2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市阿城区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市阿城区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题；，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列二次根式中，是最简二次根式的为
A．B．C．D．
2．若式子在实数范围内有意义， 则的取值范围是
A ．B ．C ．D ．
3．下列四组线段、、，能组成直角三角形的是
A．，，B．，，C．，，D．，，
4．下列运算结果正确的是
A．B．C．D．
5．下列的值中，能判定四边形是平行四边形的是
A．B．C．D．
6．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是
A．1B．5C．D．
7．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则
A．B．C．D．
8．如图，在菱形中，点、分别为、的中点，若，那么菱形的周长为
A．14B．8C．12D．16
9．如图，数学课上老师给出了以下四个条件：两组对边分别相等；一组对边平行且相等；一组邻边相等；一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式：①，，；②，，③，，．你认为能得到正方形的是
A．仅①B．仅③C．①②D．②③
10．如图，将一个圆柱形无盖小烧杯放置在一个圆柱形无盖大烧杯底部，杯底厚度忽略不计．已知大烧杯的底面半径是小烧杯的底面半径的2倍，现向小烧杯内匀速加水，当大烧杯内的水面高度与小烧杯顶部齐平时，就停止加水．在加水的过程中，小烧杯、大烧杯内水面的高度差随加水时间变化的图象可能是
A．
B．
C．
D．
二、填空题：（每小题3分，共30分）
11．化简： ．
12．菱形中，若对角线，，则菱形的面积为 ．
13．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为5、6、20，则正方形的面积是 ．
14．如图，，点、、在直线上，四边形为平行四边形，若△的面积为3，则平行四边形的面积是 ．
15．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若，，则正方形的边长等于 ．
16．我们规定：对于任意的正数，的“※”运算为：※，计算8※18的结果为 ．
17．如图，点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则 ．
18．如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为 ．
19．在平行四边形中，，，对角线，则平行四边形的面积为 ．
20．如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于，连接，．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④若，，那么．其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分；25～27题各10分，共计60分）
21．计算：
；
．
22．如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段，的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出一个以为一边的正方形，且点、点均在小正方形顶点上；
（2）在图中画出一个以、为邻边的平行四边形，且点在小正方形的顶点上，连接并直接写出线段的长．
23．如图，已知四边形是正方形，点，分别在直线和上，点，是轴上两点．
（1）若，求点的坐标；
（2）在（1）的条件下，求的值；
（3）思考，当正方形的边长变化时，那么的值 ．（用“改变”，“不变”填空）
24．如图，点是对角线的交点，过点的直线分别交，于点，．
（1）求证：△△；
（2）当时，，分别连接，．求此时四边形的周长．
25．数学小组在探究学习中，小组成员遇到这样一个问题：
已知，求的值．经过思考他们是这样解答的：
，，即，
，．
请你根据探究小组的解题方法和过程，解决以下问题：
（1） ；
（2）计算按规律排列的式子：；
（3）若，求的值．
26．在函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请补充完整下面的探究过程：
（1）下表是与的几组对应值．
①， ；
②，为该函数图象上不同的两点，则 ， ；
（2）在下面的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象，根据函数图象：
①写出该函数图象的两点性质；
；
；
②在同一个平面直角坐标系中画出的图象，当时，的值为： ；
（3）点是轴正半轴上一点，点在轴左侧、点在轴右侧且均在的图象上，连接、，若，四边形（非平行四边形）的面积为8，求点的坐标．
27．当一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍时，我们称为2倍角三角形，2倍角三角形会有一些性质．
特例感知：
（1）如图1，在△中，于点，，，则 ；（用，，填空）
数学思考：
（2）如图2，在△中，于点，，求证：；
尝试应用：
（3）如图3，在中，对角线、相交于点，于点，，点为上一点，连接交于点，若，，，求的长．
参考答案
一、选择题；（每小题3分，共计30分）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的为
A．B．C．D．
解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、是最简二次根式，故符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
2．若式子在实数范围内有意义， 则的取值范围是
A ．B ．C ．D ．
解： 根据题意得，，
解得．
故选：．
3．下列四组线段、、，能组成直角三角形的是
A．，，B．，，C．，，D．，，
解：、，不能围成直角三角形，不符合题意；
、，能围成直角三角形，符合题意；
、，不能围成直角三角形，不符合题意；
、，不能围成直角三角形，不符合题意，
故选：．
4．下列运算结果正确的是
A．B．C．D．
解：．，所以选项不符合题意；
．，所以选项符合题意；
．，所以选项不符合题意；
．，所以选项不符合题意．
故选：．
5．下列的值中，能判定四边形是平行四边形的是
A．B．C．D．
解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有符合条件．
故选：．
6．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是
A．1B．5C．D．
解：在平面直角坐标系中，点到原点的距离是：
．
故选：．
7．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则
A．B．C．D．
解：由作图可知，
四边形是菱形，
．
故选：．
8．如图，在菱形中，点、分别为、的中点，若，那么菱形的周长为
A．14B．8C．12D．16
解：点、分别为、的中点，
，
四边形是菱形，
，
菱形的周长，
故选：．
9．如图，数学课上老师给出了以下四个条件：两组对边分别相等；一组对边平行且相等；一组邻边相等；一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式：①，，；②，，③，，．你认为能得到正方形的是
A．仅①B．仅③C．①②D．②③
解：①由得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；
②由得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；
③由得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确；
故选：．
10．如图，将一个圆柱形无盖小烧杯放置在一个圆柱形无盖大烧杯底部，杯底厚度忽略不计．已知大烧杯的底面半径是小烧杯的底面半径的2倍，现向小烧杯内匀速加水，当大烧杯内的水面高度与小烧杯顶部齐平时，就停止加水．在加水的过程中，小烧杯、大烧杯内水面的高度差随加水时间变化的图象可能是
A．
B．
C．
D．
解：大烧杯的底面半径是小烧杯的底面半径的2倍，
小烧杯的容积是大烧杯与小烧杯顶部齐平时下部容积的，
注满小烧杯的所需时间是大烧杯下部注水时间的，
小烧杯、大烧杯内水面的高度差随加水时间变化的图象可能是选项．
故选：．
二、填空题：（每小题3分，共30分）
11．化简： ．
解：
，
故答案为：．
12．菱形中，若对角线，，则菱形的面积为 ．
解：菱形中，若对角线，，
菱形的面积．
故答案为：．
13．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为5、6、20，则正方形的面积是 9 ．
解：由题意：，，
正方形、、的面积依次为5、6、20，
，
．
故答案为：9．
14．如图，，点、、在直线上，四边形为平行四边形，若△的面积为3，则平行四边形的面积是 6 ．
解：作于点，于点，
，
，
，
故答案为：6．
15．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若，，则正方形的边长等于 1 ．
解：设正方形的边长为，
则，
△△，△△，
，，
，
，
，
，
正方形的边长等于1．
故答案为：1．
16．我们规定：对于任意的正数，的“※”运算为：※，计算8※18的结果为 ．
解：原式
，
故答案为：．
17．如图，点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则 ．
解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
18．如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为 ．
解：如图所示，连接，过点作于，
四边形是菱形，
，，，
△、△都是等边三角形，
，，
，
又，
△△，
，，
，
即，
△是等边三角形，
，
当最小时，最小，
当与重合时，此时最小，即最小，最小值为，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
19．在平行四边形中，，，对角线，则平行四边形的面积为 ．
解：如图，过点作于点，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
20．如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于，连接，．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④若，，那么．其中所有正确结论的序号是 ①②③ ．
解：①在平行四边形中，、分别为边、的中点，
四边形为平行四边形，
，故①正确．
②由①知四边形为平行四边形，
，为边的中点，
，
四边形是菱形，故②正确．
④，，，
四边形为矩形，
，
，，
，，
，
，
，
，
要使，则，
而，，
，
不恒成立，
不成立，故④错误．
故④不正确．
③由④知，
，
为中点，
，
，
故③正确．
综上可得：①②③正确．
故答案为：①②③．
三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分；25～27题各10分，共计60分）
21．计算：
；
．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
22．如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段，的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出一个以为一边的正方形，且点、点均在小正方形顶点上；
（2）在图中画出一个以、为邻边的平行四边形，且点在小正方形的顶点上，连接并直接写出线段的长．
解：（1）画出一个以为一边的正方形，如图所示：
（2）画出一个以、为邻边的平行四边形，如图所示：
．
23．如图，已知四边形是正方形，点，分别在直线和上，点，是轴上两点．
（1）若，求点的坐标；
（2）在（1）的条件下，求的值；
（3）思考，当正方形的边长变化时，那么的值 不变 ．（用“改变”，“不变”填空）
解：（1）由题意，设正方形的边长为，
，
．
．
又直线过，
．
．
．
（2）由题意，，，
．
又点在直线上，
．
．
（3）的值不会发生变化，
理由：正方形边长为，
，
在直线中，当时，，
，．
，，
将代入，
．
．
故答案为：不变．
24．如图，点是对角线的交点，过点的直线分别交，于点，．
（1）求证：△△；
（2）当时，，分别连接，．求此时四边形的周长．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
点是对角线的交点，
，
在△和△中，
，
△△．
（2）解：连接，，
由（1）得△△，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
四边形的周长为．
25．数学小组在探究学习中，小组成员遇到这样一个问题：
已知，求的值．经过思考他们是这样解答的：
，，即，
，．
请你根据探究小组的解题方法和过程，解决以下问题：
（1） ；
（2）计算按规律排列的式子：；
（3）若，求的值．
解：（1）由题意，．
故答案为：．
（2）由题意，原式
．
（3）由题意，，
，
，
，
．
26．在函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请补充完整下面的探究过程：
（1）下表是与的几组对应值．
①， ；
②，为该函数图象上不同的两点，则 ， ；
（2）在下面的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点．并根据描出的点，画出该函数的图象，根据函数图象：
①写出该函数图象的两点性质；
；
；
②在同一个平面直角坐标系中画出的图象，当时，的值为： ；
（3）点是轴正半轴上一点，点在轴左侧、点在轴右侧且均在的图象上，连接、，若，四边形（非平行四边形）的面积为8，求点的坐标．
解：（1）由题意，，
当时，．
故答案为：．
（2）由题意，，为该函数的图象上不同的两点，
．
或．
．
如图所示，
，，
．
．
故答案为：；90．
①如图所示，
该函数图象的具有的性质有；当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；图象关于轴对称．
故答案为：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；图象关于轴对称．
②由题意知，当时，，则，
．
当时，，则，
．
综上，的值为：或2．
故答案为：或2．
（3）由题意设，，，，，，
，，
四边形的面积为8，，
，
，
，
，，，
，
整理得：，
，
，
，
，解得：（舍去负值），
，
点的坐标为．
27．当一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍时，我们称为2倍角三角形，2倍角三角形会有一些性质．
特例感知：
（1）如图1，在△中，于点，，，则 ；（用，，填空）
数学思考：
（2）如图2，在△中，于点，，求证：；
尝试应用：
（3）如图3，在中，对角线、相交于点，于点，，点为上一点，连接交于点，若，，，求的长．
【解答】（1）解：如图1，
在上截取，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）证明：如图2，
在上截取，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图3，
在上截取，连接，
设，，设，
四边形是平行四边形，
，，，
，，，
，
由（2）知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
0
1
2
3
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