【八下HK数学】安徽省安庆市第四中学2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试卷

这是一份【八下HK数学】安徽省安庆市第四中学2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试卷，共23页。试卷主要包含了下列运算正确的是，函数的自变量x的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜2B．x≤2C．x≠2D．x＜2且x≠0
3．我校新建的录播室准备用正多边形地砖铺设地面，下列组合中能铺满地面的是（ ）
A．正方形和正六边形B．正三角形和正六边形
C．正五边形和正八边形D．正方形和正十边形
4．用配方法解下列方程，其中应在方程左、右两边同时加上4的是（ ）
A．x2﹣2x＝5B．x2+4x＝5C．2x2﹣4x﹣5＝0D．4x2+4x＝5
5．下表是安庆四中凤鸣文学社40名社员的年龄分布统计表．对于a、b取不同的值，下列关于40名社员的年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A．平均数、众数 B．中位数、平均数C．众数、中位数 D．平均数、方差
6．若a是关于x的方程3x2﹣x+1＝0的一个根，则2024﹣6a2+2a的值是（ ）
A．2026B．2025C．2023D．2022
7．《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（ ）
A．（x+1）2＝x2+102B．（x+1）2＝x2+12
C．x2＝（x﹣1）2+12D．102+（x﹣1）2＝x2
8．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，BC＝8，EF＝2，则AB的长为（ ）
A．5B．6C．8D．10
9．如图，在▱ABCD中，AB＝15，BC＝24．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°，连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（ ）
A．6.5B．5C．6D．5.5
10．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：
①BE＝CD；②∠DGF＝135°；③∠ABG+∠ADG＝180°；④若，则3S△BDG＝13S△DGF．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③④
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．二次根式与最简二次根式可以加减合并，则a＝ ．
12．一个n边形的每个内角都为144°，则边数n为 ．
13．如图，正方形ABCD的边长为6，E为对角线BD上一点，且BE＝BC，点P为线段CE上一动点，且PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，则PM+PN的值为 ．
14．已知如图，正方形ABCD的边长为2，点E是CD边上的中点，矩形GHIF经过正方形A、B、C三个顶点，并正好经过E点，连接BE，若BE⊥FI．
（1）矩形BHIE的面积是 ；
（2）＝ ．
三．解答题（本大题共9小题，第15-18题，每小题8分，第19、20题，每小题10分，第21、22题，每小题12分，第23题14分，满分90分）
15．计算：．
16．解方程：3x（x﹣1）＝2﹣2x；
17．如图是6×6的正方形网格，请用无刻度直尺请按要求完成作图并保留作图痕迹：

（1）在图1中找一点P，使得以A，C，B，P为顶点的四边形为平行四边形；
（2）在图2中，作出∠ABC的角平分线．
18．观察下列各等式，其中反映了某种规律：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第4个等式： ．
（2）请你用含n（n为正整数，且n≥2）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式．
19．发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10＝0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．
涵涵的作业：
解：x2﹣7x+10＝0．
a＝1，b＝﹣7，c＝10．
∵b2﹣4ac＝9＞0，……………①
∴x＝＝．……………②
∴x1＝5，x2＝2．……………③
所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．……………④
当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．……………⑤
（1）涵涵的作业错误的步骤是 （填序号），错误的原因是 ．
（2）探究应用：
请解答以下问题：
已知等腰三角形ABC的一腰和底边的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
①m＝2时，求△ABC的周长；
②当△ABC为等边三角形时，求m的值．
20．如图，在▱ABCD中，AD＝2，点E是CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，∠BAF＝90°，连接AC，DF．
（1）证明：四边形ACFD是菱形；
（2）若∠BAD＝120°，求四边形ABFD的周长．
21．黄梅戏作为华夏民族文化的瑰宝和音乐文化发展的根基，已被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．为了传承和保护这一非物质文化遗产，四中戏剧社团组织了一次以“传承戏曲经典•彰显青春力量”为主题的黄梅戏演唱比赛，赛后从甲、乙两组各随机抽取20名学生的比赛成绩作为样本进行整理，并绘制了如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息，解答下列问题：
甲组20名学生比赛成绩统计表
（1）表中m的值为 ，扇形统计图中n的值为 ；
（2）甲组所抽取学生比赛成绩的众数为 分，乙组所抽取学生比赛成绩的中位数为 分；
（3）若规定本次比赛成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据可知，甲组的优秀率为10%，乙组的优秀率为20%．请判断本次比赛甲、乙两组中优秀率较高的一组是否平均成绩也较高，并说明理由．
22．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．
（1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率；
（2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份用不超过当月图书购置经费的5%购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影需2400元，则最多可购买电脑多少台？
23．问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）延长CB到点H，使得CH＝DF，连接DH，判断△DEH的形状，并说明理由．
（3）如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AFD＝60°，DF＝5，CE＝1，求CD的长．
安庆市四中2023-2024学年八年级第二学期期末考试
八年级数学试卷 参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
B、2﹣＝，故本选项正确，符合题意；
C、18≠6，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意．
故选：B．
2．函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜2B．x≤2C．x≠2D．x＜2且x≠0
【解答】解：根据题意得：2﹣x＞0，
解得x＜2．
故选：A．
3．我校新建的录播室准备用正多边形地砖铺设地面，下列组合中能铺满地面的是（ ）
A．正方形和正六边形B．正三角形和正六边形
C．正五边形和正八边形D．正方形和正十边形
【解答】解：A、正方形和正六边形内角分别为90°、120°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
B、正三角形和正六边形内角分别为60°、120°，显然能构成360°的周角，故能铺满；
C、正五边形和正八边形内角分别为108°、035°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．
D、正方形和正十边形内角分别为90°、144°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
故选：B．
4．用配方法解下列方程，其中应在方程左、右两边同时加上4的是（ ）
A．x2﹣2x＝5B．x2+4x＝5C．2x2﹣4x﹣5＝0D．4x2+4x＝5
【解答】解：A、因为本方程的一次项系数是﹣2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；
B、因为本方程的一次项系数是4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4；故本选项正确；
C、因为本方程的一次项系数是2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；
D、将该方程的二次项系数化为x2+x＝，所以本方程的一次项系数是1，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；
故选：B．
5．下表是安庆四中凤鸣文学社40名社员的年龄分布统计表．对于a、b取不同的值，下列关于40名社员的年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A．平均数、众数 B．中位数、平均数C．众数、中位数 D．平均数、方差
【解答】解：由题意知，a+b＝40﹣（11+19）＝10，
所以这组数据中第20、21个数据均为13岁，
所以这组数据的中位数为＝13（岁），
这组数据中13岁出现19次，次数最多，
所以这组数据的众数为13岁，
所以关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：C．
6．若a是关于x的方程3x2﹣x+1＝0的一个根，则2024﹣6a2+2a的值是（ ）
A．2026B．2025C．2023D．2022
【解答】解：∵a是关于x的方程3x2﹣x+1＝0的一个根，
∴3a2﹣a＝﹣1，
∴2024﹣6a2+2a＝2024﹣2（3a2﹣a）＝2024﹣2×（﹣1）＝2026，
故选：A．
7．《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈＝10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（ ）
A．（x+1）2＝x2+102B．（x+1）2＝x2+12
C．x2＝（x﹣1）2+12D．102+（x﹣1）2＝x2
【解答】解：如图，设木杆AB长为x尺，则木杆底端B离墙的距离即BC的长有（x﹣1）尺，
在Rt△ABC中，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴102+（x﹣1）2＝x2，
故选：D．
8．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，BC＝8，EF＝2，则AB的长为（ ）
A．5B．6C．8D．10
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
则∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB，
同理可证：DF＝CD，
∴DE＝DF﹣EF＝3，
∴AB＝AF+EF＝3+2＝5．
故选：A．
9．如图，在▱ABCD中，AB＝15，BC＝24．E是边BC的中点，F是▱ABCD内一点，且∠BFC＝90°，连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（ ）
A．6.5B．5C．6D．5.5
【解答】解：如图，延长BF交CD的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝15，AB∥CD，
∴∠H＝∠ABF，
∵EF∥AB，
∴EF∥CD，
∵E是边BC的中点，
∴EF是△BCH的中位线，
∴BF＝FH，
∵∠BFC＝90°，
∴CF⊥BF，
∴CF是BH的中垂线，
∴BC＝CH＝24，
∴DH＝CH﹣CD＝9，
在△ABF和△GHF中，
，
∴△ABF≌△GFH（ASA），
∴AB＝GH＝15，
∴DG＝GH﹣DH＝6，
故选：C．
10．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：
①BE＝CD；②∠DGF＝135°；③∠ABG+∠ADG＝180°；④若，则3S△BDG＝13S△DGF．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③④
【解答】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，∠AEB＝45°，
∵AB＝CD，
∴BE＝CD，
故①正确；
∵∠CEF＝∠AEB＝45°，∠ECF＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∵点G为EF的中点，
∴CG＝EG，∠FCG＝45°，
∴∠BEG＝∠DCG＝135°，
在△DCG和△BEG中，
，
∴△DCG≌△BEG（SAS）．
∴∠BGE＝∠DGC，
∵∠BGE＜∠AEB，
∴∠DGC＝∠BGE＜45°，
∵∠CGF＝90°，
∴∠DGF＜135°，
故②错误；
∵∠BGE＝∠DGC，
∴∠ABG+∠ADG＝∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG＝∠ABC+∠ADC＝180°，
故③正确；
∵，
∴设AB＝2a，AD＝3a，
∵△DCG≌△BEG，
∵∠BGE＝∠DGC，BG＝DG
∵∠EGC＝90°，
∴∠BGD＝90°，
∵BD＝＝a，
∴BG＝DG＝a，
∴S△BDG＝a×a＝a2，
∴3S△BDG＝a2，
过G作GM⊥CF于M，
∵CE＝CF＝BC﹣BE＝BC﹣AB＝a，
∴GM＝CF＝a，
∴S△DGF＝•DF•GM＝×3a×a＝a2，
∴13S△DGF＝a2，
∴3S△BDG＝13S△DGF，
故④正确．
故选：D．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．二次根式与最简二次根式可以加减合并，则aa＝ 6 ．
【解答】解：∵二次根式与最简二次根式可以加减合并，
∴与是同类二次根式，
∴2a﹣5＝7，
∴a＝6．
故答案为：6．
12．一个n边形的每个内角都为144°，则边数n为 10 ．
【解答】解：由题意得，（n﹣2）•180°＝144°•n，
解得n＝10．
故答案为：10．
13．如图，正方形ABCD的边长为6，E为对角线BD上一点，且BE＝BC，点P为线段CE上一动点，且PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，则PM+PN的值为 3 ．
【解答】解：连接BP，AC，交BD于O，
∵四边形ABCD 为正方形，AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∴BD⊥AC，垂足为O，BO＝OC＝OD＝OA＝BC＝3，
∵S△BCE＝BE•OC，S△PBE＝BE•PM，S△BCP＝BC•PN，S△BCE＝S△PBE+S△BCP，
∴BE•OC＝BE•PM+BC•PN，
∵BC＝BE，
∴OC＝PM+PN，
∴PM+PN＝3．
故答案为：3．
14．已知如图，正方形ABCD的边长为2，点E是CD边上的中点，矩形GHIF经过正方形A、B、C三个顶点，并正好经过E点，连接BE，若BE⊥FI．
（1）矩形BHIE的面积是 ；
（2）＝ ．
【解答】解：（1）∵点E是CD的中点，
∴CE＝CD＝1，
∴S△BCE＝＝1，
∵四边形BHIE是矩形，点C在HI上，
∴矩形BHIE的面积为2S△BCE＝2，
故答案为：2；
（2）由勾股定理得，BE＝＝，
∵矩形BHIE的面积是2，
∴BH＝，
由勾股定理得，CH＝＝，
∵∠ABG+∠CBH＝90°，∠ABG+∠GAB＝90°，
∴∠GAB＝∠HBC，
∵AB＝BC，∠G＝∠H，
∴△ABG≌△BCH（AAS），
∴BG＝CH＝，
∴GH＝BH+GB＝，
∴＝，
故答案为：．
三．解答题（本大题共9小题，第15-18题，每小题8分，第19、20题，每小题10分，第21、22题，每小题12分，第23题14分，满分90分）
15．计算：．
【解答】解：
＝2﹣+4
＝5；
16．解方程：3x（x﹣1）＝2﹣2x；
【解答】解：3x（x﹣1）＝2﹣2x，
3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x+2）＝0，
x﹣1＝0或3x+2＝0，
所以x1＝1，x2＝﹣；
17．如图是6×6的正方形网格，请用无刻度直尺请按要求完成作图并保留作图痕迹：

（1）在图1中找一点P，使得以A，C，B，P为顶点的四边形为平行四边形；
（2）在图2中，作出∠ABC的角平分线．
【解答】解：（1）如图1所示：即为所求；
（2）如图2所示：即为所求；
18．观察下列各等式，其中反映了某种规律：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第4个等式： ．
（2）请你用含n（n为正整数，且n≥2）的等式表示表述上面的规律并证明这个等式．
【解答】（1）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……；
第5个等式：；
故答案为：；
（2）第n个等式：，
证明：左边＝，
右边＝，
∵左边＝右边，
∴等式成立．
19．发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10＝0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．
涵涵的作业：
解：x2﹣7x+10＝0．
a＝1，b＝﹣7，c＝10．
∵b2﹣4ac＝9＞0，……………①
∴x＝＝．……………②
∴x1＝5，x2＝2．……………③
所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．……………④
当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．……………⑤
（1）涵涵的作业错误的步骤是 （填序号），错误的原因是 ．
（2）探究应用：
请解答以下问题：
已知等腰三角形ABC的一腰和底边的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
①m＝2时，求△ABC的周长；
②当△ABC为等边三角形时，求m的值．
【解答】解：（1）涵涵的作业错误的步骤是⑤，错误的原因是2，2，5不能构成三角形，
故答案为：⑤；2，2，5不能构成三角形；
（2）①当m＝2时，方程为x2﹣2x+＝0，
∴x1＝，x2＝，
当为腰时，+＜，
∴、、不能构成三角形；
当为腰时，等腰三角形的三边为、、，
此时△ABC的周长为++＝，
答：当m＝2时，△ABC的周长为；
②若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4（﹣）＝m2﹣2m+1＝0，
∴m1＝m2＝1，
答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．
20．如图，在▱ABCD中，AD＝2，点E是CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，∠BAF＝90°，连接AC，DF．
（1）证明：四边形ACFD是菱形；
（2）若∠BAD＝120°，求四边形ABFD的周长．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BF，
∴∠ADE＝∠FCE，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CEF＝∠BAF＝90°，
∴AF⊥CD，
AD∥BF，CF＝AD，
∴四边形ACFD是平行四边形，
又∵AF⊥CD，
∴四边形ACFD是菱形；
（2）解：∠DAF＝∠BAD﹣∠BAF＝120°﹣90°＝30°，
由（1）得四边形ACFD是菱形，
∴AC＝CF＝DF＝AD＝2，∠CAF＝∠DAF＝30°，
∴∠BAC＝∠BAF﹣∠CAF＝90°﹣30°＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝AC＝2，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝2，
∴四边形ABFD的周长为：AB+BC+CF+DF+AD＝5AD＝5×2＝10．
21．黄梅戏作为华夏民族文化的瑰宝和音乐文化发展的根基，已被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．为了传承和保护这一非物质文化遗产，四中戏剧社团组织了一次以“传承戏曲经典•彰显青春力量”为主题的黄梅戏演唱比赛，赛后从甲、乙两组各随机抽取20名学生的比赛成绩作为样本进行整理，并绘制了如下不完整的统计图表，请根据图表中的信息，解答下列问题：
甲组20名学生比赛成绩统计表
（1）表中m的值为 1 ，扇形统计图中n的值为 20 ；
（2）甲组所抽取学生比赛成绩的众数为 分，乙组所抽取学生比赛成绩的中位数为 分；
（3）若规定本次比赛成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据可知，甲组的优秀率为10%，乙组的优秀率为20%．请判断本次比赛甲、乙两组中优秀率较高的一组是否平均成绩也较高，并说明理由．
【解答】解：（1）表中m的值为：20﹣3﹣7﹣8﹣1＝1；
1﹣30%﹣30%﹣10%﹣10%＝20%，故扇形统计图中n的值为20．
故答案为：1，20；
（2）甲组所抽取学生比赛成绩的众数为8分，乙组所抽取学生比赛成绩的中位数为＝7.5，
故答案为：8，7.5；
（3）甲组的平均数为：（6×3+7×7+8×8+9+10）＝7.5（分），
乙组的平均数为：6×30%+7×20%+8×30%+9×10%+10×10%＝7.5（分），
故优秀率高的一组不是平均成绩也高．
22．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．
（1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率；
（2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份用不超过当月图书购置经费的5%购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影需2400元，则最多可购买电脑多少台？
【解答】解：（1）设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为x，
根据题意得：50（1+x）2＝72，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为20%；
（2）4月份投入图书购置经费为72（1+20%）＝86.4（万元），
设购买电脑m台，则购买实物投影仪（15﹣m）台，
根据题意得：3300m+2400（15﹣m）≤864000×5%，
解得：m≤8，
答：最多可购买电脑8台．
23．问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）延长CB到点H，使得CH＝DF，连接DH，判断△DEH的形状，并说明理由．
（3）如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，∠AFD＝60°，DF＝5，CE＝1，求CD的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCE＝∠ADF＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DCE＝∠AGD＝90°，
∴∠CDE+∠EDA＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠FAD＝∠CDF，
∵DE＝AF，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AD＝AB；
∴矩形ABCD是正方形
（2）解：△DEH是等腰三角形，
理由：∵△ADF≌△DCH（SAS），
∴AF＝DH，
∵AF＝DE，
∴DH＝DE，
∴△DEH是等腰三角形；
（3）解：延长CB到点H，使CH＝CH＝5，连接DH，作DM⊥CH
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝AD，
∴∠ABH＝∠DCH，
∵CH＝DF，
∴△DAF≌△DCH（SAS），
∴DH＝AF，∠DHC＝∠DFA＝60°，
∵DE＝AF，
∴DH＝DE，
∴△DEH是等边三角形，
∴DH＝HE＝HC+CE＝5+1＝6，
∴MH＝3．
由勾股定理得，DM＝3，
由勾股定理得，CD＝，