2024-2025学年沪科版八年级（初二）数学下册期末考试模拟卷04

这是一份2024-2025学年沪科版八年级（初二）数学下册期末考试模拟卷04，共49页。
考试时间：120分钟；满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级·江苏泰州·期末）已知m、n是正整数，若2m+5n是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（ ）
A．（2，5）B．（8，20）C．（2，5），（8，20）D．以上都不是
2．（3分）（24-25八年级·安徽安庆·单元测试）对于两个实数a，b，用max(a, b)表示其中较大的数，则方程x×max(x, −x)=2x+1的解是（ ）
A．1，1+2B．1，1−2C．−1，1+2D．−1，1−2
3．（3分）（24-25八年级·广东深圳·期中）某校八（1）班在2024年秋季运动会中，参加跳绳比赛的10名学生的参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是95分B．众数是90分C．中位数是95分D．方差是15
4．（3分）（24-25八年级·山东淄博·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB=9m，BC=12m，CD=8m，AD=17m，且∠ABC=90°，则这块菜地的面积是（ ）
A．48m2B．114m2C．12m2D．158m2
5．（3分）（24-25八年级·浙江·期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴正半轴上运动，以AB为对角线作平行四边形AEBF，使得边AE在x轴上，点E在A的右侧，且AE=4，连接EF交AB于点M，当OM⊥EF时，若FA−OA=8，则点A的坐标为（ ）
A．1,0B．3,0C．2,0D．43,0
6．（3分）（24-25八年级·福建厦门·期中）在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=8，点E在BC上，CE=43，若点P是菱形ABCD四条边上异于点E的一点，CE=CP，则以下长度中，不可能是DP的长度的是（ ）
A．8−43B．4C．47−8D．47
7．（3分）（24-25八年级·陕西渭南·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边分别作正方形BAHI，正方形BCFG与正方形CADE，延长BG，FG分别交AD，DE于点K，J，连接DH，IJ，H，D，E在一条直线上，图中两块阴影部分的面积分别记为S1，S2，若S1：S2=1：4，四边形BAHE的面积为27，则四边形MBNJ的面积为（ ）
A．9B．8C．7D．6
8．（3分）（24-25八年级·广西贵港·期末）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线一点，连接AE交CD于F，作∠AEG=∠AEB，EG交CD的延长线于G，连接AG，当CE=BC =2时，作FH⊥AG于H，连接DH，则DH的长为（ ）
A．2−2B．2−1C．22D．23
9．（3分）（24-25八年级·浙江温州·期中）对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程xx+6=72为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为x+6，宽为x的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是x+6+x，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即4×72+62，据此易得x=18−62=6．小明用此方法解关于x的方程x3x−n=24，其中3x−n>x构造出同样的图形，已知小正方形的面积为4，则n的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
10．（3分）（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，已知△ABC和△DEF,B,E,C,F四点在同一条直线上，AB=AC=DE=DF,AC⊥DE，且BC=6,EF=8，现将△DEF沿直线CB方向左右平移，则平移过程中AE+DA的最小值为（ ）
A．42B．34C．6D．41
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·上海·阶段练习）求值：1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋯+1+120232+120242= ．
12．（3分）（24-25八年级·浙江宁波·期末）如果m，n是正实数，方程x2+mx+4n=0 和方程x2+4nx+m=0都有实数解，那么m+n的最小值是 ．
13．（3分）（24-25八年级·福建泉州·期末）某单位设有6个部门，共153人，如下表：
参与了“学党史，名师德、促提升”建党100周年，“党史百题周周答活动”，一共10道题，每小题10分，满分100分；在某一周的前三天，由于特殊原因，有一个部门还没有参与答题，其余五个部门全部完成了答题，完成情况如下表：
综上所述，未能及时参与答题的部门可能是 ．
14．（3分）（24-25八年级·辽宁铁岭·期末）如图，在矩形OABC中，点A的坐标为0,1，D为AB边上一点，将△OAD沿OD所在的直线折叠，A的对应点A′恰好落在x轴上，E为BC边上一点，将四边形ODBE沿OE所在的直线折叠，D的对应点恰好与点C重合，B的对应点为B′，则点E坐标为 ．
15．（3分）（24-25八年级·云南昭通·阶段练习）如图，在△ABC中，点D为BC的中点，AB=5，AC=3，AD=2，则△ABC边BC上的高为 ．
16．（3分）（24-25八年级·广东佛山·期末）如图，▱ABCD中，AD=22，AB=6，∠BCD=135°，对角线AC，BD相交于点O，过点O的线段EF⊥AC交CD于点E，交AB于点F，以下说法中：①AE=AF；②∠DAE=2∠CAE；③EF=5；④△DOE的面积与△AOD的面积比为7:12．其中，正确的序号有 ．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级·北京海淀·阶段练习）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律：
特例1：1+13=3+13=4×13=213，
特例2：2+14=8+14=9×14=314，
特例3：3+15=415，
特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）．
(2)观察、归纳，得出猜想：
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______．
(3)证明你的猜想；
(4)应用运算规律：
①化简：2023+12025×4050=______；
②若a+1b=91b（a，b均为正整数），则a+b的值为______．
18．（6分）（24-25八年级·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程x2−6x+8=0的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程x2−4x+3=0的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)根据上述定义，2x2−5x+2=0是“______倍根方程”；
(2)若关于x的方程x2+6x+m=0是“三倍根方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程x2−bx+c=0是“n倍根方程”，请探究b与c之间的数量关系（用含n的代数式表示）；
(4)由（3）中发现的b、c之间的数量关系，不难得到b24c的最小值是______．（参考公式：x+y≥2xy，x、y均为正数）
19．（8分）（24-25八年级·山西太原·阶段练习）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A， B两点的距离分别为300km、 400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域．
（1）求监测点A与监测点B之间的距离；
（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由；
（3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？
20．（8分）（2025·山东聊城·一模）为落实全国教育大会上提出的“要树立健康第一”的教育理念，某市启动中考体育改革，将体育成绩纳入中考总分，包括A．运动参与、B．运动技能测试、C．体质健康测试、D．统一体能测试四部分共70分（其中A运动参与满分6分，主要有平时体育课、课间体育活动等；B运动技能满分4分，主要是自主选择一项田径、球类等项目进行测试掌握基本技能即为满分；C体质健康测试满分30分，包括体重指数、肺活量、跑步、立定跳远等项目；D统一体能测试满分30分，包括跑步，引体向上（男）仰卧起坐（女）等项目）．
某中学数学兴趣小组对本校八年级学生的体育测试情况进行统计调查，从该校所有八年级学生中随机抽出部分学生的体育测试成绩，将所得的数据进行收集、整理、描述．
下面给出了部分信息：
信息一：每名学生的四项得分之和作为总分，总分用x表示x≥30，将总分数据分成如下四组：第1组：30≤x0，
故10−2x2=4，
∴10−2x=±2，
∵10−2x>0，
∴x=4，
∴n=4×4−10=6，
故选：C．
10．（3分）（24-25八年级·浙江宁波·期末）如图，已知△ABC和△DEF,B,E,C,F四点在同一条直线上，AB=AC=DE=DF,AC⊥DE，且BC=6,EF=8，现将△DEF沿直线CB方向左右平移，则平移过程中AE+DA的最小值为（ ）
A．42B．34C．6D．41
【答案】D
【分析】如图所示，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥EF于点H，设AC,DE交于点P，证明△ACG≌△EDHAAS，得出AG=EH=4,CG=DH=3，以直线BC为x轴，GA为y轴建立平面直角坐标系，勾股定理求得AE+DA的长，进而转化为m,0到0,4和−4,1的距离的和，作M−4,1关于x轴的对称点M′ −4,−1，求得AM′的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥EF于点H，设AC,DE交于点P，则∠AGC=∠EHD=90°，
∵AB=AC=DE=DF，
∴BG=CG=12BC=12×6=3,EH=FH=12EF=12×8=4，
∵AC⊥DE，
∴∠HED+∠HDE=∠HED+∠ACG=90°，
∴∠EDH=∠ACG，
在△ACG和△EDH中，
∠ACG=∠EDH∠AGC=∠EHDAC=ED，
∴△ACG≌△EDHAAS，
∴AG=EH=4,CG=DH=3，
以直线BC为x轴，GA为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
依题意，BC=6，则B−3,0，C3,0
AO=4，则A0,4，
设Em,0，
∵EH=4,DH=3
∴Dm+4,3
∴AE+DA=m2+42+m+42+1
=m−02+0−42+m+42+0−12
即m,0到0,4和−4,1的距离的和
如图所示，作M−4,1关于x轴的对称点M′ −4,−1
∴ AM′的长为AE+DA的最小值，最小值为−4−02+−1−42=16+25=41．
故选：D ．
【点睛】本题考查了等腰三角的性质，全等三角形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质求线段和的最值问题，坐标与图形，转化线段的长为AM′的长是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25八年级·上海·阶段练习）求值：1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋯+1+120232+120242= ．
【答案】202320232024
【分析】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式的应用，先推导公式1+1n2+1n+12=1+1n−1n+1，然后利用公式计算即可．
【详解】解：1+1n2+1n+12
=n2n+12+n2+n+12n2n+12
=nn+12+2nn+1+1n2n+12
=n2+n+12n2n+12
=n2+n+1nn+1
=nn+1+n+1−nnn+1
=1+1n−1n+1，
∴原式=1+11−12+1+12−13+1+13−14+⋯+1+12023−12024
=2023×1+1−12024
=202320232024，
故答案为：202320232024．
12．（3分）（24-25八年级·浙江宁波·期末）如果m，n是正实数，方程x2+mx+4n=0 和方程x2+4nx+m=0都有实数解，那么m+n的最小值是 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了根的判别式，根据一元二次方程根的判别式可得出关于m和n的不等式，再对所得不等式进行分析即可解决问题，熟知一次二次方程根的判别式及对所得不等式进行正确的讨论是解题的关键．
【详解】∵方程x2+mx+4n=0和方程x2+4nx+m=0都有实数解，
∴m2−4×4n≥0，4n2−4m≥0，
∴m2≥16n，n2≥14m，
∵m，n是正实数，
∴m4≥256n2≥64m，
∴m4−64m≥0，即mm3−64≥0，
∴m≥4，
故m的最小值为4，
又∵n2≥14m，
则当m=4时，n2≥1，
∴n的最小值为1，
∴m+n的最小值为5，
故答案为：5．
13．（3分）（24-25八年级·福建泉州·期末）某单位设有6个部门，共153人，如下表：
参与了“学党史，名师德、促提升”建党100周年，“党史百题周周答活动”，一共10道题，每小题10分，满分100分；在某一周的前三天，由于特殊原因，有一个部门还没有参与答题，其余五个部门全部完成了答题，完成情况如下表：
综上所述，未能及时参与答题的部门可能是 ．
【答案】5
【分析】各分数人数比为5：2：1：1：1，可以求出100分占总人数12，90分占总人数15，80、70、60分占总人数的110，即各分数人数为整数，总参与人数应该为10的倍数，6个部门总共有153人，即未参加部分人数个位数有3，即可求得结果．
【详解】解：各分数人数比为5：2：1：1：1，
即100分占总参与人数的55+2+1+1+1=12，
90分占总参与人数的25+2+1+1+1=15，
80、70、60分占总参与人数的15+2+1+1+1=110，
各分数人数为整数，即110×总参与人数＝整数，
∴总参与人数是10的倍数，
6个部门有153人，
即26+16+22+32+43+14＝153人，
则未参与部门人数个位一定为3，
∴未参与答题的部门可能是5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查统计与概率，解本题的关键首先考虑人数为正整数，还要掌握统计的基本知识．
14．（3分）（24-25八年级·辽宁铁岭·期末）如图，在矩形OABC中，点A的坐标为0,1，D为AB边上一点，将△OAD沿OD所在的直线折叠，A的对应点A′恰好落在x轴上，E为BC边上一点，将四边形ODBE沿OE所在的直线折叠，D的对应点恰好与点C重合，B的对应点为B′，则点E坐标为 ．
【答案】2,2−2/2,−2+2
【分析】证明四边形AOA′D是矩形，则OA=OA′=1，得四边形AOA′D是正方形，则OA=OA′=AD=A′D=1，OD=AO2+AD2=2，由折叠的性质得到OD=AC=2,BE=B′E,∠B′=∠B=90°,BD=B′C，证明四边形A′CBD是矩形，则BD=A′C=OC−OA′=2−1，由折叠的性质得到B′C=BD=2−1，设CE=a，则B′E=BE=BC−CE=1−a，在Rt△B′CE中，勾股定理得1−a2+2−12=a2，求出CE=2−2，即可得到答案．
【详解】解：在矩形OABC中，点A的坐标为0,1，
∴OA=BC=1,∠OAB=∠AOC=∠B=∠OCB=90°，
∵△OAD沿OD所在的直线折叠，A的对应点A′恰好落在x轴上，
∴OA=OA′=1，AD=A′D，∠OAD=∠OA′D=90°，
∴∠AOA′=∠OAD=∠OA′D=90°，
∴四边形AOA′D是矩形，
∴OA=OA′=1，
∴四边形AOA′D是正方形，
∴OA=OA′=AD=A′D=1，OD=AO2+AD2=2，
∵四边形ODBE沿OE所在的直线折叠，D的对应点恰好与点C重合，B的对应点为B′，
∴OD=AC=2,BE=B′E,∠B′=∠B=90°,BD=B′C，
∵∠DA′C=∠B=∠OCB=90°，
∴四边形A′CBD是矩形，
∴BD=A′C=OC−OA′=2−1，
∴B′C=BD=2−1，
设CE=a，则B′E=BE=BC−CE=1−a，
在Rt△B′CE中，B'E2+B'C2=CE2，
∴1−a2+2−12=a2，
解得a=2−2，
即CE=2−2，
∴点E的坐标是2,2−2，
故答案为：2,2−2
【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、勾股定理、折叠的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
15．（3分）（24-25八年级·云南昭通·阶段练习）如图，在△ABC中，点D为BC的中点，AB=5，AC=3，AD=2，则△ABC边BC上的高为 ．
【答案】61313/61313
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理等知识，综合性强．延长AD到E，使得DE=AD=2，连接BE，作AF⊥BC于点F，先证明△ADC≌△EDB，得到BE=CA=3，根据勾股定理逆定理得到∠E=90°，进而得到S△BDE=3，BD=13，即可得到S△ADC=3，CD=13，利用三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图，延长AD到E，使得DE=AD=2，连接BE，作AF⊥BC于点F，
则AE=2AD=4．
∵点D为BC的中点，
∴CD=BD，
在△ADC和△EDB中，
AD=ED∠ADC=∠EDBCD=BD，
∴△ADC≌△EDB，
∴BE=CA=3，
∴BE2+AE2=32+42=25，
∵AB2=52=25，
∴BE2+AE2=AB2，
∴∠E=90°，
∴S△BDE=12BD⋅DE=3，BD=BE2+DE2=32+22=13，
∴S△ADC=S△BDE=3，CD=BD=13，
∵AF⊥BC，
∴12CD⋅AF=S△ADC，
即132⋅AF=3，
∴AF=61313．
故答案为：61313
16．（3分）（24-25八年级·广东佛山·期末）如图，▱ABCD中，AD=22，AB=6，∠BCD=135°，对角线AC，BD相交于点O，过点O的线段EF⊥AC交CD于点E，交AB于点F，以下说法中：①AE=AF；②∠DAE=2∠CAE；③EF=5；④△DOE的面积与△AOD的面积比为7:12．其中，正确的序号有 ．
【答案】①③④
【分析】过点A作AG⊥CD于点G，连接CF，易通过AAS证明△COE≌△AOF，得到OE=OF，再证四边形AECF为菱形，进而判断①；根据平行四边形及菱形的性质，易证△AGD为等腰直角三角形，得到AG=DG=2，则CG=4，设AE=CE=a，则GE=4−a，在Rt△AGE中，利用勾股定理建立方程，解得a=52，进而求得DE=72，由平行线的性质得∠DEA=∠EAF=2∠CAE，由DE≠AD可得∠DAE≠∠DEA=2∠CAE，以此判断②；在Rt△ACG中，利用勾股定理求得AC=25，在Rt△COE中，利用勾股定理求得OE=52，以此判断③；易得O到CD的距离为1，O到AB的距离为1，则S△DOE=12×72×1=74，S△AOD=S△ABD−S△AOB=12×6×2−12×6×1=3，再进一步计算即可判断④．
【详解】解：如图，过点A作AG⊥CD于点G，连接CF，
∵四边形ABCD为平行四边形，AB=6，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD=6，OA=OC，
∴∠CEO=∠AFO，∠OCE=∠OAF，
在△COE和△AOF中，∠CEO=∠AFO∠OCE=∠OAFOC=OA，
∴△COE≌△AOFAAS，
∴OE=OF，
又∵OC=OA，EF⊥AC，
∴四边形AECF为菱形，
∴AE=AF，故①正确；
∵四边形AECF为菱形，
∴AE=CE，∠EAF=2∠CAE，
∵∠BCD=135°，AD∥BC，
∴∠ADC=45°，
∵AG⊥CD，
∴∠AGD=90°，
∴△AGD为等腰直角三角形，
∴AG=DG=AD2=222=2，
∴CG=CD−DG=6−2=4，
设AE=CE=a，则GE=CG−CE=4−a，
在Rt△AGE中，GE2+AG2=AE2，则4−a2+22=a2，
解得：a=52，
∴AE=CE=52=AF，GE=4−a=32，
∴DE=DG+GE=2+32=72，
∵AB∥CD，
∴∠DEA=∠EAF=2∠CAE，
∵DE=72≠AD=22，
∴∠DAE≠∠DEA=2∠CAE，故②错误；
在Rt△ACG中，AC=AG2+CG2=22+42=25，
∴OC=OA=5，
在Rt△COE中，OE=CE2−OC2=522−52=52，
∴EF=2OE=5，故③正确；
∵AG=2，
∴O到CD的距离为1，O到AB的距离为1，
∴S△DOE=12×72×1=74，
S△AOD=S△ABD−S△AOB=12×6×2−12×6×1=3，
∴S△DOES△AOD=743=712，故④正确．
综上，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级·北京海淀·阶段练习）嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律：
特例1：1+13=3+13=4×13=213，
特例2：2+14=8+14=9×14=314，
特例3：3+15=415，
特例4：______（填写一个符合上述运算特征的式子）．
(2)观察、归纳，得出猜想：
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______．
(3)证明你的猜想；
(4)应用运算规律：
①化简：2023+12025×4050=______；
②若a+1b=91b（a，b均为正整数），则a+b的值为______．
【答案】(1)4+16=516；（答案不唯一）
(2)n+1n+2=n+11n+2
(3)见解析
(4)①20242；②18
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）根据材料提示计算即可；
（2）由材料提示，归纳总结即可；
（3）运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可；
（4）根据材料提示的方法代入运算即可．
【详解】（1）解：根据材料提示可得，特例 4 为：4+16=516，
故答案为：4+16=516；
（2）解：由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为：n+1n+2=(n+1)1n+2，
故答案为：n+1n+2=(n+1)1n+2；
（3）解：n+1n+2=(n+1)1n+2，
等式左边=n+1n+2=n2+2n+1n+2=(n+1)2n+2=(n+1)1n+2=等式右边；
（4）①解：2023+12025×4050
=2024×12025×2×2025
=20242．
②∵ a+1b=91b，
∴ n+1=9，
∴ n=a=8，b=n+2=10，
∴ a+b=18．
18．（6分）（24-25八年级·江苏扬州·阶段练习）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的n倍（n为正整数），则称这样的方程为“n倍根方程”．例如：方程x2−6x+8=0的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程x2−4x+3=0的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)根据上述定义，2x2−5x+2=0是“______倍根方程”；
(2)若关于x的方程x2+6x+m=0是“三倍根方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程x2−bx+c=0是“n倍根方程”，请探究b与c之间的数量关系（用含n的代数式表示）；
(4)由（3）中发现的b、c之间的数量关系，不难得到b24c的最小值是______．（参考公式：x+y≥2xy，x、y均为正数）
【答案】(1)四
(2)274
(3)b2c=n+2+1n
(4)1
【分析】本题考查一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“n倍根方程”的定义．
（1）先解方程，再根据“n倍根方程”的定义即可得出结论；
（2）根据三倍根方程的定义以及根与系数的关系列方程组解答即可；
（3）设x=p与x=np是方程x2−bx+c=0的解，然后根据根与系数的关系即可求出答案；
（4）根据（3）中发现的b、c之间的数量关系，借助参考公式即可求出答案；
【详解】（1）解：2x2−5x+2=0，
2x−1x−2=0，
解得x1=12和x2=2，
∵12×4=2，
∴一元二次方程2x2−5x+2=0是“四倍根方程”；
故答案为：四；
（2）解：由题意可设：x=n与x=3n是方程x2+6x+m=0的解，
∴n+3n=−63n⋅n=m，
解得：n=−32m=274，
∴m的值为274；
（3）解：∵关于x的方程x2−bx+c=0是“n倍根方程”，
∴可设x=p与x=np是方程x2−bx+c=0的解，
∴p+np=bnp⋅p=c，
∴消去p得：b2c=n+2+1n，
（4）解：由参考公式：x+y≥2xy（x、y均为正数）可得b2c=n+1n+2≥2n⋅1n+2=4，
∴b24c≥1，
故答案为：1．
19．（8分）（24-25八年级·山西太原·阶段练习）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A， B两点的距离分别为300km、 400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域．
（1）求监测点A与监测点B之间的距离；
（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由；
（3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？
【答案】（1）监测点A与监测点B之间的距离是500 km；（2）海港C会受到此次台风的影响，见解析；（3）台风影响该海港8小时
【分析】（1）利用勾股定理直接求解；
（2）利用等面积法得出CE的长，进而得出海港C是否受台风影响；
（3）利用勾股定理得出受影响的界点P与Q离点E的距离，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】解：在RtΔABC中，∠ACB=90°，
由勾股定理得AB=AC2+BC2=3002+4002=500 km
答：监测点A与监测点B之间的距离是500 km．
（2）海港C会受到此次台风的影响，理由如下：
∵SΔABC=12AB·CE=12AC·BC，
∴12×500×CE=12×300×400
解得：CE=240．
∵240