江苏省多校2024-2025学年高一下学期第一次阶段联考数学试卷（解析版）

这是一份江苏省多校2024-2025学年高一下学期第一次阶段联考数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】由题意得.
故选：A.
2. 若，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由已知得：，
即，所以.
故选：A.
3. 已知，且三点共线，则（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】A
【解析】因为三点共线，所以，
因为，所以，解得.
故选：A.
4. 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】已知，移项可得，
因为，所以，
对两边同时平方可得，
根据完全平方公式则，
又因为，，
所以可化为，
由，移项可得，则，
根据向量的数量积公式，将，，代入可得：，
则.
故选：D.
5. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，所以
又，，所以，所以，
所以在上的投影向量为.
故选：C.
6. 如图，在中，点在线段上，且．若，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】在中，点在线段上，且，
则，
，而，因此，
即，所以.
故选：A.
7. 已知，则，，的大小顺序为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
.
故选：B.
8. 已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，，
且
，
当且仅当时等号成立，又的最小值为，
所以，又，则，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
设点，其中，且、，，，
所以，
当且仅当时，取最小值.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各式的值正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】，A不正确；
，B正确；
，C不正确；
，D正确．
故选：BD.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数的图象的一条对称轴方程为
D. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
【答案】AD
【解析】对于A，
，
函数的最小正周期，故A正确；
对于B，因为，∴，
而函数在上不单调，故在区间上不单调，故B错误；
对于C，由（），得（），
不可能取到，故C错误；
对于D，由的图象向左平移个单位长度，
得，故D正确.
故选：AD.
11. 著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知的外心为，重心为，垂心为，为中点，且，，则下列各式正确的有（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】由是的重心可得，
所以，故A项错误；
过的外心分别作，
的垂线，垂足为，，如图(1)，易知，分别是，的中点，则
，故B项正确；
因为是的重心，所以有，
故
，由欧拉线定理可得，故C项正确：
如图(2)，由于，所以，故D错误．
故选：BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则________.
【答案】
【解析】因为，
即，
所以.
13. 如图，P，Q分别是四边形的对角线与的中点，设，，且，不是共线向量，向量____________.（试用基底，表示）
【答案】
【解析】如图，
因为，Q分别是四边形的对角线与的中点，，，
取的中点G，连接，，
所以，，，
∴.
14. 已知，则______，______.
【答案】
【解析】由可得，
即，
由可得，即，
两式相加可得，
即，解得；
因为
，
，
所以，
所以．
15. 已知向量.
（1）若向量与共线，求实数的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
解：（1）由题意可得，，
若向量与共线，可得，
解得.
（2）若向量与夹角为锐角可得且与不共线，
即可得，解得且，
即实数的取值范围为且.
16 （1）求值：.
（2）在中，已知，求角C的大小.
解：（1）
，
∵，
∴原式=.
（2）中，已知，
若，则，不合题意；
∴，，
由已知，，
∴，，
∴，∴.
17. 如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线.
（1）用、表示；
（2）求的值.
解：（1）因为，则，所以，
因为为的中点，故.
（2）因为、、三点共线，则，，，
所以存在，使得，即，
所以，
又因为，且、不共线，
所以，则，
所以，故.
18. 长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度．一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为．设和的夹角为，北岸的点在A的正北方向．
（1）当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由．
（2）当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算）
（3）当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？
解：（1）由题设，在反方向上的分速度为，
∴游船航行到达北岸的位置是在的左侧.
（2）要使能到达处，则在反方向上的分速度为，
∴，故，又，此时，
∴垂直方向上的速度，∴.
（3）由（1）知：垂直方向航行时间为，
∴水平方向航行距离为，
∴游船航行到达北岸的实际航程.
19. 已知函数，且恒成立.
（1）求a值；
（2）设，若，，使得，求实数b的取值范围.
解：（1）
，其中为锐角且，
由于，，故，
所以，，故，，
，，解得.
（2）由（1）得，不妨取，故，
，，使得，
则只需，
当时，，故，
则，
令，则，
则，
其中，
因为，所以，，
若，此时在上单调递减，
故，故，
若，此时，
令，故，解得，
与取交集得，
若，此时在上单调递增，
故，
令，解得，与取交集得，
综上，.