河北张家口2023~2024学年高一下册期末考试数学试卷[附解析]

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写
在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知一个总体中有 个个体，用抽签法从中抽取一个容量为 样本，若每个个体被抽到的可能性是
，则 （ ）
A. 10 B. 20 C. 40 D. 不确定
2. 已知复数 （其中 i 为虚数单位），则 的虚部是（ ）
A. B. C. D.
3. 一组数据 28，39，12，23，17，43，50，34 的上四分位数为（ ）
A. 17 B. 20 C. 39 D. 41
4. 如图，在 中，D 是线段 BC 上的一点，且满足： ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， ，若 有两解，则 b 的
取值范围为（ ）
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A. B. C. D.
6. 如 图 ， 水 平 放 置 的 四 边 形 OABC 的 斜 二 测 画 法 的 直 观 图 为 直 角 梯 形 ， 已 知
，则原四边形 OABC 的面积为（ ）
A. B. 3 C. D.
7. 随着暑假将近，某市文旅局今年为了使游客有更好 旅游体验，收集并整理去年暑假 60 天期间日接待游
客量数据，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，估计该市今年日接待游客量的平均
数为（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）（ ）
A. 43.6 万人 B. 44.5 万人 C. 45 万人 D. 49.1 万人
8. 如图，某电子元件由 ， ， 三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，
， ， 三种部件不能正常工作的概率分别为 ， ， ，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子
元件能正常工作的概率是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知复数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
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C. D.
10. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 最小正周期为
B. 图象的对称中心为
C. 的单调递增区间为
D. 为了得到 的图象，可将 的图象向左平移 个单位长度，再将横坐标变为原来的 2 倍
11. 如图，已知正方体 的棱长为 4， 是 的中点， 是 的中点，则（ ）
A. 若 是侧面 内一动点，则满足 平面 点 的轨迹长为
B. 平面 内不存 点 ，使得 平面
C. 三棱锥 的体积为 16
D. 若 是 上一点，则 的最小值为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知 ，若 ，则 _________.
13. 在正四棱锥 中， ， 与平面 所成角的余弦值为 ，则四棱锥
外接球的体积为_________．
14. 在 中， ， 是 上一点， 是 的平分线，且
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，则 的面积为_________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量 ，且 .
（1）求 x 的值及 的夹角；
（2）若 ，求 k 的值.
16. 已知某校高一年级 1 班、2 班、3 班分别有 36 人、48 人、60 人，现从这 3 个班用按比例分配的分层随
机抽样的方法抽取 24 人参加安全知识竞赛．
（1）求这 3 个班分别抽取的人数；
（2）已知从 1 班抽取的人中有 2 名女生，若要从 1 班抽取的人中选 2 名同学作为组长，求至少有 1 名女生
作为组长的概率；
（3）知识竞赛结束后，依据答题规则进行统计，甲同学回答 5 道题的得分分别为 69，71，72，73，75，乙
同学回答 5 道题的得分分别为 70，71，71，73，75，请问甲、乙两名同学哪位同学的成绩更稳定？
17. 如图，在矩形 中， ， 是 的中点，将 沿 折起使点 到点 的位
置， 是 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，证明：平面 平面 ；
（3）在（2）的条件下，求二面角 的余弦值．
18. 请 在 ①向 量 ， ， 且 ； ②
这两个条件中任选一个，填入横线上并解答．
在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且满足_________．
（1）求角 的大小；
（2）若 为锐角三角形， ，求 面积的取值范围．
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（注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分）
19. 如图是函数 图象的一部分．
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 的单调区间；
（3）记方程 在 上的根从小到大依次为 ，若
，试求 与 的值．
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