2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市龙江县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市龙江县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各组数中，能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4.  下列二次根式，不能与合并的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  如图是一张直角三角形的纸片，两直角边，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  若平行四边形中两个内角的度数比为：，则其中较小的内角是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，平行四边形中，对角线和相交于点，如果，，，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，正方形的对角线交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在菱形中，对角线，，点、分别是边、的中点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

11.  若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．

12.  如图，已知▱中对角线，相交于点，请你添加一个适当的条件，使▱成为一个矩形．你添加的条件是______．

13.  已知直角三角形的两边的长分别是和，则第三边长为______．

14.  菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的周长为__________．

15.  如图所示，平行四边形中，顶点、、在坐标轴上，，，点的坐标为，则点的坐标为______ ．

16.  如图，在中，点、、分别为、、的中点，于点，若，则的长为______．

17.  如图所示，在矩形中，，，两条对角线相交于点以、为邻边作第个平行四边形，对角线相交于点，再以、为邻边作第个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第个平行四边形依此类推，第个平行四边形的面积是______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：
；
．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
已知，求代数式的值．

21.  本小题分
如图在的正方形网格中，的顶点在边长为的小正方形的顶点上．
填空： ______ ， ______ ， ______ ；
若点在网格所在的坐标平面里的坐标为，请你在图中画出点，并作出以、、、四个点为顶点的平行四边形，直接写出满足条件的点的坐标．

22.  本小题分
如图：在平行四边形中，对角线与交于点，过点的直线分别与、交于点、，，连结、．
求证：；
请判断四边形是什么特殊四边形，请证明你的结论．

23.  本小题分
如图，已知和是两个边长都为的等边三角形，且、、、都在同一条直线上，连接、．
求证：四边形是平行四边形；
若，沿着的方向以每秒的速度运动，设运动的时间为秒．
当点运动动到点时，四边形的形状是______ 形；
点运动过程中，四边形有可能是矩形吗？若可能，求出的值；若不可能，请说明理由．
 

24.  本小题分
在▱中，的平分线交直线于点、交的延长线于点，连接．
如图，若，是的中点，连接、．
求证：．
请判断的形状，并说明理由；
如图，若，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，那么又是怎样的形状．直接写出结论不必证明

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是最简二次根式，错误；
B、是最简二次根式，正确；
C、不是最简二次根式，错误；
D、不是最简二次根式，错误；
故选B．
先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
本题考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
D、，不符合题意．
故选：．
根据二次根式的性质、合并同类二次根式的法则对各个选项进行计算，判断即可．
本题考查的是二次根式的加减法及二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，即，那么这个三角形是直角三角形．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
A、，能合并，故本选项错误；
B、，不能合并，故本选项正确；
C、，能合并，故本选项错误；
D、，能合并，故本选项错误．
故选：．
把各二次根式化简，然后根据不能合并的不是同类二次根式进行判断即可．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，不能合并，说明不是同类二次根式．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
此题主要考查全等三角形和勾股定理的综合运用，证明≌，推出，是解题的关键．
【解答】
解：、、都是正方形，





，；
，
，
在和中，
≌，
，；
在中，由勾股定理得：，
即，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：，，，
，
由折叠的性质得：，，，
，
在中，，即，
解得：，
．
故选：．
由勾股定理求出，由折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理列出方程，求出，再利用勾股定理即可求出结果．
本题考查了翻折变换的性质、勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设平行四边形中两个内角分别为，，
则，
解得：，
其中较小的内角是．
故选：．
首先设平行四边形中两个内角分别为，，由平行四边形的邻角互补，即可得，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的邻角互补．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，，，
，，
在中，，
，
．
故选A．
根据平行四边形的性质求出、，根据三角形的三边关系定理得到，代入求出即可．
本题考查对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，求出、后得出是解此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：当正方形绕点转动到其边，分别于正方形的两条对角线重合这一特殊位置时，
显然，
当正方形绕点转动到如图位置时．
四边形为正方形，
，
，即，
又四边形为正方形，
，即，
，
在和中，
≌，
，
又，
．
综上所知，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．
故选：．
分两种情况探讨：当正方形边与正方形的对角线重合时；当转到一般位置时，由题求证≌，故两个正方形重叠部分的面积等于三角形的面积，得出结论．
此题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的面积等知识点，正确的识别图形是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，对角线，，
，
作关于的对称点，连接，则即为的最小值，

是的中点，
是的中点，
，，是中点，
，，
是平行四边形，
．
故选C．
先根据菱形的性质求出其边长，再作关于的对称点，连接，则即为的最小值，再根据菱形的性质求出的长度即可．
本题考查的是轴对称最短路线问题及菱形的性质，熟知菱形的性质是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于，可以求出的范围．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：添加的条件是答案不唯一，
理由是：，四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形，
故答案为：答案不唯一．
根据矩形的判定定理对角线相等的平行四边形是矩形推出即可．
此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理，难度不大．
 

13.【答案】或 

【解析】

【分析】
此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．
已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：是直角边，是斜边；、均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．
【解答】
解：长为的边是直角边，长为的边是斜边时：
第三边的长为：；
长为、的边都是直角边时：
第三边的长为：；
综上，第三边的长为：或．
故答案为或．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．
根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．
【解答】
解：如图所示，菱形中，，，

根据题意得，，
四边形是菱形，
，，
是直角三角形，
，
此菱形的周长为：．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
点的坐标为，
，
，
点的坐标为．
故答案为：．
由平行四边形的性质得出，由勾股定理求出，即可得出点的坐标．
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：点、分别为、的中点，，
，
在中，点为的中点，
则，
故答案为：．
根据三角形中位线定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：在矩形中，，，
，
，，
以，为邻边作第个平行四边形，
平行四边形是菱形，
平行四边形面积，
平行四边形面积，
第个平行四边形的面积为：，
故答案为：．
首先分别求得几个平行四边形的面积，即可得到规律：第个平行四边形的面积为．
此题考查了平行四边形的性质以及矩形的性质．注意得到规律：第个平行四边形的面积为是关键．
 

18.【答案】解：

；


． 

【解析】先算零指数幂，负指数幂，化简绝对值和二次根式，再合并计算；
先化简各二次根式，再计算加减即可．
本题主要考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
 

19.【答案】解：



当时，
原式． 

【解析】首先根据分式化简的方法，把化简；然后把代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式的化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤．
 

20.【答案】解：，
则原式

． 

【解析】本题考查了二次根式的化简求值，正确理解完全平方公式和平方差公式的结构是关键．
首先计算的值，然后代入所求的式子利用平方差公式计算，最后合并同类二次根式即可．
 

21.【答案】    

【解析】解：由图形可得：
，，
，
故答案为：，，；

如图：根据点的坐标，建立平面直角坐标系如下：

故满足条件的点共有个，
以点、、、四个点为顶点的平行四边形为：
▱、▱C、▱，
故第四个顶点的坐标为或或．
直接利用网格及勾股定理得出的长和的长，的度数，即可；
首先根据点的坐标，建立平面直角坐标系，再利用平行四边形的性质得出点位置即可．
此题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形以及勾股定理，注意不要漏解．
 

22.【答案】证明：四边形平行四边形，
，，
，
在和中，
≌，
；

答：四边形是菱形，
≌，
，
，
四边形平行四边形，
，
四边形是菱形． 

【解析】首先根据平行四边形的性质可得，，再证明≌可得；
根据≌可得，然后可得四边形平行四边形，再由条件可得四边形是菱形．
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及菱形的判定，关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
 

23.【答案】解：
和是两个边长为的等边三角形．
，，
，
四边形是平行四边形．

菱形；

若平行四边形是矩形，则．

同理，
，
同理，
与重合，
秒，
当秒时，四边形是矩形． 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形、菱形和矩形的判定，勾股定理，熟记这些定理是解题的关键．
因为和是两个边长为的等边三角形所以，又，可得，所以四边形是平行四边形；
根据有一组邻边相等的四边形是菱形即可得到结论；
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得到结论．
【解答】
见答案
解：当秒时，▱是菱形，
此时与重合，，
▱是菱形，
见答案  

24.【答案】证明：四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，
，，
，，
是的平分线，
，
，
；
是等腰直角三角形．
理由如下：连接，

由知，，，
，
是的中点，
，，
，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，，
又，
，
即，
，
是等腰直角三角形；
是等边三角形．
连接，绕点顺时针旋转至，
是等边三角形，
，，
又四边形是平行四边形，，

，

，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，

，
，
是等边三角形． 

【解析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定，难度较大，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
先判定四边形是矩形，可得，，然后根据平行线的性质求出，，再根据是的平分线，从而得到，然后根据等角对等边的性质即可证明；
连接，根据等腰直角三角形的性质可得，求出，，证明和全等，根据全等三角形性质得，，再求出，然后求出，根据等腰直角三角形的定义判断即可；
连接，根据旋转的性质可得是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出，证明和全等，得到，，然后求出，再求出，根据等边三角形的判定方法判定即可．