黑龙江省大庆市第四中学2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题

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单选题（本大题共8小题,在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
A 2.B 3.C 4.D 5.C. 6.D 7.D. 8.A
多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分)
BD 10.BCD 11.BCD
填空题
13. 14.
15.解（1）设等差数列的首项为，公差为
若选择条件①，则由，得，解得，；
若选择条件②，则由，得，解得，；
若选择条件③，则由，得,解得，；
（2）由（1）知，选择三个条件中的任何一个，都有，则，
16.解（1）调查的男生人数为（人），调查的女生人数为（人），
所以列联表如下所示：零假设为：对“夸父一号”卫星相关知识感兴趣与学生的性别无关联.
根据列联表中的数据，经计算得，
所以根据小概率值的独立检验，推断不成立，
即认为对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣与学生的性别有关联，此时推断犯错误的概率不大于.
（2）依题意，，所求概率为，或者.
（3）按比例分配的分层随机抽样的方法抽取的男生数为人，女生人数
所以的可能取值为，，，
所以，
所以的分布列为
所以.
17.解（1）样本平均数的估计值．
（2）因为学生初试成绩X服从正态分布，其中，，则，
所以，
所以估计初试成绩不低于88分的人数为人．
（3）Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，
则, ，， ，， ，
故Y的分布列为：
所以数学期望为．
18.解（1）因为，
所以
，
，
，
所以 ，
由此可以认为两者的相关性很强．
（2）由（1）知，．所以=．
因为，所以回归方程为．
（3）记，
，
，即．
，令，
则，得，，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得最大值．由，解得或（舍去），
当时，恰有一次中奖的概率最大．
19.解(1)的定义域为．由得，，
当时，；当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由得，即．由，得．
由（1）不妨设，则，从而，得，
①令， 则，
当时，，在区间内为减函数，，
从而，所以，由（1）得即．①
令，则，
当时，，在区间内为增函数，，
从而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最优解】：变形为，所以．
令．则上式变为，于是命题转换为证明：．
令，则有，不妨设．
由（1）知，先证．
要证：
．
令，
则，
在区间内单调递增，所以，即．
再证．
因为，所以需证．
令，
所以，故在区间内单调递增．
所以．故，即．综合可知．
[方法三]：比值代换
证明同证法2．以下证明．不妨设，则，
由得，，
要证，只需证，两边取对数得，
即，即证．
记，则.
记，则，
所以，在区间内单调递减．，则，
所以在区间内单调递减．
由得，所以，
即．
[方法四]：构造函数法
由已知得，令，不妨设，所以．
由（Ⅰ）知，，只需证．证明同证法2．
再证明．令．
令，则．
所以，在区间内单调递增．
因为，所以，即
又因为，所以，
即．
因为，所以，即．
综上，有结论得证．
感兴趣
不感兴趣
合计
男生
40
15
55
女生
20
25
45
合计
60
40
100
0
1
2
Y
0
5
10
15
20
25
P