江苏省连云港市2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份江苏省连云港市2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答题纸相应位置上.
1. 已知为虚数单位，复数是纯虚数，则（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】D
【解析】因为复数（）是纯虚数，所以，
由，得或，
由，得，
所以.
故选：D.
2. 若向量，，则与的夹角为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，
，，，
设与夹角的余弦值为，
，所以．
故选：．
3. 若均为第二象限角，满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为均为第二象限角，满足，，
所以，
所以.
故选：D.
4. 设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】向量与向量共线，
设，故，解得.
故选：B
5. 某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得，千米，千米，则间的直线距离约为（ ）
A. 6千米B. 7千米C. 8千米D. 5千米
【答案】B
【解析】由余弦定理，
，解得.
故选：B.
6. 的内角的对边分别为，，，且，，，则的面积为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】B
【解析】由已知，，，
则.
故选: B.
7. 已知，是方程的两根，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，，
则，
因，则，故.
故选：C.
8. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令，而，
故选：A.
二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的每项2分，有选错的得0分）
9. 下列式子中成立的有（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BCD
【解析】对于A选项，，A错；
对于B选项，因为，
所以，B对；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D对．
故选：BCD．
10. 已知中，角的对边分别为，则以下四个命题正确的有（ ）
A. 当，，时，满足条件的三角形共有1个
B. 若则这个三角形的最大角是
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则三角形为等腰三角形
【答案】BD
【解析】对于A，由正弦定理，，则，
故不存在满足条件的三角形，即A错误；
对于B，由正弦定理，，
设，则，由余弦定理，，
因，则，故这个三角形的最大角是，即B正确；
对于C，因，由余弦定理，，
因，故角为锐角，但不能说明为锐角三角形，故C错误；
对于D，由和正弦定理，可得，即，
因，故，所以，即，三角形为等腰三角形，故D正确.
故选：BD
11. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则，且方向相同
B. 若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为
C. 对任意向量，，，都有
D. 是的所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍
【答案】ABD
【解析】对于A，由可知，大小相等，方向相同，故A正确；
对于B，依题意，，
则向量在向量上的投影向量为，故B正确；
对于C，对任意向量，，，与结果均为实数，
设为，，则，，
而与关系不明确，故得不到，即C错误；
对于D，如图，分别取，则，即得，故，
因，则，
故，即的面积是的面积的2倍，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分，请把答案直接填写在答题纸）
12. 已知，则______.
【答案】
【解析】.
故答案为：
13. 已知，，则________．
【答案】
【解析】因为，则，则，
又，所以，
则，
所以
.
故答案为：
14. 如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于________________
【答案】
【解析】为的中点，且为的中点，
所以，
，
，.
因此，，
故答案为：.
四、解答题：共5小题，共77分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，，为虚数单位．
（1）求
（2）若，求的共轭复数；
（3）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
解：（1）
（2），，
，
．
（3）在复平面上对应的点在第四象限，
，解得，
故实数的取值范围为．
16. 已知平面向量.
（1）若，求的值；
（2）若求的值；
（3）若向量，若与共线，求
解：（1）因为，所以，则，解得，
故，.
（2）因为，所以，则，.
（3），，
若与共线，则，解得，即，
故.
17. 在中，、、分别为角所对应的边，已知，，.
（1）求的值；
（2）在边上取一点，使得，求的长.
解：（1）由余弦定理可得，，
由正弦定理可得，，则.
（2）由，可知为钝角，
则，
在中，由正弦定理，，
则.
18. （1）在中，角所对的边分别为、、，若，，且.求；
（2）已知函数的最大值为3，求的值.
（3）在（2）的前提下，若，，求的值.
解：（1）在中，由余弦定理得，整理得，
则，所以.
（2）函数，
则，所以.
（3）由（2）知，由，得，
解得，由，得，，
，
，
所以
.
19. 如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为nmile．为钝角，且．
（1）求小岛与小岛之间的距离；
（2）求四个小岛所形成的四边形的面积；
（3）记为，为，求的值．
解：（1），且为钝角，，
在中，由余弦定理可得，
，即，
解得：或（舍去）．
小岛与小岛之间的距离为2nmile．
（2）四点共圆，与互补，则
．
在中，由余弦定理得：，
，得，
解得（舍去）或．
（平方海里），
四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里．
（3）在中，由正弦定理得：，即，解．
，为锐角，则，
又，
，
．