中考数学一轮复习考点练习专题18 解直角三角形问题（含解析）

这是一份中考数学一轮复习考点练习专题18 解直角三角形问题（含解析），共23页。试卷主要包含了勾股定理，锐角三角函数，仰角，各锐角三角函数之间的关系等内容，欢迎下载使用。
专题18 解直角三角形问题
专题知识回顾



一、勾股定理
1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。
2．勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。
3.定理：经过证明被确认正确的命题叫做定理。
4.我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
5. 直角三角形的性质：
(1)直角三角形的两锐角互余；
(2)直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；
(3)直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半；
(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
6.直角三角形的判定：
(1)有一个角等于90°的三角形是直角三角形
(2) 两锐角互余的三角形是直角三角形
(3)两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形
(4)有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形
二、锐角三角函数
1.各种锐角三角函数的定义
（1）正弦：在△ABC中，∠C=90°把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦，记作sinA＝ （2）余弦：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的邻边与斜边比值的叫做∠A的余弦，记作cosA＝
（3） 正切：在△ABC中，∠C=90°，把锐角A的对边与邻边的比值叫做∠A的正切，记作tanA＝
2.特殊值的三角函数：

α
sinα
cosα
tanα
cotα
0°
0
1
0
不存在
30°




45°


1
1
60°




90°
1
0
不存在
0
三、仰角、俯角、坡度概念
1．仰角：视线在水平线上方的角；
2．俯角：视线在水平线下方的角。

3．坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。
四、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系
sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)
tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)
（2）平方关系
（3）倒数关系 tanAtan(90°—A)=1
（4）弦切关系 tanA=


专题典型题考法及解析



【例题1】（•湖北省鄂州市）如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P点是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝　 　．

【答案】2或2或2．
【解析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
分∠APB＝90°、∠PAB＝90°、∠PBA＝90°三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
∵AO＝OB＝2，
∴当BP＝2时，∠APB＝90°，
当∠PAB＝90°时，∵∠AOP＝60°，
∴AP＝OA•tan∠AOP＝2，
∴BP＝＝2，
当∠PBA＝90°时，∵∠AOP＝60°，
∴BP＝OB•tan∠1＝2，
故答案为：2或2或2．

【例题2】（•湖南长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（　　）

A．30nmile B．60nmile
C．120nmile D．（30+30）nmile
【答案】D
【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．
过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．
在Rt△ACD中，cos∠ACD＝，
∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30．
在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD＝30，
∴AB＝AD+BD＝30+30．
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile．

【例题3】（•江苏连云港）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．
（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；
（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）
（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）

【答案】（1）观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；
（2）当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．
【解析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出AC即可；
在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣37°﹣53°＝90°．
在Rt△ABC中，sinB＝，
∴AC＝AB•sin37°＝25×＝15（海里）．
答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；
（2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D.C.M在一条直线上．解Rt△AMC，求出CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出CD．设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD所用的时间列出方程，解方程即可．
过点C作CM⊥AB于点M，由题意易知，D.C.M在一条直线上．
在Rt△AMC中，CM＝AC•sin∠CAM＝15×＝12，
AM＝AC•cos∠CAM＝15×＝9．
在Rt△AMD中，tan∠DAM＝，
∴DM＝AM•tan76°＝9×4＝36，
∴AD＝＝＝9，
CD＝DM﹣CM＝36﹣12＝24．
设缉私艇的速度为x海里/小时，则有＝，
解得x＝6．
经检验，x＝6是原方程的解．
答：当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．

专题典型训练题



一、选择题
1．（•渝北区）如果下列各组数是三角形的三边，则能组成直角三角形的是（　　）
A．1，，2 B．1，3，4 C．2，3，6 D．4，5，6
【答案】A．
【解析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
A.12+（）2＝22，故是直角三角形，故此选项正确；
B.12+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误；
C.22+32≠62，故不是直角三角形，故此选项错误；
D.42+52≠62，故不是直角三角形，故此选项错误．
2．（•巴南区）下列各组数据中，能够成为直角三角形三条边长的一组数据是（　　）
A．，， B．32，42，52
C． D．0.3，0.4，0.5
【答案】D．
【解析】先根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，再根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
A.（）2+（）2≠（）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.（32）2+（42）2≠（52）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.（）2+（）2≠（）2，即三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.0.032+0.042＝0.052，即三角形是直角三角形，故本选项符合题意。
3.（广西省贵港市）将一条宽度为的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为，重叠部分为（图中阴影部分），若，则重叠部分的面积为　　

A． B． C． D．
【答案】．
【解析】过作于，则，依据勾股定理得出的长，进而得到重叠部分的面积．
如图，过作于，则，
，
，，中，，
重叠部分的面积为，故选：．

4.（贵州省毕节市） 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（　　）

A． B．3 C． D．5
【答案】B．
【解析】勾股定理．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，
∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．故选：B．
5．（•南岸区）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，BC的垂直平分线交AC于点D，并交BC于点E，若ED＝3，则AC的长为（　　）

A．3 B．3 C．6 D．9
【答案】D．
【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，DE⊥BC，求出BD＝DC＝2DE＝3，根据直角三角形的性质计算即可．
∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC＝DB，DE⊥BC，
∵∠C＝30°，
∴BD＝DC＝2DE＝3，
∴∠DBC＝∠C＝30°，
在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝60°﹣30°＝30°，
∴AD＝BD＝3，
∴AC＝DC+AD＝9．
6．（•西藏）如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB于D，点E在⊙O上，∠E＝22.5°，AB＝2，则半径OB等于（　　）

A．1 B． C．2 D．2
【答案】B
【解析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出△ODB是等腰直角三角形，进而得出答案．
∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴＝，
∴∠E＝∠BOC＝22.5°，
∴∠BOD＝45°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB＝2，
∴DB＝OD＝1，
则半径OB等于：＝．
7.（•江苏苏州）如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为，测得教学楼的顶部
处的仰角为，则教学楼的高度是（ ）
A． B． C． D．

【答案】C
【解析】考察角的三角函数值，中等偏易题目
过作交于，

在中，



8.（•湖南长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是（　　）

A．2 B．4 C．5 D．10
【答案】B．
【解析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH＝BD，推出CD+BD＝CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．
如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．

∵BE⊥AC，
∴∠ABE＝90°，
∵tanA＝＝2，设AE＝a，BE＝2a，
则有：100＝a2+4a2，
∴a2＝20，
∴a＝2或﹣2（舍弃），
∴BE＝2a＝4，
∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AC，
∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等））
∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，
∴sin∠DBH＝＝＝，
∴DH＝BD，
∴CD+BD＝CD+DH，
∴CD+DH≥CM，
∴CD+BD≥4，
∴CD+BD的最小值为4．
二、填空题
9.（·贵州安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为　 　．

【答案】．
【解析】∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝，
∴MN的最小值为。
10. （贵州省毕节市） 三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是　 　．


【答案】15﹣5．
【解析】考查含30度角的直角三角形；勾股定理．

过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝10 ，
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin30°＝10×＝5，
CM＝BC×cos30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5 ，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5 ．
故答案是：15﹣5．

11. (海南)如图,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转(0°