中考数学一轮复习考点精炼与综测：（17）解直角三角形（综合测试）习题

这是一份中考数学一轮复习考点精炼与综测：（17）解直角三角形（综合测试）习题，共25页。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表，如图所示的是一个根据石家庄市的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）为a.已知，冬至时石家庄市的正午日光入射角约为，则立柱高约为( )
A.B.C.D.
2.如图,边长为1的小正方形网格中,点A,B,C,E在格点上,连接,,点D在上且满足,则的值是( )
A.B.2C.D.
3.在锐角中,若,则等于( )
A.B.C.D.
4.如图,点A为边上的任意一点,作于点C,于点D,下列用线段比表示的值,错误的是( )
A.B.C.D.
5.如图,在矩形中,对角线,相交于点O,于点E,且,若,则的长为( )
A.B.2C.D.
6.如图,四边形中,、、、,则的长为( )
A.6B.C.D.
7.如图，先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平.再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕﹐同时得到线段，.观察所得的线段，若，则的长为( )
A.B.1C.D.2
8.如图,在中,,D是的中点,过D点作的垂线交于点E,,,则的长为( )
A.4B.C.D.
9.如图,抛物线与x轴交于A,B两点,的直角顶点C在抛物线对称轴上,Q为线段上一点,且,则的值为( )
A.B.C.D.
10.如图1是某款自动旋转遮阳伞，当伞面完全张开时，其张角呈，图2是其侧面示意图.为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器，可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄D沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点E固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为a，当时，此时悬托架的长度为( )
A.0.3米B.0.4米C.0.5米D.0.8米
11.如图平面直角坐标系中，、，C为线段上一个动点.以为边作直角三角形，且，连接，当有最小值时，点D的坐标为( )
A.B.C.D.
12.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形(如图所示),连结并延长交于点I,若,则的值为( )
A.B.C.D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.如图，某商场手扶梯的坡比为，已知扶梯的长为16米，则小明乘坐扶梯从B处到A处上升的高度为_________（单位：米）
14.如图,在中,,于点D.若,则____________.
15.如图,两扇相同的窗户从关闭状态.向外推开相同的角度后,形成通风的缝隙,已知米.,则点C,D之间的距离是______米.(参考数据：)
16.在中,,,直角边的中点为D,点E在斜边上且,若为直角三角形,则的值为______.
17.如图,在龟山附近的小山的顶部有一座通讯塔,点A,B,C位于同一直线上.在地面P处,测得塔顶C的仰角为,塔底B的仰角为.已知通讯塔的高度为29米,则小山的高度为______米.(结果取整数,参考数据：,.)
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）计算：
19.（8分）为了更好地监测湖中的水质,某县在湖中修建了一个取水监测台.其形状为矩形,其示意图如下.
某数学研究性学习小组在老师的指导下,利用课余时间进行对监测台边长的测量活动,采取如下方案：在湖外取一点E,使得点C,B,E在同一条直线上；过点E作,并沿方向前进到点F,用皮尺测得的长为4米.该小组在点F处用测角仪进行了如下测量：
①②③
(1)为了计算边的长,在以上①②③中,应选择的条件是_____________；(填序号)
(2)在(1)的条件下,计算的长.(结果精确到.参考数据：,,,).
20.（8分）2024年游戏《黑神话：悟空》火爆出圈，游戏取景地云冈石窟迎来文旅产业的“泼天”流量，2024年共接待了近450万名游客.为了更好地服务游客，景区在游客排队区放置了遮阳伞.已知遮阳伞中截面是如图所示的伞骨结构：（、均在竖直方向上），伞顶杆始终平分，，当时，伞完全打开，M与D在同一高度，此时.请问伞顶A到地面的高度是多少（结果保留整数，参考数据：，，）
21.（10分）图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，.
(1)如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）；
(2)如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度a，且（a为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）.
22.（12分）数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题.实践报告如下：
该报告运算过程还没有完成,请按照解决思路,帮助兴趣小组完成该部分.(结果精确到,参考数据：,,,
23.（13分）如图,一种手机支架可抽象成如图2的几何图形,伸缩臂长度可调节,并且可绕点A上下转动,转动角α变动范围是,手机支撑片可绕点B上下转动,,转动角变动范围是.小明使用该支架进行线上学习,当,且点C离底座的高度不小于时,他才感觉舒适.
(1)如图2,当,,时,求托片底部点C离底座的高度,并判断是否符合小明使用的舒适要求(参考数据：,,).
(2)如图3,当,的情况下,要伸缩到多少厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求.(精确到.参考数据)
答案以及解析
1.答案：C
解析：在中，，
∵，
∴，
故选：C.
2.答案：D
解析：由题知,,
,
又,
,
,
,
故选：D.
3.答案：A
解析：∵,
∴,,
∴,,
∴在锐角中,,
故选：A；
4.答案：C
解析：∵,,
∴,
∴,
∴,
只有选项C错误,符合题意.
故选C.
5.答案：C
解析：∵矩形,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
故选：C.
6.答案：D
解析：如图,作,垂足为点E,交的延长线于点F,则,
∵,
∴
∴,
∵,
∴,
∴四边形是矩形,
∴,
∴,
故选：D.
7.答案：C
解析：根据折叠的性质可知：，，，，
∴
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，则，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选：C.
8.答案：C
解析：在中,,,
,
D是的中点,
,
,,
,
,
,
解得或(舍),
故的长为,
故选C.
9.答案：A
解析：∵抛物线与x轴交于A,B两点,
∴令,即或,
∴,,
∵C在抛物线对称轴上,
∴,对称轴：直线,
∴为等腰直角三角形,
设,
∴,
∴,解得：,
∵如图点C在第三象限,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴过点Q作,
,
∴,即,解得：,
∴,
∴,
故选：A.
10.答案：C
解析：过点作于点I，
，
，
，
，
，
，
，
支架长为米，米，
米，
，，
米，
米，
米，
故选：C.
11.答案：C
解析：如图所示，过点D作轴于点E，
∴
∴
∴
∴
设，
∵
∴
∴，，
∵，
在中，
∴时，取得最小值，即有最小值
∴，
∴，
故选：C.
12.答案：B
解析：如图：作于M,
由题意可得：,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
设,,则,,
∵四个直角三角形全等,
∴,
∵中间为正方形,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
解得：或(不符合题意,舍去),
∴,
故选：B.
13.答案：8
解析：∵扶梯的坡比为，
∴设米，则米，
∴，
解得，
∴米，
故答案为：8.
14.答案：
解析：∵在中,,,
∴,,
∴,
∵,
∴.
故答案为：.
15.答案：
解析：如图所示,作于点E,于点F,
则,
,
所以.
故答案为.
16.答案：3或4
解析：当时,如图,
,,
,
直角边的中点为D,
,
,,
；
当时,如图,
,,
,
直角边的中点为D,
,
,,
；
综上所述,的长为3或4,
故答案为：3或4.
17.答案：102
解析：由题意可知,
在中,
,,
,
,
在中,
,,
,
,
,
,
,
故答案为：.
18.答案：3
解析：
.
19.答案：(1)②③
(2)6米
解析：(1)由图形可知,要计算边的长,应选择的条件为②③；
故答案为：②③
(2)过点A作于点M,如图所示,由题意,可知：,.
在中,,
∴米,
在中,,
∴,
∴(米).
答：的长为6米.
20.答案：伞顶A到地面的高度为
解析：如图，过点B作于点E，延长与交于点P，连接，
根据题意，得四边形是矩形，
∴，
∵平分，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
则，
∴，
在中，，，
则，
∵，
∴，
则，
答：伞顶A到地面的高度为.
21.答案：(1)
(2)
解析：(1)如图，过点C作，垂足为E，
由题意可知，，
又，
四边形为矩形.
，，
，.
，
.
在中，.
即可伸缩支撑杆的长度为；
(2)解析：过点D作，交的延长线于点F，交于点G.
由题意可知，四边形为矩形，
.
在中，，
.
，
，
，.
，，
，.
在中，.
即可伸缩支撑杆的长度为.
22.答案：(1)遮阳篷前端B到墙面的距离约为
(2)挡沿部分的约为
解析：(1)如图,作于M,
,.
在中,,即,
,
答：遮阳篷前端B到墙面的距离约为；
(2)如图,作于M,于H,延长交于K,则,
四边形、四边形是矩形,
由(1)得,
,
在中,,即,
,
由题意得：,
,
在中,,即,
,
,
答：挡沿部分的长约为.
23.答案：(1)托片底部点C离底座的高度为,不符合小明使用的舒适要求
(2)要伸缩到厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求
解析：(1)如图,过点C作于点M,于点N,
四边形是矩形,
,
在中,,,
,
,
,
,
,即托片底部点C离底座的高度为,
,
不符合小明使用的舒适要求；
(2)如图,过点B作于点Q,过点C作于点P,于点O,
四边形是矩形,
,
点C离底座的高度不小于时,才感觉舒适,
点C离底座的最低高度舒适要求为,
,
,
,
,
,
在中,,,
,
,
在中,,,
,
即要伸缩到厘米时才能满足点C离底座的最低高度舒适要求.
活动课题
遮阳篷前挡板的设计
问题背景
我们所在的社区服务中心在墙外安装了遮阳篷,结果发现夏日正午时纳凉面积不够.现在为使房前的纳凉区域增加到宽,计划在遮阳篷前端加装一块前挡板(前挡板垂直于地面),如图1,现在要计算所需前挡板的宽度的长.
测量数据
抽象模型
我们实地测量了相关数据,并画出了侧面示意图,如图2,遮阳篷长为,其与墙面的夹角,其靠墙端离地高为.通过查阅资料,了解到本地夏日正午的太阳高度角(太阳光线与地面夹角)最小为,若假设此时房前恰好有宽的阴影,如图3,求出的长即可.
解决思路
经过讨论,我们准备按照如下步骤解决问题：
(1)运用所学的三角函数的相关知识,构造直角三角形,先求出遮阳篷前端B到墙面的距离；
(2)继续构造直角三角形,求出为时,的长度.
运算过程