河北保定清苑清苑中学2023~2024学年高一下册期末数学试卷[附解析]

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考试时长：120分钟;满分150分
一、选择题(本题共8个小题，每题5分，共计40分每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
2. 如图①，普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体；如图②，已知圆柱的底面直径米，母线长米，圆锥的高米，则该蒙古包的侧面积约为（ ）
A. 平方米B. 平方米C. 平方米D. 平方米
3. 采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：
107 956 181 935 271 832 612 458 329 683
331 257 393 027 556 498 730 113 537 989
根据以上数据估计，该学员三次射击恰好击中1次概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A. B. 3C. D. 5
5. 为了解甲、乙两个班级学生的物理学习情况，从两个班学生的物理成绩（均为整数）中各随机抽查20个，得到如图所示的数据图（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值），关于甲、乙两个班级的物理成绩，下列结论正确的是（ ）
A. 甲班众数小于乙班众数B. 乙班成绩75百分位数为79
C. 甲班的中位数为74D. 甲班平均数大于乙班平均数估计值
6. 现有甲、乙两组数据，每组数据均由8个数组成，其中甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为7，方差为1．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
7. 围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知向量均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共计18分）
9. 一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中取出2个球，则（ ）
A. 如果是不放回地抽取，那么“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件
B. 如果是不放回地抽取，那么第2次取到红球的概率一定小于第1次取到红球的概率
C. 如果是有放回地抽取，那么取出1个红球和1个白球的概率是
D. 如果是有放回地抽取，那么至少取出一个红球的概率是
10. 如图，点P是棱长为2的正方体ABCD－的表面上一个动点，则（ ）
A. 当P在平面上运动时，四棱锥P－的体积不变
B. 当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是[，]
C. 使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为
D. 若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面时，PF长度的最小值是
11. 已知P是所在平面内一点，则下列说法正确是（ ）．
A. 若，则P是的重心
B. 若P与C不重合，，则P在的高线所在的直线上
C. 若，则P在的延长线上
D. 若且，则面积是面积的
三、填空题（每题5分，共计15分）
12. 某校高一年级共有男生600人，女生400人，为纪念“建党100周年”，决定按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高一年级全体学生中抽出50人，组建一个合唱团，则男生应该抽取__________人．
13. 已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为60n mile/h，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东的方向上，则此时A，B两船相距________n mile．

14. 已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为_________．
四、解答题
15. 复数满足，为纯虚数，若复数在复平面内所对应的点在第一象限．
（1）求复数;
（2）复数，所对应的向量为，已知，求的值.
16. 某工厂为了保障安全生产，举行技能测试，甲、乙、丙3名技术工人组成一队参加技能测试，甲通过测试的概率是0.8，乙通过测试的概率为0.9，丙通过测试的概率为0.5，假定甲、乙、丙3人是否通过测试相互之间没有影响.
（1）求甲、乙、丙3名工人都通过测试的概率；
（2）求甲、乙、丙3人中恰有2人通过测试的概率.
17. 我校近几年加大了对学生奥赛培训，为了选择培训的对象，今年5月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：

（1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数；
（2）从频率分布直方图中，估计第三四分位数是多少；（精确到0.1）
（3）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率．
18. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求A的大小；
（2）若A的角平分线交BC于D，且AD＝3，求△ABC面积的最小值．
19. 在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，连接.
（1）证明：；
（2）连接，求与底面所成角的正切值；
（3）求二面角的平面角的正切值.