江苏省淮安市九校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题（解析版）

这是一份江苏省淮安市九校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知甲、乙、丙、丁四组数据变量间对应的样本相关系数分别为－0.92，0.46，0.79，0.85，则（ ）
A. 甲组数据变量间的线性相关程度最强
B. 乙组数据变量间的线性相关程度最强
C. 丙组数据变量间的线性相关程度最强
D. 丁组数据变量间的线性相关程度最强
【答案】A
【解析】设变量间的线性相关系数为，当越接近1时，相关程度越强，
因为，
所以甲组数据变量间的线性相关程度最强，乙组数据变量间的线性相关程度最弱．
故选：A.
2. 已知＝(2，4，5)，＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则（ ）
A. x＝6，y＝15B. x＝3，y＝
C. x＝3，y＝15D. x＝6，y＝
【答案】D
【解析】由l1∥l2得，，解得x＝6，y＝.
故选：D
3. 完全展开后的项数是（ ）
A. 7B. 9C. 12D. 18
【答案】C
【解析】由分步乘法计数原理得，完全展开后的项数为.故选：C
4. 在三棱锥中，，，，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，连接，
因为，，则，，
所以
.
故选：D.
5. 若随机变量，则（ ）
A. 1.2B. 2.4C. 4.8D. 9.6
【答案】D
【解析】因为，所以，，
所以，
故选：D.
6. 甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，甲和乙相邻情况有：所有排列为：,
甲和乙相邻，丙和丁也相邻的情况有：,
所以在甲和乙相邻的条件下，丙和丁也相邻的概率为，
故选：C
7. 将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小.若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法数为（ ）
A. 12B. 24C. 36D. 48
【答案】A
【解析】由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得在左上角，在右下角，如图，

排在位置，有种方法，
从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在位置，有种方法，
最后两个数字从上到下由大到小排在位置，有1种方法，
所以填写方格表的方法共有（种）.
故选：A
8. 为迎接五一假期，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的5个红球和4个白球，每位员工从中摸出2个小球．若摸到一红球一白球，可获得价值a百元代金券；摸到两红球，可获得价值b百元代金券；摸到两白球，可获得价值ab百元代金券（a，b均为整数）．已知每位员工平均可得6百元代金券，则运气最好者获得至多（ ）百元代金券.
A. 12B. 16C. 18D. 20
【答案】B
【解析】若摸到一红球一白球的概率，
若摸到2白球的概率，若摸到2红球的概率，
设可获得百元代金券为变量分布列如下，
，
手气最好者获得百元代金券
即，，
又a，b均为正整数，
所以当时，有，即舍去；
当时，有，即，
此时运气最好者获得至多百元代金券；
当时，有，即舍去；
当时，有，即，此时运气最好者获得至多百元代金券；
当时，有，即舍去；
当时，有，即舍去；
当时，有，即舍去；
当时，有，即舍去；
当时，可得舍去；
综上，运气最好者获得至多16百元代金券.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量，如下表所示，若与线性相关，且经验回归方程为，则（ ）
A. 与负相关B.
C. 第7个月的下载量估计为1.8万次D. 残差绝对值的最大值为0.2
【答案】ABD
【解析】对于A，由，则回归直线斜向下，故A正确；
对于B，由，，
即样本中心为，
则，解得，故B正确；
对于C，将代入回归方程，解得，故C错误；
对于D，由题意可得下表：
则最大值为，故D正确.
故选：ABD.
10. 甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件B为“取出的两球都是红球”，事件C为“取出的两球为一红一白”，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】由题意知，，
，，故A正确；
，，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD.
11. 设，则（ ）
A.
B.
C.
D. 若表示正数的整数部分，则
【答案】ACD
【解析】对于A，令，可得，故A正确；
对于B，令，可得，故B错误；
对于C，令，可得，
所以，
所以，所以，
故C正确；
对于D，
所以，故D正确；
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 学校运动会需要从5名男生和2名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有一名女生的不同选法的种数是____________（请用数字作答）
【答案】30
【解析】选出的志愿者中，1个女生3个男生时，方法数有种，2个女生2个男生时，方法数有种，所以不同选法有种.
故答案为：30.
13.某班有40名学生,一次考试后数学成绩,若，则估计该班学生数学成绩超过120分的人数为______．
【答案】10
【解析】由题意得数学成绩，
所以由，可得，
所以，
所以估计该班学生数学成绩超过120分的人数为.
故答案为：10.
14. 甲，乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），每轮赢的得3分，输的得0分，若两人出拳一样，各得1分，记第n轮后，甲、乙两人的累计得分分别为，，则_________，若第1轮甲得3分，则_________．
【答案】;
【解析】由题知每一轮甲得3分的概率为，得0分的概率为，得1分的概率为，
所以；
若第1轮甲得3分，则对应的甲乙得分情况可能为
所以
．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知在的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比是.
（1）求的值；
（2）求展开式中的常数项，并指出是第几项；
解：（1）依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为，
∴，即，由，解得；
（2）展开式的通项为
，
令，解得，∴，
∴常数项为60，为第5项.
16. 如图，在直三棱柱中，AB⊥AC，，点E，F分别为棱AB、的中点．
（1）求直线与直线AF的夹角的余弦值；
（2）求点F到平面的距离．
解：（1）因为丄平面ABC，AB⊥AC，以点A为坐标原点，AB、AC、所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，则A(0,0,0)、、E(1,0,0)、F(1,0,2)，
所以，，，
，
所以，直线与直线AF的夹角的余弦值为．
（2）易知，，，
设平面的法向量为，
则，
取x=2，可得，
所以平面的一个法向量为，
且，所以，点F到平面的距离为．
17. 预防接种是预防掌握传染病最经济、最有效的手段，是预防疾病传播和保护群众的重要措施.为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物（数量较大）进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据（单位；只）：
（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关？
（2）从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物接种疫苗，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，利用抽样的样本数据，求的估计值.
（3）若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中接种疫苗的只数为，求随机变量的分布列、数学期望.
附：，其中.
解：（1）根据列联表可得，
所以，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关.
（2）由于.
所以，，
,
由列联表中的数据可得，，所以.
（3）由题可知，抽取的24只没发病的动物中接种疫苗和没接种疫苗的动物分别为18只和6只，所以从没发病的动物中随机抽取1只，抽取的是接种了疫苗的概率为，
则由题意可知，且，
，，
，，
所以随机变量的分布列为
所以随机变量的数学期望为.
18. 如图，在四棱锥中，平面PAD，．
（1）证明：平面ABCD；
（2）若底面ABCD是正方形，．E为PB中点，点F在棱PD上，且平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为．
（ⅰ）求PF；
（ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在平面PBC上，求EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围．
解：（1）因为平面PAD，平面PAD，所以．
又，平面ABCD，平面ABCD，，
所以平面ABCD．
（2）以A原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图．
（ⅰ），，，
，，，设，
则．
设平面AEF的法向量为，则即，
取，得，，
所以是平面AEF的一个法向量，
因为平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量．
因为平面AEF与平面ABCD的夹角的余弦值为，
所以，得，所以．
（ⅱ）设，则．
因为为平面AEGF的一个法向量，所以，
所以，即，得，
所以，．，，，，，，因为M在平面PBC上，所以，
所以．
设平面MAD的法向量，则即，
取得，所以是平面MAD的一个法向量，
设EG与平面MAD所成角为，则
因为，所以
即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为．
19. 从五个网络节点中随机选择三个进行数据传输测试．
（1）若三个核心节点中被选中的数量为随机变量，求的分布列；
（2）若现只有三个节点进行数据传输测试.每次传输规则如下：
数据在节点时：掷骰子，若点数大于3，则传输至节点；否则保留在节点；
数据在节点时：掷骰子，若点数大于4，则传回节点；否则传输至节点；
数据在节点时：掷骰子，若点数大于3，则传回节点；否则传回B节点.
初始时数据在节点，设经过次骰子投掷（即次传输）后，数据在节点的概率为，
①求
②求
解：（1）的可能取值为1，2，3
，，
所以得分布列为：
（2）①由题意，当投掷3次骰子后，点数大于3的概率为，若点数大于4的概率为，
数据在中，共有4种情况：
，其概率为；
，概率为；
，概率为；
，概率为；
所以投掷3次后，数据在中的概率为．
②设投掷次后，数据仍在中的概率为，
所以当时，，
，
所以，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，，
所以，所以．
4
a
b
ab
P
月份编号
1
2
3
4
5
下载量万次
5
4.5
4
3.5
2.5
发病
没发病
合计
接种疫苗
7
18
25
没接种疫苗
19
6
25
合计
26
24
50
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
0
1
2
3
X
1
2
3
P