重庆市2026届高三上学期12月高考模拟调研考试（二）数学试卷（含答案）

这是一份重庆市2026届高三上学期12月高考模拟调研考试（二）数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C．D．
2．已知 ，则 “且” 是 “且” 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知全集 ，则 （ ）
A．B．C．D．
4．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 （ ）
A．0.15B．0.2C．0.3D．与 的取值有关
5．函数 的值域为（ ）
A．B．C．D．
6．已知在数列中，，则（）
A．B．
C．D．
7．以一个正四面体中心为球心的三个球，其中与正四面体各个面相切的球半径记为，和正四面体各个棱相切的球半径记为，过正四面体四个顶点的球的半径记为，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的定义域是，满足:对任意的实数均有 ，且当时，.若满足 ，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．
二、多选题
9．某学校数学教研室统计数学教师的专业素养指标， 教师年龄分布如下表， 则（ ）
A．这组数据的平均数是 31.7
B．这组数据的极差是 17
C．这组数据的第 75 百分位数是 36
D．这组数据的中位数和众数相同
10．关于函数 ，正确的命题是（ ）
A．的最小正周期为B．的图象关于点 中心对称
C．的最大值为D．在 上单调递增
11．已知双曲线 的离心率为 ，右焦点为 ，左右顶点为 为其右支上的点 (异于 )，直线 垂直 轴于点 ，与两渐近线分别交于 两点，过点 作双曲线的切线 ， 交直线 于点 ，过点 作垂直于 的直线，交 轴于点 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．一水壶如图所示可视为由圆台和圆柱组成， 圆台上底面半径为 1cm， 下底面半径为3cm，圆台高2cm，圆柱高12cm，若装满水，则水壶容量约为 mL.(忽略底部和瓶盖部分，取 )
13．若函数 是偶函数，则 .
14．从 0，1，2，3，4，5 中取出三个不同数字组成一个三位数，且这个三位数能被 15 整除，则这样的三位数有 个.
四、解答题
15．已知函数 .
(1)当时，讨论的单调性；
(2)证明:当时，在上有且仅有一个零点.
16．如图，矩形 中， 在 边上，且 ，沿 将 翻折，使点 到 ，且满足 .
(1)求证:平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的正切值.
17．已知 的外接圆半径为 1， 为其外心，角 的对边分别为 、
(1)若 ，求 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 周长的最大值.
18．经过椭圆 的中心作直线 ，与椭圆 交于 两点(A 在第一象限)， 为椭圆的右焦点.
(1)若点 关于坐标轴的对称点分别为 ，求四边形 面积的最大值.
(2)若 ，求 的面积；
(3)若 为 的上顶点，求四边形 面积的最大值.
19．形如 的公式称为多项式定理，其中 为该多项式展开式中 对应项的系数，该定理在解决概率问题中有着广泛的应用.，
(1)已知 ，分别求 的奇数次方与偶数次方的系数和；
(2)现有三名水平相当的篮球运动员进行投篮训练，规则如下:按照甲乙丙的顺序依次投篮，若投中则继续投篮直到未投中为止，然后换下一人继续练习，直到三人均完成练习. 每人投篮投中一次则计1分， 每人每次练习投中的概率均为 ，且每次投篮互不影响.
①记 为甲练习投篮得分，证明: ；
②若三人投篮次数均不超过七次，求三人总得分为偶数的概率(保留两位小数).
参考答案
1．A
【详解】，.
故选：A.
2．C
【详解】若且，则可得且，
若且，则可得且，
所以“且” 是 “且” 的充要条件.
故选：C.
3．B
【详解】依题意，，，
所以.
故选：B
4．B
【详解】因为随机变量服从正态分布，所以曲线关于对称，所以.
故选：B
5．C
【详解】，
设，
,
，
即函数的值域为，
故选：C
6．B
【详解】由得
因为，所以，，，，……
所以，数列是周期数列，周期为，
所以，
故选：B
7．C
【详解】如图设正四面体的棱长为，底面正的中心为，则底面，连接，
则正四面体的中心为在上，连接，取中点为，连接，
底面正的外接圆半径，由正弦定理得，所以，
则正四面体的高度为，
由于正四面体四个顶点的球的半径记为，所以，
因为，所以，整理得；
与正四面体各个面相切的球半径记为，即；
因为点为中点，和正四面体各个棱相切的球半径记为，则；
综上，.
故选：C.
8．D
【详解】根据给定函数满足定义域为，
且对任意实数有，
及当时，，通过代入特殊值，
得，
化简得，若，当时，，取，
令，则，即，
得，与时矛盾，所以；
代入，得，化简得，
将代入原方程，得，故，即，
将表达式转化为，设，则需求最小值，
由基本不等式得，（当且仅当时取等），
再对用基本不等式（当且仅当时取等），
故，从而，
当且仅当时取等号，故最小值为.
故选：D.
9．BCD
【详解】对于A，由题意可知该组数据的平均数为
，故A错误；
对于B，该组数据最大值为，最小值为，极差为，故B正确；
对于C，易知，该组数据从小到大排列后，
第15和16个数据都位于36岁年龄组，所以C正确；
对于D，该组数据从小到大排列后，第10和11个数据为32岁，所以中位数为32岁，
众数也是32岁，故D正确.
故选：BCD
10．BC
【详解】.
A：的最小正周期为，所以本选项不是正确的命题；
B：，所以本选项是正确的命题；
C：显然当时，
即当时，函数有最大值，所以本选项是正确的命题；
D：当时，，显然在 上单调递减，所以本选项不是正确的命题，
故选：BC
11．ABD
【详解】已知双曲线，其离心率为，其中，右焦点为，
左右顶点分别为，设点在双曲线右支上（即），
A，点是在轴上的垂足，故，则，
，因此，
由双曲线方程可得：
所以，代入得：，故A正确
B，渐近线为，当时，
交点为：，则
乘积为：，由双曲线方程：，
所以，故：，故B正确
C，切线的方程为
当时，解得坐标为，
向量，
计算乘积：，令其为，得，
此值小于，不在右支上，而矛盾，故C错误；
D，过作垂直于切线的直线，交轴于切线斜率为，
垂线斜率为，解得坐标为，
，
所以：，故D正确.
故选：ABD
12．
【详解】由题可知圆台的体积为
圆柱的体积为 ，所以水壶容量约为；
故答案为：
13．/
【详解】因为，所以函数定义域为，
当函数 是偶函数时，，
即，化简得，
化简得，
即，即.
故答案为：.
14．
【详解】（1）当末位数为0时，剩余数字从中选取两个不同数字作为前两位，
数字和等于前两位数字之和（因末位为0），必须能被3整除。
满足和能被3整除的配对有：，
满足能被15整除的三位数有：120，210，150，510，240，420，450，540共8个三位数；
（2）当末位数为5时，剩余数字从中选取两个不同数字作为前两位，且首位不能为0，
数字和等于前两位数字之和加5，必须能被3整除，
满足和能被3整除的配对有：，
满足能被15整除的三位数有105，405，135，315，345，435共6个三位数；
综上：满足能被15整除的三位数一共有个.
故答案为：14
15．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，，
所以，
所以当时，，当时，，
即在和上单调递增，在上单调递减，
（2）易知，，，
当时，；当时，；当时，.
所以在上单调递增，上单调递减，在上单调递增，
又，
所以当时，，所以；
又，
所以在上有零点．
又因为在上单调递增，所以在上有且仅有一个零点.
16．(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）取中点为，连接，，
由条件可知， 为等腰直角三角形，所以，，
在中，由余弦定理可得，
由，，从而，从而，
又，平面，从而平面，
由平面，所以平面平面；
（2）延长，，交于点，连接，知为平面与平面的交线，
由于，，所以为等腰直角三角形，有，
取中点为，连接，，，由于，平面 ，
由（1）知平面 平面 ，且是交线，所以平面，平面，
所以，过作，连接，平面,
所以平面，又平面，所以，
故有为平面与平面的夹角，
在中，，在中，，可得，
所以，
所以平面与平面成角的正切值为．
17．(1)2
(2)
【详解】（1）由正弦定理有，
所以有，由余弦定理得，
，解得.
（2），
则有，
两边同乘则化简有：，
所以，
所以，所以，所以，，
则有：，
则有，其中．
其中仅当时取等，所以周长的最大值为．
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设，，，
有，
所以，当且仅当，时取等号，
而，所以四边形面积最大值为；

（2）设左焦点为，连接，，
易知，，
根据题意以及直线 与椭圆的对称性可知， 与的面积相等，
在中，，由余弦定理，，
则有，所以，
所以；

（3）设，联立，有，
设，，从而四边形的面积为，
则，
令，则，则函数，
当时，有最小值，此时则有最大值．

19．(1)偶数次方的系数和为，奇数次方的系数和为；
(2)①证明见解析；②0.51
【详解】（1）令有，①
令有，②
则①+②有，即
所以的偶数次方的系数和为，
则①-②有，即
所以的奇数次方的系数和为；
（2）①，则，①
，②
两式相减，得，
所以；
②记每人投篮为，表示有次投中，次投中的概率为，
由式子③，
可以表示三人投篮投中次数情况，其中中表示三人共投中次，表示投中次的概率，
所以三人总得分为偶数的概率即为③式中的偶次方的系数和，
令有：
令有：
由上两式解得年龄
28
29
30
32
36
40
45
人数
1
3
3
5
4
3
1