算术平方根的非负性，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
根据不等式的性质和算术平方根的非负性，判断选择即可．
【详解】、∵，不等号左右两边同时减去相同的数，不等号方向不发生改变
∴，
故不符合题意．
、∵，不等号左右两边同时除以相同的负数，不等号方向发生改变，
∴，
故不符合题意．
、∵，不等号左右两边同时乘以相同的负数，不等号方向发生改变，
∴，
∵不等号左右两边同时加上相同的数，不等号方向不发生改变，
∴，
故符合题意．
、∵，但不知两数的正负，负数没有算术平方根，
∴不一定成立，
故不符合题意，
故选．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查幂的运算，分别根据同底数幂的乘除法、幂的乘方和积的乘方的运算法则逐项运算判断即可．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意，
故选：D．
5. 如图，当光从一种物质斜射入另一种物质时，传播方向通常会发生偏折，这种现象叫光的折射．如图，一束光沿方向射入水平液面，在点B处发生折射，折射光沿方向射出，点D为延长线一点，若，，则与水平底面形成的的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查对顶角相等，平行线的性质。
根据对顶角相等可得，根据角的和差可求，进而根据平行线的性质即可解答。
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵水平液面与水平底面平行，
∴
故选：C
6. 若关于的不等式，其解集在数轴上表示如图，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式、在数轴表示不等式的解集，先解不等式，再根据数轴上解集的表示得到a的方程，进而解方程即可．
【详解】解：解关于的不等式，得，
由数轴得不等式的解集为，
∴，则，
故选：A．
7. 若常数M，N满足，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查分式的加减运算、解二元一次方程组、代数式求值，先利用分式的加减运算法则，将已知等式的右边化简，进而取得M、N，然后代入求解即可．
【详解】解：∵
，
∴，解得，
∴，
故选：A．
8. 如图，以下说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行线的判定方法及其性质，结合图形逐项判断即可．
【详解】解：A、若，则，而，故原说法错误，不符合题意；
B、若，则，而，故原说法错误，不符合题意；
C、若，则，故原说法错误，不符合题意；
D、若，则，，
∴，即，
∴，故原说法正确，符合题意，
故选：D．
9. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查幂的乘方的逆运算、同底数幂的除法、完全平方公式，灵活运用幂的运算法则是解答的关键．利用完全平方公式和幂的运算法则将化为，将已知代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
故选：C．
10. 如图，在由四个面积分别为的小长方形组成的大长方形中、四边形和四边形均为正方形，若，且，则大长方形的面积是（ ）．
A. 25B. 26C. 27D. 28
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形性质、完全平方公式、解二元一次方程组等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
设，则，；由、可得、，再根据完全平方公式以及实际意义可得、，进而得到，然后代入即可解答．
详解】解：设，则，
∵，
∴，解得：，
∵，
∴，解得：，
∴，，
∴（舍弃负值），（舍弃负值），
∴，
∴．
故选B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知，且m，n是两个连续的整数，则__________．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查无理数的估算、立方根、代数式求值，先根据，，结合立方根定义和已知求得m、n值，然后代值求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，且m，n是两个连续的整数，
∴，，
∴，
故答案为：9．
12. 已知关于x的不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是_________．
【答案】##
【解析】
【分析】先求得不等式组的解集，再根据不等式组的解集得到关于a的不等式即可．
【详解】解：由不等式组可得，
∵不等式组的整数解共有4个，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查不等式组的整数解问题，能根据不等式组的整数解得到参数的取值范围是解答的关键，注意端点值的取舍．
13. 定义：方程中含有根号，且被开方数含有未知数的方程叫做无理方程，比如：对于无理方程，可类比分式方程来解：
①第一步，等式两边同时平方，转化为整式方程，即；
②第二步，解整式方程，即；
③检验，是原方程的解．
仿照上述过程，可求出方程的解为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解无理方程，解一元二次方程，将无理方程转化为有理方程是解题的关键．
按照题干中的步骤，先等式两边同时平方，再进行解方程，最后验根即可，
【详解】解：按照上述过程可将等式两边同时平方，转化为整式方程
即 ，
解整式方程得，，
将检验，代入，不符合题意，舍去，符合题意，
即是原方程的解，
故答案为．
14. 已知两个角与满足，
（1）若两个角的两边分别平行，则__________；
（2）若两个角的两边，一组平行，另一组垂直，则__________．
【答案】 ①. 或 ②. 或
【解析】
【分析】本题考查了同位角、同旁内角、和三角形内角和、三角形外角的应用，分情况讨论是解题的关键．
（1）根据题意分成两种情况，和，分别代入，化简即可得出．
（2）根据题意分成两种情况，分别画出相应图形，根据图形结合平行线的性质得出即可．
【详解】（1）若两个角的两边分别平行时，有两种情况，
①如图所示：时，则，
又∵，
∴，
②如图所示：，
，
，
又∵，，
∴，
化简可得，
故答案为或．
（2）若两个角的两边，一组平行，另一组垂直，有两种情况，
①当两边分别满足时，如图所示，
，，
∴
∴
∴，
故；
②当两边分别满足时，如图所示，

，，
∴
∴，
化简得
故答案为或．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先求算术平方根、立方根，零次幂和负次幂，再进行加减运算．
【详解】原式：
．
【点睛】本题考查零次幂和负次幂、算术平方根、立方根等知识点，正确计算是解题的关键．
16. 解不等式组，并把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
【答案】，图见解析
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程组，在数轴上表示不等式的解集，先求得每个不等式的解集，再将解集表示在数轴上，进而可得不等式的解集．
【详解】解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
两个解集表示在数轴上，如图：
故不等式组的解集为．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知，．
（1）化简和；
（2）若，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平方差公式，去括号，合并同类项，再化简即可，根据通分，分式的除法，完全平方公式、提公因式再化简即可．
（2）由（1），可化为，化简得，由于，代入上式即可求得的值．
【小问1详解】
化简：
．
化简：
．
故化简可得， ．
【小问2详解】
由（1），可化为，
化简可得，
又∵，
故，
即的值为．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，平方差公式、完全平方公式、提公因式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
18. 如图，在边长为的正方形网格纸中，三角形的顶点都在格点上．
（1）三角形经过平移后变为三角形，其中点的对应点为，画出三角形；
（2）已知，若点是线段上任意一点，连接，则线段CM长度的最大值为 ，最小值为 ．
【答案】（1）作图见详解
（2），
【解析】
【分析】本题考查了平移变换，勾股定理的应用，垂线段最短，解题的关键是掌握平移的性质．
（1）直接利用平移的性质得到对应点的位置，然后依次连接即可．
（2）点到线段的垂线段最短，作，交于点，过点作的垂线，垂足为点，根据勾股定理可得和的值，利用，可求出最小值为，根据，当点与点重合时，最大为，即最大值为，
【小问1详解】
解：如图，三角形即为所求：
【小问2详解】
∵点到线段的垂线段最短，
故作，交于点，
∴此时最小，
过点作的垂线，垂足为点，如图所示，
由图可得，，，，
根据勾股定理可得，
∴，
代入数值可得，
解得：，
即最小值为．
∵，，
∴，
所以当点与点重合时，最大为，即最大值为，
故答案为，．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 在学习《实数》时，我们思考了在方格网中画格点正方形的问题，如图是边长为1的方格网．
（1）方格网中格点正方形面积是 ，由此可知，以原点为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点B表示的数为 ；
（2）按照（1）中的思路，在方格网中设计图形，并求出线段的长．
【答案】（1）2；
（2）
【解析】
【分析】本题考查无理数、实数与数轴，先根据网格特点，求出正方形的面积，再根据无理数的表示和正方形的面积公式求得，进而可得求解；
（2）先构造为边的正方形，求得它的面积，进而利用正方形的面积公式以及无理数的表示求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，方格网中格点正方形的面积是，则，
∴，
∴点B表示的数为，
故答案为：．
【小问2详解】
解：如图，构造为边的格点正方形，
则格点正方形的面积为，则，
∴．
20. 已知点是上一点，过点作交于点，连接，此时．

（1）请补充以下的过程（括号里填写说理依据），说明；
因为（已知）
所以 （ ）
因为（已知）
所以 （等量代换）
所以（ ）
（2）若平分，则与相等的角有 （填上所有正确的序号）．
① ② ③
【答案】（1）；两直线平行，同位角相等；；同旁内角互补，两直线平行；
（2）①②
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，掌握平行线的判定与性质是关键．
（1）根据平行线的判定与性质求解即可；
（2）利用角平分线的定义和平行线的性质可求解．
小问1详解】
解：因为（已知）
所以（两直线平行，同位角相等）
因为（已知）
所以（等量代换）
所以（同旁内角互补，两直线平行）
故答案为：；两直线平行，同位角相等；；同旁内角互补，两直线平行；
【小问2详解】
解：因为平分
所以
因为，
所以，，
∴，不能证明，
故答案为：①②
六、（本题满分12分）
21. 观察下列等式，并回答问题：
第个等式：，
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
……
（1）根据以上等式的规律，写出第个等式： ；
（2）写出第个等式，并证明结论的正确性．
【答案】（1）
（2），证明见详解：
【解析】
【分析】本题考查了数字类型规律，通分、完全平方公式，约分化简，异分式的加减法运算，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据已知等式的各部分和序号的关系即可得出结果．
（2）根据发现的规律，归纳出第个等式，再利用分式的通分、完全平方公式，约分化简即可即可证明．
【小问1详解】
根据以上等式的规律，
可得第个等式为：．
【小问2详解】
根据以上等式的规律，可得第个等式为，
证明：∵
．
∴．
七、（本题满分12分）
22. 某蔬菜经营户从周谷堆批发市场批发蔬菜进行零售，已知青椒比豆角批发价每千克贵元，用元购买的豆角重量是用元购买的青椒重量的两倍．
（1）求青椒和豆角的批发单价；
（2）销售第一天，青椒和豆角的零售价分别为元千克，元千克，求该经营户当天全部售完批发的青椒和豆角后一共获利多少元；
（3）第二天，该经营户到批发市场得知，青椒和豆角的批发单价不变，于是该经营户用元批发青椒和豆角共千克，但在运输过程中青椒损坏了%，而豆角没有损坏，仍按昨天的零售价销售，要想当天售完所有蔬菜后，所获利润不低于第一天利润的倍，那么该蔬菜经营户应该如何给青椒定价？（精确到元）
【答案】（1）豆角的批发价为元千克，则青椒的批发价为元千克
（2）该经营户当天全部售完批发的青椒和豆角后一共获利元；
（3）该蔬菜经营户给青椒定价为元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程，二元一次方程组，一元一次不等式的应用；
（1）设豆角的批发价为元千克，则青椒的批发价为元千克，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解；
（2）根据题意列出算式，即可求解．
（3）设青椒为千克，豆角千克，根据题意列出二元一次方程组，进而设青椒定价为元，根据题意得出不等式，解不等式即可求解．
【小问1详解】
解：设豆角的批发价为元千克，则青椒的批发价为元千克，根据题意得，
解得：，经检验是原方程的解，
（元）
答：豆角的批发价为元千克，则青椒的批发价为元千克，
【小问2详解】
解：依题意，（元）
答：该经营户当天全部售完批发的青椒和豆角后一共获利元；
【小问3详解】
解：设青椒为千克，豆角千克，
解得：
设青椒定价为元，根据题意得，
解得：
∴该蔬菜经营户给青椒定价为元
答：该蔬菜经营户给青椒定价为元
八、（本题满分14分）
23. 【问题提出】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差．
（i）若，则；（ii）若，则；（iii）若，则；
【尝试应用】
（1）比较图中两个长方形周长的大小；
（2）若，，且，试比较代数式与的大小，
【联系生活】
（3）在某次1000米长跑中，甲同学前半程以速度匀速跑，后半程以速度为速跑．乙同学前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑，请问谁先到达终点？
【答案】（1）第一个长方形的周长大于第二个长方形的周长；（2）；（3）乙先到达终点．
【解析】
【分析】（1）表示出两个长方形的周长，运用“作差法”即可比较大小；
（2）运用“作差法”计算，综合运用完全平方公式，提公因式和公式法进行因式分解，最后得到根据，，得到，即可解答；
（3）先计算甲同学所需时间：，乙同学所需时间为，再计算，根据，，得到，即可得到，从而解答．
【详解】（1）第一个长方形的周长为：，
第二个长方形的周长为：，
∵
，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴第一个长方形的周长大于第二个长方形的周长；
（2）∵，
∴，，
∴
，
∵，，，
∴，
∴；
（3）甲同学所需时间：，
设乙同学所需时间为x，则，
解得：，
即乙同学所需时间为，
∵
，
∵，，，
∴，
∴，
∴乙先到达终点．
【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，分式的加减，运用完全平方公式进行变形计算，因式分解，判断式子的正负，掌握“作差法”是解题的关键．