贵州省六盘水市2023-2024学年高一下学期期末学业质量监测数学试题（原卷版+解析版）

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数学
（考试时长：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图形中，可以表示函数的是（ ）
A B.
C. D.
3. 已知，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
4. 已知函数且，则下列选项正确的是（ ）
A. 函数的值域为
B. 若，则
C. 函数的图象恒过定点
D 若，则
5. 已知长方体的长､宽､高分别为，则这个长方体外接球的表面积与体积之比为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（ ）
A. 0B. C. D. 1
7. 已知函数是定义域为的奇函数，.当时，，则（ ）
A -2B. -1C. 0D. 2
8. 已知，则值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图在正方体中，分别是的中点，则下列选项正确的是（ ）
A. 平面B. 平面
C. 四点共面D. 与所成的角为
10. 下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知向量的数量积（又称向量的点积或内积）：，其中表示向量的夹角；定义向量的向量积（又称向量的叉积或外积）：，其中表示向量的夹角，则下列说法正确的是（ ）
A. 的面积为
B. 若为非零向量，且，则
C. 若，则的最小值为
D. 已知点为坐标原点，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则__________.
13. 已知函数，则__________.
14. 已知分别为三个内角的对边，且，则面积的最大值是__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知二次函数的图象经过点且对称轴为.
（1）求的解析式；
（2）求不等式的解集.
16. 已知函数，
（1）求函数最小正周期；
（2）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；再向左平移个单位长度，得到函数的图象.当时，求函数的最值.
17. 如图，直三棱柱中，分别是的中点，.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号.作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，又是文明城市的主要创造者.六盘水市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛（满分100分），从所有答卷的成绩中抽取了容量为100的样本，将样本（成绩均为不低于50分的整数）分成五段：得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值和估计样本的下四分位数；
（2）按照分层抽样的方法，从样本中抽取20份成绩，应从中抽取多少份；
（3）已知落在的平均成绩是53，方差是4；落在的平均成绩为65，方差是7，求成绩落在的平均数和方差.
（注：若将总体划分为若干层，随机抽取两层，通过分层随机抽样，每层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记这两层总的样本平均数为，样本方差为，则）
19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”.
（1）求证：是函数的一个“优美区间”；
（2）求证：函数不存在“优美区间”；
（3）已知函数有“优美区间”，当取得最大值时求的值.