广东广州越秀2023~2024学年高一下册期末数学试卷[附解析]

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本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将考生号、座位号填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已如复数，则的实部是（ ）
A. B. 2C. 3D. 5
2. 有一组数据按从小到大排序如下：70，71，73，75，76，则这组数据的40%分位数，70%分位数分别是（ ）
A. 71，74B. 71，75C. 72，74D. 72，75
3. 从这个正整数中随机选择一个数，则这个数既不能被整除也不能被整除概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知是一条直线，、是两个不同的平而，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则l⊥β
C. 若，，则D. 若，，则l⊥β
5. 在正方体中，为的中点，则（ ）
A. B. C. 平面D. 平面
6. 如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东、B点北偏西的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（ ）
A 0.2小时B. 0.3小时C. 0.5小时D. 1小时
7. 已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线与互相垂直，的面积为2，与圆锥底面所成的角为，则（ ）
A. 圆锥的高为B. 圆锥的侧面积为
C. 二面角的大小为D. 圆锥侧面展开图的圆心角为
8. 已知为的外接圆圆心，，则的最大值为（ ）
A 2B. 4C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设A，B易两个随机事件，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 若A，B是互斥事件，则
B. 若，则
C. 若A，B是相互独立事件，则
D. 若，则A，B是相互独立事件
10. 已知复数在复平面内对应的向量分别为，其中O为原点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
11. 已知圆台上、下底面的半径分别为2和4，母线长为4．正四棱台上底面的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（ ）
A
B. 二面角的大小为
C. 正四棱台的外接球的表面积为
D. 设圆台的体积为，正四棱台的体积为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 从某小区抽取100户层民用户进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左用右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，在被调查的用户中，月用电量落在区间内的户数为____________．
13. 如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度大小为，水流速度的大小为，当航程最短时，这艘船行驶完全程共需要时间____________．
14. 已知正四棱锥的所有棱长都为，点在侧棱上，过点且垂直于的平面截该棱锥，得到截面多边形，则的边数至多为____________，的面积的最大值为____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，第层抽取的样本量、样本均值和样本方差分别为．记总样本数据的均值为，总样本数据的方差为．
（1）写出与的计算公式（直接写出结果，不需证明）；
（2）某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．现采用分层随机抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：），计算得男生样本的均值为172.5，方差为16，女生样本的均值为162.5，方差为30．
（i）如果已知男、女样本量按比例分配，试计算出总样本的均值与方差；
（ii）如果已知男、女的样本量都是50，试计算出总样本的均值与方差，此时将它们分别作为总体的均值与方差的估计合适吗？请说明理由．
16. 甲、乙、丙三名同学进行羽毛球比赛，每局比赛两人对战，另一人轮空，没有平局，每局胜者与此局轮空者进行下一局的比赛．约定先赢两局者获胜，比赛随即结束，各局比赛结果互不影响，已知每局比赛甲胜乙的概率为，乙胜丙的概率为，甲胜丙的概率为．
（1）若第一局由乙丙对战，求甲获胜概率；
（2）若第一局由甲乙对战，求甲获胜的概率．
17. 如图，是半球O的直径，P是半球底面圆周上一点，Q是半球面上一点，且．
（1）求证：；
（2）若,求直线与平面所成角的正弦值．
18. 如图，在中，．
（1）求的长；
（2）已知点D在平面内，且，求四边形的周长的最大值．
19. 如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2．

（1）当为何值时，平面平面?
（2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径．