黑龙江省哈尔滨市第四中学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

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试卷满分：150分考试时间：13：00—15：00
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知某位自行车赛车手在相同条件下进行了8次测速，测得其最大速度（单位：）的数据分别为42，38，45，43，41，47，44，46，则这组数据中的分位数是（）
A. 44.5B. 45C. 45.5D. 46
2. 已知为虚数单位，则复数的虚部为（）
A. B. C. 0D. 1
3. 已知直线平面，直线平面，则（）
A 若与垂直，则与一定垂直
B. 若与所成的角为30°，则与所成的角也为30°
C. 是的充分不必要条件
D. 若与相交，则为一定是异面直线
4. 对空中移动的目标连续射击两次，设A＝{两次都击中目标}，B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一次击中目标}，D＝{至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（）
A. B.
C. D.
5. 已知单位向量与夹角为，则（）
A B. C. D.
6. 已知四棱锥的底面为正方形，平面平面，且，，则四棱锥的外接球的体积为（）
A. B. C. D.
7. 根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形，若，则=（）
A. B. C. D.
8. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 同时抛出两枚质地均匀骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件B：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（）
A. 事件A与事件B对立B. 事件A与事件B相互独立
C. 事件A与事件C相互独立D.
10. 下列关于平面向量的说法中错误的是（）
A. 设，为非零向量，若，则
B. 设，为非零向量，若，则，的夹角为锐角
C. 设，，为非零向量，则
D. 若点为的外心，则
11. 如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点．则下列结论正确的是（）
A. 若为中点，则平面
B. 若为中点，则平面
C. 不存在点，使得
D. PQ与平面所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的平均分数为________分．
13. 九宫格数独游戏是一种训练推理能力数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为__________.
14. 已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，平面，为线段的中点，若空间中存在平面满足，，记平面与直线分别交于点，，则______，四边形的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，．
（1）若，求的坐标；
（2）若，求与的夹角．
16. 如图，在正方体中，为的中点，为的中点．

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
17. Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响．已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为．
（1）求和的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率．
18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求角；
（2）若，，求边及的面积；
（3）在（2）的条件下，求的值.
19. 已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点．

（1）求证：平面；
（2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值．9
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