【联考】重庆市部分学校2025届高三上学期模拟调研卷（二）数学试题

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高考模拟调研卷数学（二）
数学测试卷共 4 页，满分 150 分.考试时间 120 分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，若，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得，然后分与讨论，代入计算，即可得到结果.
【详解】由可得，
当时，，不满足；
当时，由，
由可得，解得.
综上所述，的取值范围是.
故选：B
2. “”“”
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】通过反例可知充分条件不成立；当时，可得的范围，与所给条件不符，必要条件不成立，从而得到结论.
【详解】当时，，可知充分条件不成立
当时，，，可知必要条件不成立
“”是“”的既不充分也不必要条件
本题正确选项：
【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.
3. 设向量，若，则（）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】将可得，然后由数量积的坐标表示可得.
【详解】因为，所以，
即，整理得
又，所以，解得.
故选：B
4已知，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数函数单调性比较和的大小，再根据作商法比较的大小可得答案.
【详解】因为，，，
所以，
又，
所以，所以.
故选：B
5. 随机投掷一枚质地均匀的骰子，该骰子六个面分别刻有两个1，两个2，两个3共六个数字，若掷出的数字为，则再从数字中随机选取一个数字，则选出的数字为2的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用全概率公式求解可得.
【详解】记掷出的数字为的事件为，选出数字为2为事件，
易知，，
由全概率公式得
.
故选：C
6. 若，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式将目标式转化为，然后由二倍角公式可得.
【详解】因为，
所以
.
故选：A
7. 已知等差数列和的前项和分别为，若，则（）
A. B. 149C. 28D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列的性质来计算求得正确答案.
【详解】依题意，和是等差数列，
而，故可设，
其中，所以，
，
.
故选：D
8. 已知直线与圆相切，则的最大值为（）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆心到直线的距离等于半径的的关系，消元后利用基本不等式求解可得.
【详解】圆的圆心为O0,0，半径为，
由题知，，整理得，
则，
当且仅当时等号成立，
所以，所以的最大值为13.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 已知为虚数单位，复数满足，则（）
A. 在复平面内对应的点在第一象限
B. 的虚部为
C.
D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据复数除法运算求出，然后根据复数几何意义、虚部概念、复数模的公式和共轭复数概念逐一判断即可.
【详解】由得，
对于A，则在复平面内对应的点为，在第一象限，A正确；
对于B，的虚部为，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：AD
10. 已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则实数的值可能是（）
A. 32B. C. 6D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先解出方程的根得到离心率，然后分情况讨论是椭圆还是双曲线，根据公式即可求得结果.
【详解】对于方程，可求得根为，
当圆锥曲线为椭圆时，即且，离心率，
若，则，
此时离心率，
当时，，两边平方可得，解得；
若，则，
此时离心率，
当时，，两边平方可得，解得；
当圆锥曲线为双曲线时，即，离心率，
此时，
此时离心率，
当时，，两边平方可得，解得；
综上实数的值可能是或或，
故选：ABD.
11. 在锐角中，内角的对边分别为，若，则下列说法正确的是（）
A.
B. 的取值范围为
C. 的最小值为
D. 的取值范围是
【答案】AB
【解析】
【分析】利用正弦定理角化边得，结合余弦定理和二倍角公式可得，可判断A；根据三个角为锐角列不等式组求解可判断B；利用商数关系和和差公式，结合化简，运用基本不等式可判断C；边化角，利用二倍角和三倍角公式化简，结合角范围可判断D.
【详解】对A，由正弦定理角化边得，
由余弦定理有，
，
因为锐角三角形，所以，，
所以，
所以，所以，A正确；
对B，由上知，，
因为为锐角三角形，，解得，
所以，B正确；
对C，
，
当时，得，
因为，，所以等号不成立，C错误；
对D，
，
因为，所以，
所以，所以，
即，D错误.
故选：AB
【点睛】关键点睛：根据在于利用正弦定理角化边，代入余弦定理表示出，结合二倍角公式求得.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中的系数为______.
【答案】
【解析】
【分析】令求出，然后求出展开式中的常数项和含的项，分别与因式中的项相乘可得.
【详解】令可得，解得，
的展开式中通项，，
分别令，得，
所以展开式中的常数项和含的项分别为，
所以展开式中的系数为.
故答案为：
13. 已知是上的奇函数，当时，.若，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数性质和奇偶性判断函数的单调性，利用单调性将问题转化为在上恒成立，利用对勾函数单调性即可得解.
【详解】当时，，
由二次函数性质可知，在上单调递增，
又是上的奇函数，所以在上单调递增，
所以等价于：
，即在上恒成立，
由对勾函数可知，函数在单调递减，
所以，
所以的取值范围为.
故答案为：
14. 如图所示，平面五边形由一个直角梯形和一个以为顶角的等腰组成，其中.将沿着AD翻折，在翻折过程中，当四棱锥的体积取得最大值时，三棱锥的外接球的体积为，则CD的长度为______.
【答案】
【解析】
【分析】找到球心位置，分析出锥体体积最大时的状态，设，构造出关于体积的函数表达式，通过三角换元求出其最值.
【详解】记中点为中点为，外接球球心为，
为了区别点，则下图中隐去平面五边形中点，保留翻折后的点，
因为，则，，
且直角三角形外心为，其球心位于过点作底面的垂线，如图所示位置，
设外接球半径为，则，解得，
则有，
记，则有，
由题意知四边形的面积固定，则若要四棱锥体积最大，
则需高最大，即点到底面的距离最大，显然当平面平面时，点到底面的距离最大，
因为，且为中点，则，又因为平面平面，
且平面平面，平面，
则平面，则为四棱锥的高，
过点作的平行线，交所在直线于点，易知四边形为矩形，
则，，所以
则四棱锥体积，
令，，则，
令，
因为，则，则，
则，对称轴为，则在上单调递增，
则，，此时，，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出球心位置，利用外接球模型，设，构造有关体积的函数表达式，再利用三角换元求出最值即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，点为平面外一点，面，底面矩形面积为12，外接圆周长为，且.点分别为线段的中点，连接.
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见详解；
（2）.
【解析】
【分析】（1）记的中点为，连接，利用三角形中位线定理证明为平行四边形，然后由线面平行判定定理可证；
（2）先利用圆的周长公式和矩形面积公式列方程求出，然后建立空间直角坐标系，求出平面法向量和直线方向向量，由向量夹角公式可得.
【小问1详解】
记的中点为，连接，
因为为的中点，所以，且，
又为的中点，为矩形，所以，且，
所以且，四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以直线平面.
【小问2详解】
易知，矩形的外接圆半径为，
由题知，，解得，
因为平面，平面，且为矩形，
所以两两垂直，
分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
得，
记平面的法向量为，
则，令得，
设直线与平面所成角为，
则.
16. 已知数列的前项和为Sn，且分别满足：，.
（1）求通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用的关系先求得的递推公式，根据构造法求出，再由的关系求，然后可得；
（2）利用错位相减法求和即可.
【小问1详解】
令得，
当时，由得：
，两式相减得：
，
整理得，即，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，得，
当时，，
时，上式也成立，所以，
所以，即.
【小问2详解】
记，其前项和为，
则，
，
两式相减得
所以
17. 近年来某地在经济工作中坚持稳中求进工作总基调，在淘汰落后产能的同时大力发展新质生产力，下图是该地近几年来新型规模以上工业企业生产总值（）的柱状图（单位：亿元），记2017年，2018年，当的年编号（）依次为.
（1）求2017至2022年新型规模以上工业企业生产总值的平均数；
（2）在与中选择合适的模型计算关于的回归方程；
（3）若上级领导将在2022，2023，2024，2025，2026这五年中任意抽取3年来研究该地新质生产力发展情况，记为抽到的工业企业的生产总值超过12000亿元的年份数目，并用（2）中回归方程估计，求的分布列和数学期望.
参考数据：
其中，附：经验回归方程中和的最小二乘估计公式为.
【答案】（1）5150亿元
（2）解析间详解（3）分布列见详解，.
【解析】
【分析】（1）根据平均数的概念进行计算即可.
（2）先根据散点图判断，用作为模型更合适.设，结合给出的数据和公式求回归方程.
（3）明确的取值，求出每个值对应的概率，可得的分布列，再结合期望的计算公式求的期望.
【小问1详解】
易知：
所以2017至2022年新型规模以上工业企业生产总值的平均数（亿元）.
【小问2详解】
由散点图可知，用模型拟合效果更好.
设，则，
因为.
所以，.
所以.即为所求回归方程.
【小问3详解】
因为.
且2022年的生产总值为9000亿元，
所以估计2023年的生产总值为：亿元；
2024年的生产总值为：亿元；
2025年的生产总值为：亿元；
2026年的生产总值为：亿元；
其中生产总值超过12000亿元的年份数为3.
所以的值可能为：1,2,3
且，，.
所以的分布列为：
所以.
18. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调性；
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）若有三个极值点，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）且
【解析】
【分析】（1）求导后构造函数，再次求导分析单调性，得到，然后再分析的单调性即可；
（2）分和时讨论，当时分离参数，构造函数，求导分析单调性即可；
（3）求导后将问题转化为有三个变号零点，当时分离参数并构造函数，求导分析单调性和极值即可；
【小问1详解】
当时，，，
令，则，
令，
所以当时，，为减函数；
当时，，为增函数，
所以，即，
所以当时，，为减函数；当x∈0,+∞时，，为增函数；
综上，在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
因为gx>0，即恒成立，
当时，显然成立；
当时，分离参数，即恒成立，
令，则，
令，可得，
所以当时，，为增函数；时，，为减函数；当x∈2,+∞时，，为增函数，
当时，；当时，；当时，；当时，，
画出其大致图像
所以.
【小问3详解】
，
，
因为有三个极值点，所以有三个变号零点，
即有三个变号零点，
容易得到是方程的一个根，不是方程的根，
当时，分离变量，，
令，则，
令，
所以当时，，单调递减；当x∈0,1时，，单调递减；当x∈1,+∞时，，单调递增；
画出其大致图像为
极小值，
因为已经是方程的一个根，
所以要使与有两个交点，即且.
【点睛】关键点点睛：本题第二小问的关键是能够分离参数后求导分析单调性，利用数形结合求解；第三小问的关键是将问题转化为有三个变号零点，再当时，分离变量构造函数分析单调性和极值，再数形结合求解.
19. 已知双曲线，第一象限中横坐标为2的点在上，直线的斜率为.当时，过点作的平行线交双曲线左支于点，过点作轴的垂线交双曲线右支异于点的点.
（1）当k=1时，求点的坐标；
（2）设表示点的纵坐标，求的取值范围；
（3）设Sn表示的面积，证明：数列为常数列.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据点在第一象限且横坐标为2，先确定点，然后得到直线，与双曲线方程联立，求出的坐标，再根据对称性，可得点坐标.
（2）可设点，，则，借助，表示直线的斜率，进而用表示，结合的取值范围，可求的取值范围.
（3）设的中点为，由（2）中的结论，探索得，，共线，进一步可得：，再表示和，即可得到结论.
【小问1详解】
由题意，所以直线：，
根据双曲线的对称性，可得，所以点的坐标为.
【小问2详解】
如图：
设点，则，由题意得，且，
所以，即，且.
且.
所以①,而②，
由①②得：③，④，
由④得：⑤，
由③⑤得：⑥.
所以，
所以.
【小问3详解】
设边的中点，所以，
当时，同（2）理得，
所以.
所以坐标原点，，三点共线.
则的斜率，
而的斜率,
结合（2）与⑥可得，
所以.
中，点、分别在边、上，
所以和的面积相等，即，
而的面积为面积的2倍，所以，
的面积为面积的2倍，所以，
所以，即数列为常数列.846
10198
12705
17.5
20950
3.85
1
2
3