安徽省合肥市四十五中本部2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

这是一份安徽省合肥市四十五中本部2023-2024学年八年级下学期期末数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若一个正多边形的每个内角都是120°，则这个正多边形是（ ）
A. 正六边形B. 正七边形C. 正八边形D. 正九边形
3. 下列条件中，能判断为直角三角形的是（ ）
A. B. ，，
C. D.
4. 若关于x的方程是一元二次方程，则的值是（ ）
A B. C. D.
5. 如图，在正方形内作等边三角形，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 4月23日是世界读书日，合肥市第四十五中学举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．八年级数学老师随机调查了本年级70名同学2个月每人阅读课外书的数量，统计结果如下表，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 3，2B. 2，1C. 2，3D. 1，2
7. 已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A. 当时，它是菱形B. 当时，它是正方形
C. 当时，它是矩形D. 当时，它是菱形
8. 已知一组数据，，，，的平均数是4，那么另一组数据，，，，的平均数是（ ）
A. 4B. 8C. 5D. 3
9. 如图，平行四边形的对角线交于点，过点作，交于点，过点作于点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则______．
12. 如图，是内一点，，，，，，，，分别是的中点，则四边形的周长为______．
13. 体育老师要在甲和乙两人中选择人参加篮球投篮大赛，下表是两人次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选______参加比赛．
14. 如图，矩形中，，，为边上一动点，过点作，垂足为，连接，以为轴将进行翻折，得到，连接．
（1）若，，，三点在同一条直线上时，的长度为______．
（2）若点落在线段上时，的长度为______．
三、解答题（本大题共9小题，满分90分，15题-18题每题8分，19题-20题每题10分，21题-22题每题12分，23题14分）
15. 计算：．
16. 解方程：．
17. 在网格中画出格点，三边的长分别为，，．
（1）在网格中画出；
（2）求边上的高______．
18. 已知：如图，中，，点，是的中点．求证：四边形是平行四边形．
19. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是，求m的值及方程的另一个根．
20. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形面积．
21. 为提高学生对于数学学习兴趣，八年级举办了“数学素养大赛”活动，为了解大赛情况，从中随机抽取了部分参赛学生的成绩（成绩为整数），将成绩分成六组：组：，组：，组：，组：，组：，组：，整理并绘制出如下两幅不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据图表信息解答以下问题：
（1）本次调查随机抽取了______名参赛学生的成绩；在扇形统计图中组所在扇形的圆心角是______度．
（2）补全频数分布直方图．
（3）若八年级共有名学生，请根据调查数据估计八年级大赛成绩在组的学生人数．
22. 某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产产品，乙车间生产产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知件产品与件产品售价和为元，件产品与件产品售价和为元．
（1），两种产品销售单价分别是多少元？
（2）今年，该工厂计划将乙车间改造为专供用户定制产品的生产车间．预计产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上减少，产品产量将在去年的基础上增加，且产品的销售单价将提高．则今年，两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加，求的值．
23. 如图，已知四边形正方形，点（不与点重合）是对角线上一个动点．
（1）如图①，连接，求证：；
（2）如图②，连接，过点作交线段于点，连接．求的度数；
（3）如图③，连接，过点作交线段于点，在点的运动过程中，请直接写出线段，，的数量关系______．
八年级数学期末练习
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D．是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
2. 若一个正多边形的每个内角都是120°，则这个正多边形是（ ）
A. 正六边形B. 正七边形C. 正八边形D. 正九边形
【答案】A
【解析】
【分析】设所求正多边形边数为n，根据内角与外角互为邻补角，可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，由60°•n=360°，求解即可．
【详解】解：设所求正多边形边数n，
∵正n边形的每个内角都等于120°，
∴正n边形的每个外角都等于180°-120°=60°．
又因为多边形的外角和为360°，
即60°•n=360°，
∴n=6．
所以这个正多边形是正六边形．
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形内角和外角和的知识，解答本题的关键在于熟练掌握任何多边形的外角和都是360°．
3. 下列条件中，能判断为直角三角形的是（ ）
A. B. ，，
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和为度进行判定即可．
【详解】解：A、，所以设，，，而，故不是直角三角形；故该选项不正确，不符合题意；
B、，，， 符合勾股定理的逆定理，故为直角三角形；故该选项正确，符合题意；
C、因为，则，不能判断是直角三角形；
D、因为，所以设，则，，故，解得，，，，故此三角形是锐角三角形，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B
4. 若关于x的方程是一元二次方程，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2；
结合一元二次方程的定义，可以得到关于的方程和不等式，求解即可得到的值．
【详解】解：关于的方程是一元二次方程，
，
解得．
故选：A．
5. 如图，在正方形内作等边三角形，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正方形、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，先根据正方形、等边三角形的性质得出，，，从而可求出的度数，然后利用等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可.
【详解】解：∵在正方形内作等边三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
6. 4月23日是世界读书日，合肥市第四十五中学举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．八年级数学老师随机调查了本年级70名同学2个月每人阅读课外书的数量，统计结果如下表，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 3，2B. 2，1C. 2，3D. 1，2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中位数和众数，利用中位数，众数的定义即可解决问题．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字（或者两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．
【详解】解：∵，从低到高排序后，处于第号和第号的数都是，
∴这组数据的中位数，
∵每人阅读课外书是的人数有人，人数最多，
∴这组数据的众数是，
故选：B．
7. 已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A. 当时，它是菱形B. 当时，它是正方形
C. 当时，它是矩形D. 当时，它是菱形
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形，菱形，矩形的判定，熟知正方形，矩形，菱形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证明四边形是菱形，原说法正确，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，原说法错误，符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原说法正确，不符合题意；
D、对角线垂直的平行四边形是菱形，原说法正确，不符合题意；
故选：B．
8. 已知一组数据，，，，的平均数是4，那么另一组数据，，，，的平均数是（ ）
A. 4B. 8C. 5D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平均数的计算．根据平均数的计算公式即可求解．
【详解】解：∵，，，，的平均数是4，
∴，
∴，
∴，，，，的平均数是，
故选：C．
9. 如图，平行四边形的对角线交于点，过点作，交于点，过点作于点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依据矩形的性质即可得到的面积为3，再根据，即可得到的值．
【详解】∵四边形是矩形，，
∴矩形的面积为12，，
∴，
∴，
∵对角线交于点O，
∴的面积为3，
∵，
∴，
即
∴，
故选；C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分．
10. 已知是方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，得到，进而得到，根与系数的关系得到方程的另一个根为，进而得到整体代入代数式求值即可．
【详解】解：由题意，得：，方程的另一个根为，
∴，
∴
；
故选D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若最简二次根式与是同类二次根式，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查的是同类二次根式的定义，由同类二次根式的定义可知，从而可求得的值．
【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，
．
解得：．
故答案为：．
12. 如图，是内一点，，，，，，，，分别是的中点，则四边形的周长为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，首先利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出，，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：，，，，
，
、、、分别是、、、的中点，
，，
四边形的周长，
又，
四边形的周长，
故答案为：．
13. 体育老师要在甲和乙两人中选择人参加篮球投篮大赛，下表是两人次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选______参加比赛．
【答案】甲
【解析】
【分析】本题考查了方差，分别求出甲乙的方差即可判断求解，掌握方差计算公式是解题的关键．
【详解】解：甲的平均数为，
∴，
乙的平均数为，
∴，
∵，
∴甲成绩更稳定，
∴应选甲参加比赛，
故答案为：甲．
14. 如图，矩形中，，，为边上一动点，过点作，垂足为，连接，以为轴将进行翻折，得到，连接．
（1）若，，，三点在同一条直线上时，的长度为______．
（2）若点落在线段上时，的长度为______．
【答案】 ①. ②. 2或1
【解析】
【分析】（1）由勾股定理可得，由折叠的性质可得'，，，求出'，在中由勾股定理可求解；
（2）过点作于，过点作于，由可证，可得，可证四边形是平行四边形，可得，可证四边形是平行四边形，可得，即可求解．
【详解】解：（1）如图，
，，
，，
以为轴将进行翻折，得到，
，，，
，
在中，，
，
解得：，
故答案为：；
（2）如图，过点作于，过点作于，
以为轴将进行翻折，得到，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，，
'，
在和中，
，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，即，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
当与点重合时，，则
故答案为：或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，满分90分，15题-18题每题8分，19题-20题每题10分，21题-22题每题12分，23题14分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘法和除法，利用运算法则计算即可．
【详解】解：
．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】根据求根公式进行解题.
【详解】解:
a=1,b=-6,c=4
∴△=36-16=20
∴
∴ ,
【点睛】本题考查了一元二次方程的求解,属于简单题,熟悉一元二次方程的求解方法是解题关键.
17. 在网格中画出格点，三边的长分别为，，．
（1）在网格中画出；
（2）求边上的高______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理；
（1）根据网格的特点以及勾股定理，即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，进而根据等面积法即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
∵
∴
∴是直角三角形，
∵，
∴
18. 已知：如图，中，，点，是的中点．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，根据平行四边形的性质得出四边形为平行四边形，进而证明四边形为平行四边形，即可．
【详解】证明：由平行四边形可知，，
又，，
四边形为平行四边形，得到 ，
又、分别是、的中点，
，
又，
四边形为平行四边形.
19. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是，求m的值及方程的另一个根．
【答案】（1）见解析 （2）的值为，方程的另一个根是
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，将代入原方程求出的值是解题的关键．
（1）将方程变形为一般式，再根据根的判别式，即可证出结论；
（2）将代入原方程求出的值，将其代入原方程解方程即可得出方程的另一个根，此题得解．
【小问1详解】
证明：原方程可变形为，
，
∵
∴
方程总有两个不等的实数根；
【小问2详解】
解：方程的一个根是，
，解得：，
原方程为：，
解得：，．
即值为，方程的另一个根是．
20. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
（1）根据线段的垂直平分线得出，根据矩形的性质得出，求出，根据全等三角形的判定定理得出，求出，得出四边形为平行四边形，再得出答案即可；
（2）根据菱形的性质得出，设，根据勾股定理求出，再求出面积即可．
【小问1详解】
证明：∵是的垂直平分线，
，
∵四边形是矩形，
，
，
在和中
，
，
，
，
∴四边形为平行四边形，
，
∴四边形为菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形为菱形，
，
设，
∵四边形是矩形，
，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，
，
∴菱形的面积．
21. 为提高学生对于数学学习的兴趣，八年级举办了“数学素养大赛”活动，为了解大赛情况，从中随机抽取了部分参赛学生的成绩（成绩为整数），将成绩分成六组：组：，组：，组：，组：，组：，组：，整理并绘制出如下两幅不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据图表信息解答以下问题：
（1）本次调查随机抽取了______名参赛学生的成绩；在扇形统计图中组所在扇形的圆心角是______度．
（2）补全频数分布直方图．
（3）若八年级共有名学生，请根据调查数据估计八年级大赛成绩在组的学生人数．
【答案】（1）；
（2）补全频数分布直方图见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了统计图，熟练掌握图表间的关系并能读取有效信息是解题的关键．（1）根据频数分布直方图和扇形统计图的信息计算即可；（2）先计算出组的人数，然后直接画图即可；（3）求出样本中组学生所占的百分比，用样本估计总体即可；
【小问1详解】
本次调查随机抽取了（名）参赛学生的成绩；
在扇形统计图中组所在扇形的圆心角是；
【小问2详解】
组人数为：（名），
补全频数分布直方图如图所示；
【小问3详解】
八年级大赛成绩在组的学生人数为：（名）
答：若八年级共有名学生，则八年级大赛成绩在组的学生人数为名．
22. 某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产产品，乙车间生产产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知件产品与件产品售价和为元，件产品与件产品售价和为元．
（1），两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）今年，该工厂计划将乙车间改造为专供用户定制产品的生产车间．预计产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上减少，产品产量将在去年的基础上增加，且产品的销售单价将提高．则今年，两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加，求的值．
【答案】（1）产品的销售单价为300元，产品的销售单价为200元
（2）50
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，
（1）设产品的销售单价为元，产品的销售单价为元，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设去年每个车间生产产品的数量为件，根据总销售额销售单价销售数量，即可得出关于的一元二次方程，利用换元法解方程即可得出结论．
【小问1详解】
设产品的销售单价为元，产品的销售单价为元，
依题意得：
解得：
答：产品的销售单价为元，产品的销售单价为元．
【小问2详解】
解：设去年每个车间生产产品的数量为t件，
依题意得：
设，原方程可化为
解得：（舍去）
∴
23. 如图，已知四边形是正方形，点（不与点重合）是对角线上一个动点．
（1）如图①，连接，求证：；
（2）如图②，连接，过点作交线段于点，连接．求的度数；
（3）如图③，连接，过点作交线段于点，在点的运动过程中，请直接写出线段，，的数量关系______．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质得到，，再加上公共边即可用判定；
（2）过点作于，于，证四边形是正方形，得到，再用判定，得到，推出是等腰直角三角形即可解决问题；
（3）过点作于，延长线交于，于，根据（2）中的结论，由等腰直角推出与的关系，判定四边形是矩形，得到与、、的关系，即可推出线段，，的数量关系．
【小问1详解】
证明：四边形是正方形，
，，
又，
；
【小问2详解】
解：如图②，过点作于，于，

，
四边形是矩形，
平分，于，于，
，
矩形是正方形，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
是等腰直角三角形，
；
【小问3详解】
解：如图③，过点作于，的延长线交于，于，

由（2）可知四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，
又，
，
，，
是等腰直角三角形，
，，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．课外书数量（本）
1
2
3
4
人数
27
18
16
9
甲
乙
课外书数量（本）
1
2
3
4
人数
27
18
16
9
甲
乙