黑龙江省绥化市绥棱县第一中学2023−2024学年高二下学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省绥化市绥棱县第一中学2023−2024学年高二下学期期末考试 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．下列关于命题“，使得”的否定说法正确的是（ ）
A．，均有假命题B．，均有真命题
C．，有假命题D．，有真命题
3．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
4．1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（ ）
A．2B．1C．0D．-2
5．若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．或B．
C．D．或x>1
6．已知，则，，的大小排序为（ ）
A．B．C．D．
7．区块链，是比特币的一个重要概念，它本质上是一个去中心化的数据库，同时作为比特币的底层技术，是一串使用密码学方法相关联产生的数据块，每一个数据块中包含了一批次比特币网络交易的信息，用于验证其信息的有效性（防伪）和生成下一个区块.在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算.现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏的情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（ ）
（参考数据，）
A．秒B．秒C．秒D．28秒
8．若函数的定义域为R，其图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（ ）
A．2023B．C．4048D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，，且，则可能取的值有（ ）
A．9B．10C．11D．12
10．已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．是奇函数D．若，则
11．下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．若函数的定义域为，则函数的定义域为 .
13．已知曲线：在处的切线为，曲线：在处的切线为，若存在实数t使得与的倾斜角互补，则实数a的取值范围为 ．
14．已知函数若方程有6个不同的实数解，则m的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知集合，．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
16．已知函数．
(1)若对于任意，不等式恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当时，解关于x的不等式．
17．已知a，b，c为实数，函数（）．
(1)若函数为幂函数，求a，b，c的值；
(2)若，，且函数在区间上单调递减，求ab的最大值．
18．已知函数，．
(1)若，求的值；
(2)令，且在区间上有零点，求实数n的取值范围．
19．已知函数，．
(1)若在上有两个极值点，求a的取值范围；
(2)证明：若在 上恒成立，则．
参考答案
1．【答案】C
【分析】解方程得到，由定义域得到，从而求出并集.
【详解】由题意得，解得，故，
又，所以.
故选C.
2．【答案】B
【分析】存在性命题的否定是全称命题，先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，即可得该命题的否定，再判断真假即可.
【详解】命题“，使得”的否定是，均有，
对，又，故该命题为真命题.
故选B.
3．【答案】B
【分析】根据不等式的性质即可求解AD,利用作差法即可求解B，举反例即可求解C.
【详解】因为，所以，所以，故A错误；
，因为，所以，即，所以，故B正确；
C项中,取，则不满足，故C错误，
D项中应是．D错误，
故选B．
【快解】取，则A、C、D不成立，故选B.
4．【答案】A
【分析】根据洛必达法则直接求导并代入计算即可.
【详解】由题意可得
，
故选A.
5．【答案】D
【分析】由题知，，进而将所解不等式转化为，再求解即可得答案.
【详解】因为不等式的解集为，
所以是方程的解,且，
所以，即，
所以等价于，
由于，
所以等价于 ,解得或.
所以的解集为.
故选D.
6．【答案】D
【分析】方法一：首先设，利用指数对数互化，表示出，，，再利用对数函数的图象判断大小；方法二：由条件可知，再利用对称运算，以及对数函数的图象和性质，比较大小.
【详解】方法一：设.
则，，，
又，所以，可得.
方法二：由.
得，即
，
可得.
故选D.
【关键点拨】由条件得到等式，进而比较大小，本题的关键是熟悉指数对数运算公式，变形，以及指数和对数函数的图象.
7．【答案】B
【分析】设这台机器破译密码所需时间大约为秒，根据题意，由，两边取对数，结合对数运算求解.
【详解】设这台机器破译密码所需时间大约为秒，则，
两边同时取以10为底的对数可得：，
即，
所以
解得，
又，
所以可以近似表示为4.5，
故，
故选B.
8．【答案】C
【分析】首先根据条件判断函数的周期，再根据函数的周期性和对称性求函数值，即可求和.
【详解】由是偶函数知，的图象关于直线对称，①,
又的图象关于中心对称，所以②,
则③,
由①②③可得，,故函数的周期为4，
则，，，则，
则．
故选C.
9．【答案】BCD
【分析】由题意可知，化简后利用基本不等式可求得其最小值，从而可得答案
【详解】因为，，且，
所以
，当且仅当，即时取等号，
故选BCD.
10．【答案】ACD
【分析】利用赋值法，令可判断A项；令，可判断B项；令并结合奇函数的定义可判断C项；令可判断D项.
【详解】因为，所以令，得，故A正确；
令，得，所以，
令，得，所以，故B错误；
令，得，
又，所以，
所以函数是奇函数，故C正确；
令，得，
又，，所以，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】BC
【分析】构造函数（），利用函数的单调性，可得A的真假；构造函数（），利用函数单调性，可判断BD的真假；结合AB选项的内容，可判断C的真假.
【详解】令（），则，
所以在上单调递减，所以，
则，故A错误；
令（），所以，
因为，所以，，所以，
所以在上单调递减，所以，则，故B正确；
又，所以，故C正确；
由，得，故D错误．
故选BC.
【思路导引】构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
12．【答案】
【分析】先由求得，再由可求出的定义域
【详解】因为，所以，所以的定义域为，
要使有意义，需满足，解得.
故答案为：.
13．【答案】
【分析】由导数的几何意义结合题意可得，即存在正根，由二次函数根的分布问题求解即可.
【详解】由曲线可得，由曲线可得，
由导数的几何意义可得：直线的斜率为，直线的斜率为，
若存在实数t使得与的倾斜角互补，
则方程，即存在正根，所以
解得．
故答案为：.
14．【答案】
【分析】作出的图象，令，问题等价于关于t的方程在上有两个不等实数根，再分解因式求解即可.
【详解】函数的图象如图所示．
令，则方程有6个不等实数解，
等价于关于t的方程在上有两个不等实数根，
令，
则解得且．
故答案为：.
【方法总结】研究方程问题，一方面用函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
15．【答案】（1）（2）
【分析】（1）分别求出集合A，B，再求出，由得出不等式，求得a的范围；
（2）由已知得且，建立不等式求得a的范围.
【详解】解：（1），，所以，
，．
即a的取值范围是．
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，且，即A真包含于B.
或
或，即a的取值范围是．
【方法总结】本题考查集合间的关系和充分必要条件中的集合间的关系.
16．【答案】(1)；
(2)答案见解析
【分析】（1）讨论或两种情况，由不等式恒成立，求参数的取值范围；
（2）首先不等式整理为，讨论对应方程的两根大小关系，解不等式.
【详解】（1）即为，
所以不等式对于任意恒成立，
当时，得，显然符合题意；
当时，得，解得．
综上，实数a的取值范围是．
（2）不等式即为，
即．
又，不等式可化为，
若，即时，得或，即解集为或；
若，即时，得，即解集为；
若，即时，得或，即解集为或．
综上可知，当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为或．
17．【答案】(1)，，或，，；
(2)．
【分析】（1）由幂函数的定义，即可列式求解；
（2）当时，函数是一次函数，由一次函数的单调性确定参数的取值范围，当时，由二次函数确定参数的取值范围，再结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）由函数的定义域为R知，当为幂函数时，
应满足，或，
解得，，或，，．
（2）当时，（），
由题意知，，所以；
当时，函数图象的对称轴为，
依题意得，即，
所以，得．当且仅当9a=b，且时等号成立，当，时满足条件，等号成立．
综上可得，ab的最大值为．
18．【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由已知可得的解析式，根据指数函数的运算即可求证，利用倒序相加即可求值；
（2）由已知可得，设，问题等价为在上有零点，参变分离得在上有解，通过换元由单调性求取值范围即可.
【详解】（1），，
，
则，
设，
则，
两式相加得，则，
故．
（2），
设，当，则，
则函数等价为，．
函数在区间上有零点，等价为在上有零点，
即在上有解，即在上有解，
即，
设，则，有，
在上恒成立，则在上单调递增，
则当时，，当时，，
即实数n的取值范围是．
【方法总结】1.求的值，由的解析式，通过合理配对，使得某两项相加为定值；
2. 函数零点问题，转化为对应方程有实数根，通过参变分离，构造函数利用导数求值域.
19．【答案】(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）首先由方程，参变分离为方程有两个不同的正根，转化为利用导数分析函数，时的图形，利用数形结合求实数 的取值范围；
（2）首先将不等式参变分离为恒成立，转化为利用导数分析函数的最值.
【详解】（1）由题可得，
若在上有两个极值点，则关于x的方程有两个不同的正实根，
即方程有两个不同的正实根．
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又当时，，当时，，所以，即，
所以a的取值范围为．
（2）由题意得在[0,)上恒成立，
即恒成立．
令，
，
当时，，所以函数在上单调递增，
当时，．
令（），
则（），
所以函数在[0,1)上单调递增，
，，
所以在区间上存在唯一零点，使得函数在上小于零，在上大于零，
即在区间上大于零，在区间上小于零，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增，
又，
所以，
所以，原式得证．
【关键点拨】本题第二问的关键是利用导数求函数的最值，其中涉及导数求函数的二次导数，且涉及隐零点问题，求函数的最值.