江苏省宿迁市2025届高三调研测试信息卷数学试卷（解析版）

这是一份江苏省宿迁市2025届高三调研测试信息卷数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合A=x∣y=1-x,B={x∣-10，
要证sinx+tanx>2x，只需证sinx+tanx2>2x2，
即只需证sinx+tanx+2sinx⋅tanx>4x，
由（1）知f(x)在0,π2上单调递增，
故fx>f0=sin0+tan0-2×0=0，即sinx+tanx>2x，
故只需证2sinx⋅tanx>2x，即只需证2sinx⋅tanx>2x，
即只需证sinx⋅tanx-x2>0，
令gx=sinx⋅tanx-x2，x∈0,π2，
则g'x=csx⋅tanx+sinx⋅1cs2x-2x=sinx+sinxcs2x-2x，
由sinx+sinxcs2x≥2sinx⋅sinxcs2x=2tanx，当且仅当cs2x=1时等号成立，
由csx∈0,1，故不能取等，即有sinx+sinxcs2x>2tanx，
则g'x=sinx+sinxcs2x-2x>2tanx-2x=2tanx-x，
令hx=tanx-x，x∈0,π2，则h'x=1cs2x-1=1-cs2xcs2x>0，
故hx在0,π2上单调递增，则hx>h0=0，
即g'x>0，故gx在0,π2上单调递增，则gx>g0=0，
即有sinx⋅tanx-x2>0，即得证.
19．已知Γ1:x2a2-y2b2=1，Γ2:y2a2-x2b2=1a ＞ 0 ,b ＞ 0，二者相交于1,1，离心率为3．
（1）求Γ1,Γ2的方程；
（2）记Γ1,Γ2在第一象限交于A，第二象限交于B，第三象限于C，第四象限交于D．
（i）如图1，过点A的直线l1交Γ1于M，过点A的直线l2交Γ2于N，斜率分别为k1,k2，MA，NA的中点分别为P，Q．求证：当OP⊥OQ时，k1k2=-1 (所有直线斜率均存在) ；
（ii）如图2，P0为Γ2上的动点，连接P0A交Γ1于P1，连接P1B交Γ2于P2．连接P2C交Γ1于P3，连接P3D交P0A于L，求证：L轨迹为双曲线，并给出轨迹方程．
解：（1）由题意可得1a2-1b2=1，且a2+b2a=3，即b2=2a2，
故1a2-12a2=1，解得a2=12，则b2=1，
故Γ1:2x2-y2=1，Γ1:2y2-x2=1；
（2）（i）由题意可得lAM:y=k1x-1+1，lAN:y=k2x-1+1，
联立y=k1x-1+12x2-y2=1，消去y有k12-2x2-2k12-k1x+k12-2k1+2=0，
故xA+xM=2k12-k1k12-2，则xP=xA+xM2=k12-k1k12-2，
yP=k1xp-1+1=2k1-2k12-2，故kOP=2k1-2k12-2k12-k1k12-2=2k1-2k12-k1=2k1-1k1k1-1=2k1，
联立y=k2x-1+12y2-x2=1，消去y有2k22-1x2-4k22-k2x+2k22-4k2+1=0，
故xA+xN=4k22-k22k22-1，则xQ=xA+xN2=2k22-k22k22-1，
yQ=k2xp-1+1=k2-12k22-1，故kOQ=k2-12k22-12k22-k22k22-1=k2-12k22-k2=k2-12k2k2-1=12k2，
由OP⊥OQ，故kOP⋅kOQ=2k1⋅12k2=1k1k2=-1，故k1k2=-1；
（ii）设直线AP1、BP2、CP3、DL的斜率分别为kA、kB、kC、kD，
则lAP1:y=kAx-1+1，
联立y=kAx-1+12x2-y2=1，消去y有kA2-2x2-2kA2-kAx+kA2-2kA+2=0，
则xP1+xA=xP1+1=2kA2-kAkA2-2，故xP1=2kA2-kAkA2-2-1=kA2-2kA+2kA2-2，
则yP1=kAxP1-1+1=kAkA2-2kA+2kA2-2-1+1=-kA2+4kA-2kA2-2，
由B-1,1，则kB=yP1-1xP1+1=-kA2+4kA-2kA2-2-1kA2-2kA+2kA2-2+1=-2kA2-2kAkA2-22kA2-kAkA2-2=2-kAkA-1，
lBP2:y=kBx+1+1，
联立y=kBx+1+12y2-x2=1，消去y有2kB2-1x2+4kB2+kBx+2kB2+4kB+1=0，
则xP2+xB=xP2-1=-4kB2+kB2kB2-1，故xP2=-4kB2+kB2kB2-1+1=-2kB2-4kB-12kB2-1，
则yP2=kBxP2+1+1=kB-2kB2-4kB-12kB2-1+1+1=-2kB2-2kB-12kB2-1，
由C-1,-1，则kC=yP2+1xP2+1=-2kB2-2kB-12kB2-1+1-2kB2-4kB-12kB2-1+1=-2kB-22kB2-1-4kB-22kB2-1=kB+12kB+1，
则kC=kB+12kB+1=2-kAkA-1+12⋅2-kAkA-1+1=2-kA+kA-14-2kA+kA-1=13-kA，
lCP3:y=kCx+1-1，
联立y=kCx+1-12x2-y2=1，消去y有kC2-2x2+2kC2-kCx+kC2-2kC+2=0，
则xP3+xC=xP3-1=-2kC2-kCkC2-2，故xP3=-2kC2-kCkC2-2+1=-kC2+2kC-2kC2-2，
则yP3=kCxP3+1-1=kC-kC2+2kC-2kC2-2+1-1=kC2-4kC+2kC2-2，
由D1,-1，则kD=yP3+1xP3-1=kC2-4kC+2kC2-2+1-kC2+2kC-2kC2-2-1=2kC2-4kCkC2-2-2kC2+2kCkC2-2=kC-2-kC+1，
则kD=kC-2-kC+1=13-kA-2-13-kA+1=1-23-kA-1+3-kA=2kA-52-kA，
设Lx,y，则kA=y-1x-1，kD=y+1x-1，
故有y+1x-1=2⋅y-1x-1-52-y-1x-1=2y-2-5x-12x-1-y+1=2y-5x+32x-y-1，
即有y+12x-y-1-2y-5x+3x-1=5x2-y2-6x+2=0，
化简可得y215-x-352125=1，故L轨迹为双曲线，
且轨迹方程为y215-x-352125=1.