黑龙江省大庆市第四中学2023-2024学年高二下学期7月期末 数学试题（含解析）

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考试时间：120分钟分值：100分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知全集，集合，或，则（ ）
A.B.
C.D.
2. “”的一个必要不充分条件是（ ）
A.B.C.D.
3.设，，，则的大小关系为（ ）
A.B.C.D.
4.以下说法错误的是（ ）
A.用样本相关系数来刻画成对样本数据相关程度时，若越大，则成对样本数据的线性相关程度越强
B 经验回归方程一定经过点
C.用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好
D.用决定系数来刻画模型的拟合效果时，若越小，则相应模型的拟合效果越好
5.从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则（ ）
A.B.C.D.
6.已知甲盒中有2个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有4个白球，3个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，记事件A=“甲盒中取出的球与乙盒中取出的球颜色不同”，则（ ）
A.B.C.D.
7.已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数.若，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A.B.
C D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分）
9.已知，且，则（ ）
A.B.
C.D.
10.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，设事件“为整数”，“为偶数”，“为奇数”，则（ ）
A.B.
C.事件与事件相互独立D.
11.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A.函数的值域为
B.函数图象关于点成中心对称图形
C.函数的导函数的图象关于直线对称
D.若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则______.
13.若直线与函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是______.
14.设若方程有四个不相等的实根，且，则的取值范围为___________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.已知等差数列的前n项和为，满足，_____________．
在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分．在答题前应说明“我选_____________”）
（1）求的通项公式；
（2）设，求的前n项和．
16.我国综合性太阳探测专用卫星“夸父一号”最新一批科学图像于2022年12月13日在京发布，其中多幅图像质量达到国际领先水平，验证了“夸父一号”三台有效载荷观测能力和先进性，“夸父一号”是中国科学院空间科学二期先导专项研制的一颗空间科学卫星，于2022年10月9日成功发射，卫星以“一磁两暴”为科学目标，即同时观测太阳磁场和太阳上两类最剧烈的爆发现象——耀斑和日冕物质抛射，研究它们的形成、演化、相互作用和彼此关联，同时为空间天气预报提供支持、某学校为了解该校某兴趣小组对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣，对该兴趣小组的100位学生进行了问卷调查，已知被调查学生中男生占调查人数的55%，其中感兴趣的有40人，余下的不感兴趣，在被调查的女生中，感兴趣的有20人，其余人不感兴趣.
（1）请补充完整列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生的性别有关联？
（2）从兴趣小组100人中任选1人，表示事件“选到的人是男生”，表示事件“选到的人对“夸父一号”探测卫星相关知识不感兴趣”，求；
（3）按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法从感兴趣的学生中抽取容量为6的样本，再从抽取的6人中随机抽取2人，随机变量表示2人中女生的人数，求的分布列和数学期望.
附：参考公式：，其中.
临界值表：
17.某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；
（2）若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计初试成绩不低于88分的人数；
（3）复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及均值．
附：若随机变量X服从正态分布，则：，，．
18.2024年初，冰城哈尔滨充分利用得天独厚的冰雪资源，成为2024年第一个“火出圈”的网红城市，冰城通过创新营销展示了丰富的文化活动，成功提升了吸引力和知名度，为其他旅游城市提供了宝贵经验，从2024年1月1日至5日，哈尔滨太平国际机场接待外地游客数量如下：
（1）计算的相关系数（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（3）为了吸引游客，在冰雪大世界售票处针对各个旅游团进行了现场抽奖的活动，具体抽奖规则为：从该旅游团中随机同时抽取两名游客，两名游客性别不同则为中奖．已知某个旅游团中有5个男游客和个女游客，设重复进行三次抽奖中恰有一次中奖的概率为，当取多少时，最大？
参考公式：，，，
参考数据：．
19.已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
感兴趣
不感兴趣
合计
男生
女生
合计
0.15
0.10
0.05
0.01
0.005
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
（日）
1
2
3
4
5
（万人）
45
50
60
65
80