黑龙江省大庆市大庆中学2024−2025学年高二下学期4月月考 数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省大庆市大庆中学2024−2025学年高二下学期4月月考 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．数列1，，，，…的一个通项公式为
A．B．C．D．
2．以点为圆心，且与x轴相切的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知函数，则（ ）
A．0B．1C．D．
4．已知等差数列an 的前n 项和为Sn ，且a2+a3=10 ，S5=30 ，则数列an 的公差为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
5．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=（ ）
A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1
6．已知数列的前n项和为，满足，则=（ ）
A．11B．31C．61D．121
7．某工厂计划今年1月份生产某产品100件，以后每个月都比上个月多生产件，为保证今年该产品的总产量超过1800件，则k的最小值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
8．若在上是单调递增的，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列求导的运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支相交于M，N两点，则（ ）
A．直线l：与C恰有两个公共点
B．若，则的面积为
C．双曲线E：的焦点在以为直径的圆上
D．若，则的周长为28
11．已知正项数列满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，则B．若，则的值有3种情况
C．若数列满足，则D．若为奇数，则（）
三、填空题（本大题共3小题）
12．在等比数列中，是方程的根，则的值为 ．
13．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若的周长为10，则的离心率为 .
14．已知定义在R上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，令，则满足的实数的取值集合是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)求在上的最值.
16．等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
17．已知抛物线C：上一点M到其焦点的距离为3，到y轴的距离为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若不过原点O的直线l：与抛物线C交于A，B两点，且，求实数m的值．
18．已知数列中，，.
（1）证明：数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，为数列的前n项和，证明：.
19．已知函数，
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设函数，求函数的单调区间；
(3)在（2）的条件下，若函数的图象恒在直线的图象的上方，求实数的最大值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】数列…可以化为，所以该数列的一个通项公式为.
故选A
2．【答案】B
【详解】由圆与轴相切，得该圆半径为点到轴的距离5，
所以所求圆的标准方程为.
故选B
3．【答案】C
【详解】由可得，
令可得，解得.
故选C
4．【答案】B
【分析】本题可直接利用等差数列通项公式和前n 项和公式联立方程组求解即可得出答案.
【详解】设等差数列an 的首项和公差分别为a1 和d ,则由题意可得a2+a3=2a1+3d=10S5=d2×52+a1-d2×5=30 ,联立解得d=2 .
故选B.
【一题多解】由于等差数列an 的前n 项和为Sn ，S5=30 ，则S5=a1+a2+a3+a4+a5=
5a3=30, 即a3=6, 又a2+a3=10,故a2=4,d=2.
5．【答案】B
【详解】设等比数列的公比为，
由可得：，
所以，
因此.
故选B.
6．【答案】D
【详解】令，得，得，
由，
当时，，两式相减得
，即，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
故选D.
7．【答案】A
【详解】因为某工厂计划今年1月份生产某产品100件，以后每个月都比上个月多生产件，
所以每月的产量构成以今年1月份的产量100件为首项，为公差的等差数列，
由今年该产品的总产量超过1800件，所以，
解得，又，所以k的最小值为10.
故选A.
8．【答案】C
【详解】因为在上是单调递增的，
所以上恒成立，所以上，
因为，所以，，
则的取值范围是.
故选C.
9．【答案】AC
【详解】对于A，，选项A正确；
对于B，，选项B中缺少系数2，选项B错误；
对于C，，选项C正确；
对于D，为常数，常数的导数为0，选项D错误.
故选AC.
10．【答案】BC
【详解】对于A，双曲线C：的一条渐近线的方程为，
故直线l：与该渐近线平行，故直线l与C恰有一个公共点，A错误；
对于B，设，，由可知点M在C的右支上，
由双曲线定义得，又，故，
在中，由余弦定理得，
解得，所以的面积为，B正确；
对于C，由已知得，，以为直径的圆的方程为，
E：的焦点为，很显然，在圆上，C正确；
对于D，由双曲线定义知，，
所以，又，
所以，所以的周长为，D错误．
故选BC．
11．【答案】BD
【分析】由数列的递推式结合分类讨论，计算可得正确结论．
【详解】正项数列满足，
可得，则，，，，，，，，
故数列从第4项起，周期为3，故，故A错误；
若，当为偶数时，，当为奇数时，；
当为偶数时，或26，当为奇数时，，故B正确；
设，则，
若则，得，即，经检验符合题意，故C错误；
若为奇数，当为偶数时，，
当为奇数时，，即为偶数，矛盾，故D正确．
故选BD．
12．【答案】
【详解】等比数列中，是方程的根，
则，，
则，
由等比数列性质可知
，所以，
而，所以.
13．【答案】/
【详解】由椭圆方程可得，得，
因为是上一点，所以，
因为的周长为10，
所以，得，
所以的离心率为.
14．【答案】
【详解】构造函数，则，由于，因此化为，即，也即，故当时，函数是单调递减函数；又，故函数是偶函数，依据偶函数的对称性可知函数是上的单调递增函数，故不等式可化为，应填答案．
点睛：解答本题的关键是构造函数，然后再研究并求函数的导数，确定其单调性，进而运用定义断定其奇偶性是偶函数，最后再借助单调性将不等式进行等价转化为，从而使得 问题获解．
15．【答案】(1)的单调递增区间为和,单调递减区间为;
(2)最大值为,最小值为0.
【详解】（1）对求导可得：，
令,则,解得或；
时，则，解得或，
所以在上单调递增；
当时，则,即,
所以在 上单调递减；
因此，的单调递增区间为和,单调递减区间为.
（2）由（1）可知和为函数的极值点;
,
,
,
,
所以在 上的最大值为,最小值为0.
16．【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）设数列的公比为，
则，由
得：，所以.
由，得到
所以数列的通项公式为.
（2）由条件知，
又
将以上两式相减得
所以.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）点M到准线的距离为3，从而得到方程，求出，得到抛物线方程；
（2）联立直线与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据根的判别式得到不等式，求出，根据向量垂直得到方程，求出.
【详解】（1）由题意知，点M到准线的距离为3，
所以，解得．
故C的方程为；
（2）设，，由得，
所以，．
由得．
因为，所以，
即，解得或0．
又直线l不过原点O，所以．
又满足要求，所以．
18．【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【详解】（1）∵，∴，即，
∴是以为首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）得，，
∴.
（3）由（2）得，，
∴，
∵，∴，且随着的增大而减小，
∴，当时，，
∴.
19．【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)2
【详解】（1）已知函数 ，则，
将代入可得
将代入可得，
所以切点为,切线斜率,
则切线方程为，整理得；
（2）已知，其定义域为. ，
令，，
当，即时，恒成立(因为二次函数开口向上)，
则恒成立，所以在上单调递增；
当，即时，由，根据求根公式可得，；
则在和上, 单调递增；
在上，, , 单调递减；
综上，当时，的单调递增区间为，无减区间；
当时，的 单 调 递 增 区 间 为 和 ,
单 调 递 减 区 间 为 .
（3）由题意知在上恒成立，即在上恒成立，
等价于在上恒成立，
令，则恒成立，
对进行求导，，
令，对其求导得，
所以在上单调递增；
又，所以当时，，即,
所以在上单调递增，
因为在上单调递增，所以，
所以,
即实数的最大值为2.