江苏省镇江徐州七校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷（解析版）

这是一份江苏省镇江徐州七校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知i为虚数单位，复数z满足，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】∵，∴，
∴.
故选：C.
2. 已知平面向量，是两个单位向量，且，的夹角为，则（ ）
A. 1B. C. D. 3
【答案】A
【解析】由题意可得，
则.
故选：A
3. 在中，角所对的边分别为，若，，则（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理可知：，
∴，，∴.
故选：C.
4. 已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】C
【解析】因为在上的投影向量为，所以.
故选：C.
5. 镇江苏宁广场地处镇江商业的核心位置——大市口商圈；它是一座集办公、酒店、零售、娱乐为一体的新城市综合体，某同学为测量镇江苏宁广场的高度，在苏宁广场的正东方向找到一座建筑物，高约为170m，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，苏宁广场顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则苏宁广场的高度约为（ ）
A. 320mB. 340mC. 360mD. 380m
【答案】B
【解析】在中，，，∴.
在中，，，
，，
∴由正弦定理可得，
∴.
在中，，，∴.
故选：B.
6. 已知，，则（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】B
【解析】由得；
由得.
两式相加：，即.
两式相减：，即.
因为，代入得.
故选：B.
7. 在中，角所对的边分别为，，在边上，是角的平分线，，，则的周长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】已知，移项可得.
因为（若，则，不满足），所以，即.
又因为，所以.
因为是角的平分线，所以.
根据三角形面积公式，可得.
可得：，即
两边同时约去可得.
由余弦定理，将，代入可得：
，即，即.
根据完全平方公式，可得，将其代入上式可得：
，
将代入上式可得：，解得（负值舍去）.
的周长为.
故选：A.
8. 如图，在中，是的中点，在边上，，，，与交于点，，则实数的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】由已知得：，
设，所以，
又点三点共线，所以，解得，
所以，
又，
因，，
所以
，
则，故.
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 复数的共轭复数的虚部为-1
C. 若复数z为纯虚数，则D. 若，为复数，则
【答案】AD
【解析】对于A，，A正确；
对于B，，其共轭复数的虚部为1，B错误；
对于C，取，则，，C错误；
对于D，设，则，
，D正确.
故选：AD
10. 设非零向量，的夹角为，定义运算．下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B.
C. 若，则D.
【答案】AC
【解析】对于A，，所以，所以，
所以，故A正确；
对于B，因为，所以，故B错误；
对于C，若，则，所以或，所以，故C正确；
对于D，若，则，
，故D错误.
故选：AC.
11. 在中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A. B. 为锐角三角形
C. D.
【答案】ABD
【解析】已知，根据二倍角公式，可得，则，即.
因为，所以，可得.
则，可得.
因为，所以，，两边同时除以，可得，故A选项正确.
由，可知与同号，又因为，所以都是锐角.
，所以也是锐角，因此为锐角三角形，故B选项正确.
因为，所以（当且仅当时取等号）.，因为在上单调递增，且，所以，故C选项错误.
根据余弦定理，由，可得.，因为（当且仅当时取等号），所以.
又因为，所以，当且仅当且时取等号，而不成立，所以，故D选项正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设向量，，若，则实数______.
【答案】2
【解析】∵向量，，，
∴，解得.
故答案为：.
13. 已知，，则______．
【答案】
【解析】已知，则，所以.
又因为，所以.
根据三角函数平方关系，可得：
可得：
因为，所以.
再根据二倍角公式，可得： ①
又因为 ②
联立①②求解，因为，所以，.
由①得，代入②可得：
设（），则，两边同时乘以得：
，解得或，即或.
由于，则可以再缩小，因此.
因此.由于，
而 ，
，
则.
故答案为：.
14. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边，求面积的公式．这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即：
，现有的三边满足
，则的最大值______．
【答案】
【解析】在中利用正弦定理，可化简为，
设，则，则，
则，
则，
则，
因，则，得，
得，
则当时，有最大值.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数满足和均为实数，其中i为虚数单位．
（1）求复数；
（2）若是方程的一个根，求实数m的值．
解：（1）设，（），则，
因为和均为实数，所以，，
则，所以复数．
（2）因为z是方程的一个根，则有
整理得：，所以，则
16. 已知，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
解：（1）因为，且，所以，
所以；
（2）由（1）知：，，
所以，
.
17. 已知点，，
（1）若三点共线，求实数的值；
（2）若为等腰三角形，求实数的值；
（3）若四边形为矩形，求向量与夹角的余弦值．
解：（1）因为三点共线，所以，共线，即，
又，，则有，所以；
（2）①若，取中点，则，
又，，则中点，
而，，得：，
②若，取中点，则，
又，，，
由，得或3，
由（1）得：时，三点共线，舍去．所以，
③若，取中点，则，
又，，，
由，得，方程无解，
综上，或5；
（3）设，因为四边形为矩形，所以，，
又，，，则，，，
则，，则，
综上，向量与夹角的余弦值为.
18. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答，
问题：在中，角所对的边分别是，且______．
（1）求角；
（2）已知，为线段上的一点．
①若是边上的高，求的最大值；
②若，求的最大值．
解：（1）选择①：条件即，
由正弦定理可知，，
在中，，所以，，
所以，且，即，所以
选择②：条件即，
即，
在中，，所以，则，所以，所以
选择③：条件即，
所以，
在中，，所以．
（2）①因为的面积，所以
在中，由余弦定理得：
所以，从而
当且仅当取等．所以的最大值为
②由正弦定理得：，R为外接圆半径，
因为，
则
因为，故当，即时，取得最大值
则BD的最大值为
19. 费马问题是著名的几何极值问题，它是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点P就是它到三个顶点距离之和最小的点，这个点P称为费马点，当的一个内角大于120°时，最大内角的顶点为费马点．
试用以上知识解决下面问题：
在中，角所对的边分别是，若，．
（1）求；
（2）设点为的费马点，
①若，求；
②设，，求的取值范围．
解：（1）在中，
由正弦定理得：
因为在中，，，从而且，所以.
（2）①设，，
则，则
由得：，则
在中，由余弦定理得：
代入得：，则，或，，则
②根据题意得：因为，所以的三个内角均小于，
从而费马点在的内部，设，
则，，，
在和中，分别由正弦定理得：，
两式相除得：
因为，所以，
则的取值范围是.