贵州六盘水2023~2024学年高一下册期末学业质量监测数学试卷[附解析]

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数学
（考试时长：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1.答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题
卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的
1. 已知集合 ，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图形中，可以表示函数 的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知 ，则 （ ）
A 1 B. C. D. 2
4. 已知函数 且 ，则下列选项正确的是（ ）
A. 函数 的值域为
B. 若 ，则
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C. 函数 的图象恒过定点
D 若 ，则
5. 已知长方体的长､宽､高分别为 ，则这个长方体外接球的表面积与体积之比为（ ）
A. B. C. D.
6. 在 中， 是 边上靠近点 的三等分点， 是 的中点，若 ，则
（ ）
A. 0 B. C. D. 1
7. 已知函数 是定义域为 的奇函数， .当 时， ，则
（ ）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 2
8. 已知 ，则 值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 如图在正方体 中， 分别是 的中点，则下列选项正确的是（
）
A. 平面 B. 平面
C. 四点共面 D. 与 所成的角为
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10. 下列选项正确的是（ ）
A. B.
C D.
11. 已知向量 的数量积（又称向量的点积或内积）： ，其中 表示向量 的
夹角；定义向量 的向量积（又称向量的叉积或外积）： ，其中 表示向量
的夹角，则下列说法正确的是（ ）
A. 的面积为
B. 若 为非零向量，且 ，则
C. 若 ，则 的最小值为
D. 已知点 为坐标原点，则
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 ，则 __________.
13. 已知函数 ，则 __________.
14. 已知 分别为 三个内角 的对边，且 ，则 面积的最
大值是__________.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知二次函数 的图象经过点 且对称轴为 .
（1）求 的解析式；
（2）求不等式 的解集.
16. 已知函数 ，
（1）求函数 的最小正周期；
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（2）将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变；再向左平移 个单位长度，得
到函数 的图象.当 时，求函数 的最值.
17. 如图，直三棱柱 中， 分别是 的中点， .
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号.作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，又
是文明城市的主要创造者.六盘水市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛（满
分 100 分），从所有答卷的成绩中抽取了容量为 100 的样本，将样本（成绩均为不低于 50 分的整数）分成
五段： 得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中 的值和估计样本的下四分位数；
（2）按照分层抽样的方法，从样本中抽取 20 份成绩，应从 中抽取多少份；
（3）已知落在 的平均成绩是 53，方差是 4；落在 的平均成绩为 65，方差是 7，求成绩
落在 的平均数 和方差 .
（注：若将总体划分为若干层，随机抽取两层，通过分层随机抽样，每层抽取的样本量、样本平均数和样
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本方差分别为： .记这两层总的样本平均数为 ，样本方差为 ，则
）
19. 对于定义域为 的函数 ，如果存在区间 ，同时满足：① 在 上是单调
函数；②当 时， ，则称 是该函数的“优美区间”.
（1）求证： 是函数 的一个“优美区间”；
（2）求证：函数 不存 “优美区间”；
（3）已知函数 有“优美区间” ，当 取得最大值时求 的值.
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