黑龙江哈尔滨第四中学校2023~2024学年高二下册期末考试数学试卷[附解析]

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试卷满分:150分 考试时间：8:00—10:00
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知随机变量的分布列如下:
设，则的数学期望的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据期望公式求出，再根据期望的性质即可得到正确答案.
【详解】，
所以
故选：B.
2. 已知5个成对数据的散点图如下，若去掉点，则下列说法正确的是（ ）
A. 变量x与变量y呈正相关B. 变量x与变量y的相关性变强
C. 残差平方和变大D. 样本相关系数r变大
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件，结合变量间的相关关系，结合图象分析判断即可.
【详解】由散点图可知，去掉点后，与的线性相关加强，且为负相关，
所以B正确，A错误；
由于与的线性相关加强，所以残差平方和变小，所以C错误，
由于与的线性相关加强，且为负相关，所以相关系数的绝对值变大，
而相关系数为负的，所以样本相关系数r变小，所以D错误.
故选：B.
3. 函数y=fx的图象如图所示，f'x是函数的导函数，令，，，则下列数值排序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用可看成两点的割线斜率，再利用导数的几何意义，把，分别看成两点的切线斜率，由图形可知：点的切线斜率最大，点的切线斜率最小，两点的割线斜率介于两者之间，即可得到答案.
【详解】
由图可知：，即表示的是两点的割线斜率；
根据导数的几何意义，由，即表示的是函数y=fx曲线在点的切线斜率；
由，即表示的是函数y=fx曲线在点的切线斜率；
利用图形中三直线的倾斜角大小结合正切函数的单调递增可知：点的切线斜率最大，点的切线斜率最小，两点的割线斜率介于两者之间，
故选：A.
4. 2024年中国足球甲级联赛哈尔滨会展体育中心的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同区域的座位，四位球迷相约看球赛，则四人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（ ）
A 30种B. 60种C. 120种D. 24种
【答案】D
【解析】
【分析】依题意，先将在同一区域的三个人选出并选定区域，再对余下的一人在其它两个区域进行选择，由分步乘法计数原理即可得到答案.
【详解】要使四人中恰有三人在同一区域，可以分成三步完成：
第一步，先从四人中任选三人，有种方法；
第二步再选这三人所在的区域，有种方法；
第三步，将另外一人从余下的两个区域里任选，有种方法.
由分步乘法计数原理，共有种方法.
故选：D.
5. 已知随机变量.若，设事件“”，事件“”，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】，即或，根据正态分布的性质可求及的概率，再结合条件概率公式即可求解.
【详解】因为随机变量，且，
，
，
，即或，
，
.
故选：.
6. 某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论正确的是（ ）
附:，
A. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B. 有的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
【答案】B
【解析】
【分析】根据所给数据完善列联表，计算出卡方，即可判断.
【详解】依题意可得列联表如下：
所以χ2=10030×10-15×45275×25×45×55≈3.03>2.706，
所以在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关，
即有的把握认为是否是篮球迷与性别有关，
又，所以没有的把握认为是否是篮球迷与性别有关.
故选：B.
7. 如图，由观测数据 的散点图可知， 与的关系可以用模型 拟合，设 ，利用最小二乘法求得 关于的回归方程 . 已知 ，，则 （ ）

A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用已知数据可求得样本中心点，再利用回归方程必过样本中心点，即可求出.
【详解】由可得： ,
由可得：,
由回归方程 必过样本中心点，即过点，
所以，解得.
故选：D.
8. 当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：

若在的展开式中，的系数为，则实数a的值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用广义杨辉三角，求出展开式，再分析的项即可得解.
【详解】由广义杨辉三角，得，
因此的展开式中，项为，
所以，即.
故选：B
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量满足，且，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意，利用二项分布的期望与方差的公式，以及期望与方差的运算性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由随机变量满足，且，可得，解得，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，因为，即，可得，所以B错误；
对于C中，由，所以C错误；
对于D中，由，可得，所以D正确.
故选：AD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 回归分析中，线性相关系数的取值范围为
B. 回归分析中，残差图中残差比较均匀分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好
C. 回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好
D. 在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则也变成原来的2倍（，其中）
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用回归分析的相关定义和独立性检验公式对各个选项逐一分析判断即可得到结果.
【详解】选项A，回归分析中，线性相关系数的取值范围为，故选项A错误；
选项B，因为在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，表明数据越集中，
模型的拟合效果越好，故选项B正确；
选项C，因为决定系数越大，表示残差平方和越小，数据就越集中，
即模型拟合效果越好，故选项C正确；
选项D，在列联表中，若每个数据均变成原来的2倍，则
，因此也变成原来的2倍，故选项D正确；
故选：BCD.
11. 某公司为入职员工实行每月加薪，小王入职第1个月工资为a元，从第2个月到第13个月，每月比上个月增加100元，从第14个月到第25个月，每月比上个月增加50元，已知小王前3个月的工资之和为9300元，则（ ）
A.
B. 小王第3个月与第13个月工资之和等于第2个月与第14个月工资之和
C. 小王入职后第20个月的工资为4550元
D. 小王入职后前15个月的工资之和是55350元
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列的定义、通项公式和前n项求和公式计算，依次判断选项即可.
【详解】小王入职后各月工资依次排成一列，构成数列
对于A，小王前3个月的工资之和为，解得，A正确；
对于B，当时，an是等差数列，首项，公差为100，
当时，an是等差数列，，公差为50，
，B错误；
对于C，小王入职后第13个月的工资为，
第20个月的工资为，C正确；
对于D，小王入职后前15个月的工资之和
，D正确.
故选：ACD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知函数在处的切线方程为，则________．
【答案】14
【解析】
【分析】由导数的几何意义知，在处，切线方程的斜率等于切点处的导函数值，和切点不仅在函数，还在切线方程上，即可求出，从而得到的值.
【详解】由导数的几何意义知，在处，切线方程的斜率等于切点处的导函数值，
可得，
又切点，在切线方程上，则，
因此，.
故答案为：14.
13. 设是等比数列an的前项和，若，，则= ______.
【答案】
【解析】
【分析】由，又，，成等比数列，求出，即可求出的值.
【详解】由题意得，则，
因为，，成等比数列，故，
即，解得，
故.
故答案为：.
14. 对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前12项和________.
【答案】##0.375
【解析】
【分析】利用累加法求数列an的通项公式，再利用裂项相消法求和.
【详解】由题意可知，
，
，
，
……
，
所以，
，
，，
当时，上式也成立，
故，，
所以数列，
.
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求曲线过点处的切线；
（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数几何意义求过一点的切线方程；
（2）利用导数几何意义，由切线平行列方程求参数值.
【小问1详解】
由导数公式得，
设切点坐标为，设切线方程为：
由题意可得： ，
所以或，
从而切线方程为或.
【小问2详解】
由(1)可得：曲线在点处的切线方程为,
由，可得曲线在处的切线斜率为，
由题意可得， 从而，
此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为，
即，故符合题意，所以.
16. 某大学组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：
（1）从这9天的数据中任选2天的数据，以X表示2天中普及人数不少于200人的天数，求X的分布列和数学期望；
（2）由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数x的线性回归方程.
参考数据：，，.附：对于一组数据（，），（，），……，（，），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.
【答案】（1）分布列见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用超几何分布与数学期望公式即可得解；
（2）去掉第天数据后，结合的计算公式进行转化整理求得其值，从而得解.
【小问1详解】
普及人数不少于200人的天数为4天，则X的所有可能取值为0，1，2，
又，
，
.
故X的分布列为：
.
【小问2详解】
去掉第天的数据可得统计表如下：
设原来数据的样本中心点为，去掉第5天的数据后样本中心点为，
所以，，，；
去掉第5天数据后，
所以，，
所以剩下的数据求得的回归直线方程为：.
17. 已知数列an满足：，且 .
（1）证明：数列bn是等比数列，并求数列an的通项公式；
（2）若，求的值.
【答案】（1）证明见解析，
（2）4
【解析】
【分析】（1）根据条件得，即可求证数列bn是等比数列，进而求出数列an的通项公式；
（2）先由（1）求出即可求解.
【小问1详解】
证明：由已知可得，
所以，
又，所以，所以，
所以数列bn是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，
故，所以.
【小问2详解】
由（1）
，
由，得，即，
所以，所以.
18. 如图，四棱锥中，底面，，.
（1）若，证明：平面；
（2）若，且二面角的余弦值为，求.
【答案】（1）证明见解析
（2）1
【解析】
【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，
从而，再根据线面平行的判定定理即可证出；
（2）过点作于，再过点作于，连接，确定即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可得到.
【小问1详解】
因为平面，而平面，所以，
又，，平面，所以平面，
而平面，所以.
因为，所以， 根据平面知识可知，
又平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
如图所示，过点作于，再过点作于，连接，
因为平面，平面，所以平面平面，
而平面平面，平面
所以平面，平面，，
又，，平面，平面，
又平面，，
根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角，
由二面角的余弦值为，
即，，即．
因为，设，则，
由等面积法可得，，
又，
而为等腰直角三角形，所以，
故，解得，
则.`
19. 甲、乙两名同学玩掷骰子积分游戏，规则如下：每人的初始积分均为0分，掷1枚骰子1次为一轮，在每轮游戏中，从甲、乙两人中随机选一人掷骰子，且两人被选中的概率均为当骰子朝上的点数小于3时，掷骰子的人积2分，否则此人积1分，未掷骰子的人本轮积0分，然后进行下一轮游戏．已知每轮掷骰子的结果相互独立．
（1）求经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率；
（2）经商议，甲、乙决定修改游戏规则，具体如下：甲、乙轮流掷骰子，谁掷谁积分，当骰子朝上的点数不小于3时，积2分，否则积1分，规定第一次由甲掷．记两人累计积分之和为的概率为
（i）证明：为等比数列；
（ⅱ）求 的通项公式.
【答案】（1）；
（2）（i）证明见解析；（ⅱ）.
【解析】
【分析】（1）求出甲每轮积分为0，1，2分的概率，再将所求概率的事件分拆成彼此互斥事件的和，利用概率的加法、乘法公式列式计算即得；
（2）（i）根据给定条件，利用条件概率、全概率公式列式，再利用等比数列定义推理即得；
（ⅱ）利用累加法求出.
【小问1详解】
甲每轮游戏的积分可能为0分、1分、2分，记其每轮积分为0分、1分、2分的概率分别为，
则
经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的所有可能情况如下：4轮中甲掷2轮，且每轮积分均为2分；
4轮中甲掷3轮，每轮积分分别为2，1，1；甲掷4轮，每轮积分均为1分，
所以经过4轮游戏，甲的累计积分为4分的概率
【小问2详解】
（i）记“累计积分之和为”为事件；“累计积分之和为”为事件；“累计积分之和为”为事件.
于是，
则，
又，
所以是首项为公比为的等比数列．
（ii）由（i）得，当时，，
则，
，
，
，
累加得，
因此．
当时，上式也成立，
故.
【点睛】关键点点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.0
1
男生
女生
篮球迷
30
15
非篮球迷
45
10
0.10
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
男生
女生
合计
篮球迷
30
15
45
非篮球迷
45
10
55
合计
75
25
100
时间x（天）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
每天普及的人数y
80
98
129
150
203
190
258
292
310
0
1
2
时间天
1
2
3
4
6
7
8
9
每天普及的人数
80
98
129
150
190
258
292
310