2026届高考一轮复习基础练数学第一章 集合、常用逻辑用语与不等式（第4、5节 基本不等式及其应用 ）

这是一份2026届高考一轮复习基础练数学第一章 集合、常用逻辑用语与不等式（第4、5节 基本不等式及其应用 ），共8页。试卷主要包含了基本不等式，利用基本不等式求最值等内容，欢迎下载使用。
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1．基本不等式：如果 a>0,b>0 ，那么 ab⩽a+b2 ，当且仅当 a=b 时等号成立．
2．利用基本不等式求最值：已知 x>0,y>0 ，则
注意：利用基本不等式求最值的口诀：一正、二定、三相等。
几个重要的不等式：（1）a2+b2⩾2ab(a,b∈R) ；（2）ba+ab⩾2a,b 同号）；（3）ab⩽a+b22⩽a2+b22(a,b∈R) ；（4）a2+b22⩾a+b2⩾ab⩾2aba+b(a>0,b>0) ．以上不等式（组）的等号成立的条件均为 a=b ．
教材素材变式：多维变式，夯基础
1．人 A 必修— P48 习题2．2 第1题变式］已知 x>2 ，则 4x−2+x 的最小值是 ．
变式探究
变式 1 忽视正数的限制已知 x1 ，则函数 g(x)= x2+7x+10x−1 的最小值为 ．
2.［人 B 必脩— P80练习 B 第1题变式］已知 x>1 ， y>0,x+y=2 ，则 (x−1)⋅y 的最大值是 ．
3.［人B 必修—P82习题2—2C第5题变式］设 m ， n∈(0,+∞) ，且 m+2n=1 ，则 1m+2n 的最小值为（）
A． 10
B． 9
C． 8
D． 7
变式探究
变式 1 已知正实数 a,b 满足 2a+4b−ab=0 ，则 a+2b的最小值为 .
4 .［苏教必修—P61习题3．2第2题变式］已知 a> 0,b>0 ，且 ab=1 ，则 1a+1b+4a+b 的最小值是 .
5.［多选］［苏教必修—P61 习题 3.2 第 1 题变式］设正数 x,y 满足 2x+y=1 ，则下列选项正确的是（）
A． 2xy 的最大值为 14
B． 4x2+y2 的最小值为 12
C． 3x(x+2y) 的最大值为 2
D．yx+1y 的最小值为 1+22
6.［人 B 必修—P86复习题 B 组第 14 题变式］已知小李从甲地到乙地的平均速率为 a km/h ，从乙地到甲地的平均速率为 b km/h(a>b>0) ，记他往返甲、乙两地的平均速率为 v km/h ，则（）
A．v=a+b2
B．v=ab
C．ab0，则g(x)=(x−1)2+9(x−1)+18x−1=(x−1)+18x−1+9≥2(x−1)⋅18x−1+9=9+62，当且仅当x−1=18x−1，即x=1+32时取等号。
2.答案：14
解析：由x+y=2，得x−1+y=1，且x−1>0，y>0，则(x−1)⋅y≤x−1+y22=122=14，当且仅当x−1=y=12，即x=32，y=12时取等号。
3.答案：B
解析：1m+2n=(m+2n)1m+2n=1+4+2nm+2mn≥5+22nm⋅2mn=9，当且仅当2nm=2mn，即m=n=13时取等号。
变式1 答案：16
解析：由2a+4b−ab=0，得2b+4a=1，则a+2b=(a+2b)4a+2b=4+4+8ba+2ab≥8+28ba⋅2ab=16，当且仅当8ba=2ab，即a=8，b=2时取等号。
4.答案：4
解析：由ab=1，得1a+1b+4a+b=a+bab+4a+b=(a+b)+4a+b≥2(a+b)⋅4a+b=4，当且仅当a+b=4a+b，即a=b=1时取等号。
5.答案：BD
解析：
A：2x+y=1≥22xy，则2xy≤18，当且仅当2x=y=12时取等号，A错误。
B：4x2+y2=(2x+y)2−4xy=1−4xy≥1−4×18=12，当且仅当2x=y=12时取等号，B正确。
C：3x(x+2y)=3x(1−x)=−3x2+3x，当x=12时，最大值为34，C错误。
D：yx+1y=1−2xx+11−2x=1x−2+11−2x，设t=1−2x∈(0,1)，则1x=21−t，原式=21−t+1t−2=21−t+1t[(1−t)+t]−2=3+2t1−t+1−tt−2≥1+22，当且仅当2t1−t=1−tt时取等号，D正确。
6.答案：D
解析：设甲、乙两地距离为s，则往返平均速率v=2ssa+sb=2aba+b。由a>b>0，得2aba+b0，故b0
C．不等式 bx+c>0 的解集是 {x∣x