数学（徐州卷）-江苏省2025年中考考前最后一卷（含答案）

这是一份数学（徐州卷）-江苏省2025年中考考前最后一卷（含答案），共26页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）数学中有许多精美的曲线．以下是“星形线”“三叶玫瑰线”“阿基米德螺线”和“笛卡尔叶形线”．其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+a2＝a3B．a2•a3＝a6C．（a3）2＝a6D．a6÷a2＝a3
3．（3分）等式ab=a⋅1b成立的条件是（ ）
A．a，b同号B．a≥0，b≥0C．a，b异号D．a≥0，b＞0
4．（3分）如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，此几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）2024年成都世界园艺博览会，是由国家林业和草原局、中国花卉协会、四川省人民政府主办，成都市人民政府承办的B类世界园艺博览会，暑假期间，某校开展了“从世园看世界•与城市共生长”青少年世园研学主题活动．学校为了解同学们园内的参观时间，从参与研学活动的学生中随机调查了40名学生，调查结果列表如下．
则这40名学生参观时间的中位数为（ ）
A．5hB．6hC．7hD．8h
6．（3分）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，F（n）=n2k（其中k是使F（n）为奇数的正整数）．两种运算交替重复进行，例如，取n＝24，则第1次“F”运算为F（24）=2423=3，第2次“F”运算为F（3）＝3×3+1＝10，第3次“F”运算为F（10）=102=5…若n＝13，则第2022次“F”运算的结果为（ ）
A．1B．4C．2021D．42021
7．（3分）六一儿童节，爸爸给乐乐制作了一个圆形飞镖盘（如图），若乐乐每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则乐乐随机投掷一枚飞镖，恰好扎中阴影区域的概率是（ ）
A．18B．14C．38D．13
8．（3分）在一定温度下，某固态物质在100g溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量，叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度，物质的溶解度会随温度的变化而变化，已知硝酸钾和氯化钾的溶解度S（g）与温度T（℃）的关系如图①所示，溶液浓度的计算方法如图②，下列说法正确的是（ ）
A．硝酸钾的溶解度随温度变化的情况没有氯化钾明显
B．当T＝20时，硝酸钾的溶解度大于氯化钾的溶解度
C．当S＝40时，50g氯化钾加入100g水中得到的是饱和氯化钾溶液
D．当T＝50时，100g硝酸钾加入100g水中得到的溶液浓度为50%
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
9．（3分）将27500000用科学记数法表示为 ．
10．（3分）如果一个多边形的内角和等于1440°，则它是 边形．
11．（3分）已知实数x满足等式（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则代数和式（x﹣2023）2的值是 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，3为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交边BC于点E，则劣弧DE的长是 （结果保留π）．
13．（3分）若分式15-x=22-3x，则x＝ ．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，M为BC的中点，将边AB绕点A逆时针旋转，点B落在B'处，连接MB'，BB'，若∠BB'M＝90°，MB'＝5，则BC＝ ．
15．（3分）如果关于x的方程x2﹣23x+k＝0有两个相等的实数根，那么k的值是 ．
16．（3分）将抛物线y＝x2﹣4x﹣2在x轴上方的部分记为M1，在x轴上及其下方的部分记为M2，将M1沿x轴向下翻折得到M3，M2和M3两部分组成的图象记为M．若直线y＝m与M恰有2个交点，则m的取值范围为 ．
17．（3分）圆锥的底面半径为3cm，高为33cm，则圆锥侧面展开图扇形的面积为 cm2．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABOC的边BO在x轴上，顶点A在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，顶点C在反比例函数y=12x（x＞0）的图象上．若tan∠ABO=34，则k的值为 ．
第Ⅲ卷
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）计算：3-8+(12)-1+|1-2|+(-2025)0；
（2）计算：(1x+1+1x-1)⋅x2-1x．
20．（10分）（1）解方程：x2+6x﹣1＝0；（2）解不等式组：6x-5≤72x+1＞3x-12．
21．（7分）某商品博览会在五一节期间举办了“五一不重Yung”的活动，吸引了众多市民前来参观．商品博览会设置了A、B两个安检通道进入场馆内部，又设置了D、E、F三个离场通道．小明和小亮两名同学分别到博览会游玩．
（1）小明从A入口进入商品博览会的概率是 ；
（2）参观结束后，小明和小亮都从D出口走出博览会的概率是多少？（列表或画树状图）
22．（8分）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有A，B两条不同的粽子生产线，A生产线每小时加工粽子400个，B生产线每小时加工粽子500个．
（1）若生产线A，B一共加工11小时，且生产粽子总数量不少于5000个，则B生产线至少加工多少小时？
（2）原计划A，B生产线每天均工作8小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，A生产线每小时比原计划多生产100a个（a＞0），B生产线每小时比原计划多生产100个．若A生产线每天比原计划少工作2a小时，B生产线每天比原计划少工作a小时，这样一天恰好生产粽子6000个，求a的值．
23．（8分）如图，点E为正方形ABCD外一点，连接BE，CE，DE．
（1）如图1，当∠CED＝45°时，求证∠BEC＝45°；
（2）如图2，当∠BEC＝45°时，用等式表示线段BE，CE，DE之间的数量关系，并证明．
24．（6分）《哪吒2》上映后，某影院随机调查了某天部分观众最喜欢的一个角色（每人只选一项）．把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息解决以下问题：
（1）本次调查共抽取了 名观众，其中喜欢哪吒的人数有 名观众；
（2）在扇形统计图中，求喜欢李靖角色对应的圆心角度数；
（3）该电影院当天观看《哪吒2》的观众有2600人，根据调查结果，请你估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有多少？
25．（8分）某数学研究性学习小组，利用课余时间进行测量活动．
根据表格中提供的信息，解决下面的问题（结果保留整数）．
（1）求BC的长；
（2）求小岛△ABC的面积．
（参考数据：sin60.3°≈0.87，cs60.3°≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cs21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40）
26．（9分）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“慧泉”点．例如：点（1，﹣1），（-13，13），（5，-5），…都是“慧泉”点．
（1）判断函数y＝2x﹣3的图象上是否存在“慧泉”点，若存在，求出其“慧泉”点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“慧泉”点（2，﹣2）．
①求a，c的值；
②若﹣1≤x≤n时，函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为-74，求实数n的取值范围．
27．（10分）数学的思考
如图①，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（3，5），试在x轴正半轴上确定点P的位置，使得∠APB最大，并求出此时点P的坐标．
数学的眼光
（1）如图①，请说明∠AP1B＞∠AP2B1；
数学的表达
（2）如图②，根据“垂径定理”，可知圆心C在线段AB的垂直平分线l上，借助直线l的表达式及AC＝PC，可以求出圆心C的坐标，从而得到点P的坐标，请写出具体的过程；
（3）如图③，延长线段BA交x轴于点D，连接BP、AP，当⊙C与DP相切时，通过求DP的长可得到点P的坐标，请写出具体的过程；
（4）如图④，已知线段AB，用尺规在射线MN上作出点P，使得∠APB最大（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．
28．（10分）P为△ABC内一点，连接PA，PB，PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在两个三角形相似，那么称P是△ABC的内相似点．
【概念理解】
（1）如图①，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，P是△ABC的内相似点．直接写出∠BPC的度数．
【深入思考】
（2）如图②，P是△ABC内一点，连接PA，PB，PC，∠BPC＝2∠BAC，从下面①②③中选择一个作为条件，使P是△ABC的内相似点，并给出证明．
①∠BAP＝∠ACP；②∠APB＝∠APC；③AP2＝BP•CP．
【拓展延伸】
（3）如图③，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＞∠C．求作一点P，使P是△ABC的内相似点．要求：①尺规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
参观时间/h
5
6
7
8
人数
9
13
12
6
活动主题
测量小岛的面积
测量工具
皮尺、测角仪等
活动过程
如图，湖中有一小岛用△ABC表示，∠ABC＝90°．数学小组的同学先在湖岸边取点D，使点C，B，D在同一条直线上；再过点D作GH⊥CD，在GH上取点E，用皮尺测得DE的长为24米，在点E处用测角仪测得∠CEG＝60.3°，∠BEG＝45°，∠AEG＝21.8°
参考答案
一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
故选：A．
2．C
【分析】根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a与a2不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
B、a2•a3＝a5，故此选项不符合题意；
C、（a3）2＝a6，故此选项符合题意；
D、a6÷a2＝a4，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．D
【分析】根据二次根式有意义的条件解答即可．
【解答】解：∵ab=a⋅1b
∴根据二次根式的非负性可知，a≥0，b≥0，由于b在分母上，
故b＞0．
故选：D．
4．C
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：此几何体的俯视图是：
．
故选：C．
5．B
【分析】将这组数据按照从小到大的顺序排列，则中间两个数据是第20和第21个数据，这两个数的平均数就是这组数据的中位数．
【解答】解：将数据按照从小到大的顺序排列，
第20个数据是6，第21个数据是6，
所以中位数是：（6+6）÷2＝6，
故选：B．
6．A
【分析】根据定义进行计算，发现其曾周期性变化即可解决．
【解答】解：当n＝13时，
第一次：F（13）＝3×13+1＝40；
第二次：F（40）=4023=5；
第三次：F（5）＝3×5+1＝16；
第四次：F（16）=1624=1；
第五次：F（1）＝3×1+1＝4；
第六次：F（4）=422=1；
第七次：F（1）＝3×1+1＝4；
...．
故从第四次开始曾周期性变化，次数为奇数时结果为4，次数为偶数时结果为1，
则第2022次“F”运算的结果为：1，
故答案选：A．
7．C
【分析】由题意知，阴影部分的面积占圆面积的38，即恰好扎中阴影区域的概率是38．
【解答】解：由题意知，阴影部分的面积占圆面积的38，
∴恰好扎中阴影区域的概率是38，
故选：C．
8．C
【分析】根据硝酸钾和氯化钾的溶解度S（g）与温度T（℃）的关系如图①所示，溶液浓度的计算方法如图②，即可一一判定．
【解答】解：A．由图可知：硝酸钾的溶解度随温度变化的情况比氯化钾的明显，故该选项错误，不符合题意；
B．由图可知：当T＝20时，硝酸钾的溶解度等于氯化钾的溶解度，故该选项错误，不符合题意；
C．由图可知：当S＝40时，100g水中只能溶解40g氯化钾，
故50g氯化钾加入100g水中得到的是饱和氯化钾溶液，
故该选项正确，符合题意；
D．由图可知：当T＝50时，硝酸钾的溶解度为90g，∴100g水中只能溶解90g硝酸钾，
此时得到的溶液浓度为：9090+10×100%≈47%≠50%，
故该选项错误，不符合题意；
故选：C．
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
9．（3分）将27500000用科学记数法表示为 2.75×107 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：27500000＝2.75×107
故答案为：2.75×107．
10．（3分）如果一个多边形的内角和等于1440°，则它是 十 边形．
【分析】根据多边形内角和等于180°×（n﹣2），列出方程解答即可．
【解答】解：设该多边形为n边形，
则180°×（n﹣2）＝1440°，
解得：n＝10，
故答案为：十．
11．（3分）已知实数x满足等式（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则代数和式（x﹣2023）2的值是 13 ．
【分析】将原式变形为[（x﹣2023）+2]2+[（x﹣2023）﹣2]2＝34，利用完全平方公式展开后即可求得答案．
【解答】解：∵（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，
∴[（x﹣2023）+2]2+[（x﹣2023）﹣2]2＝34，
∴（x﹣2023）2+4（x﹣2023）+4+（x﹣2023）2﹣4（x﹣2023）+4＝34，
则2（x﹣2023）2+8＝34，
则（x﹣2023）2＝13，
故答案为：13．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，3为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交边BC于点E，则劣弧DE的长是 32π （结果保留π）．
【分析】连接OD，OE，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠A＝∠COE，再根据切线的性质和平角的定义可得∠DOE＝90°，然后利用弧长公式进行计算即可解答．
【解答】解：如图，连接OD，OE，
∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠OEC，
∴AB∥OE，
∴∠BDO+∠DOE＝180°，
∵AB是切线，
∴∠BDO＝90°，
∴∠DOE＝180°﹣∠BDO＝90°，
∴劣弧DE的长是90π×3180=32π．
故答案为：32π．
13．（3分）若分式15-x=22-3x，则x＝ ﹣8 ．
【分析】利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【解答】解：2﹣3x＝2（5﹣x），
2﹣3x＝10﹣2x，
2x﹣3x＝10﹣2，
﹣x＝8，
x＝﹣8，
经检验x＝8是分式方程的解．
故答案为：﹣8．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，M为BC的中点，将边AB绕点A逆时针旋转，点B落在B'处，连接MB'，BB'，若∠BB'M＝90°，MB'＝5，则BC＝ 105 ．
【分析】如图，过A作AQ⊥BB'于Q，∠BB'M＝90°，证明△ABQ≌△BMB'，而MB'＝5，可得BQ＝B'M＝5＝B'Q，即BB'＝10，再利用勾股定理可得答案．
【解答】解：如图，过A作AQ⊥BB'于Q，∠BB'M＝90°，
∴∠AQB＝∠BB'M＝90°，
∴∠B'BM+∠BMB'＝90°，
由旋转可得：AB＝AB'，BQ＝B'Q，
∵BC＝2AB，M为BC的中点，
∴AB＝BM＝MC，
∵ABCD是矩形，
∴∠ABQ+∠B'BM＝90°，
∴∠ABQ＝∠BMB'，
∴△ABQ≌△BMB'（AAS），
而MB′＝5，
∴BQ＝B'M＝5＝B'Q，即BB'＝10，
∴BM=52+102=55，
∴BC=2BM=105，
故答案为：105．
15．（3分）如果关于x的方程x2﹣23x+k＝0有两个相等的实数根，那么k的值是 3 ．
【分析】关于x的方程x2﹣23x+k＝0有两个相等的实数根，即Δ＝b2﹣4ac＝0，代入即可求k值
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣23x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣23）2﹣4×k＝0，
解得k＝3
故答案为：3．
16．（3分）将抛物线y＝x2﹣4x﹣2在x轴上方的部分记为M1，在x轴上及其下方的部分记为M2，将M1沿x轴向下翻折得到M3，M2和M3两部分组成的图象记为M．若直线y＝m与M恰有2个交点，则m的取值范围为 m＝0或m＜﹣6 ．
【分析】根据抛物线y＝x2﹣4x﹣2的顶点A的坐标为（2，﹣6），画出该函数的图象，并将x上方的部分进行翻折得到的图象M，结合图象再根据直线y＝m与M恰有2个交点即可得出答案．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x﹣2＝（x﹣2）2﹣6，
∴抛物线y＝x2﹣4x﹣2的顶点A的坐标为（2，﹣6），
依题意，翻折后得到的图象M，如图所示：
∵直线y＝m与M恰有2个交点，
∴m＝0或m＜6．
过答案为：m＝0或m＜﹣6．
17．（3分）圆锥的底面半径为3cm，高为33cm，则圆锥侧面展开图扇形的面积为 18π cm2．
【分析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算圆锥的侧面展开图扇形的面积．
【解答】解：圆锥的母线长=32+(33)2=6（cm），
所以圆锥的侧面展开图扇形的面积＝π×3×6＝18π（cm2）．
故答案为：18π．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABOC的边BO在x轴上，顶点A在反比例函数y=kx（x＜0）的图象上，顶点C在反比例函数y=12x（x＞0）的图象上．若tan∠ABO=34，则k的值为 ﹣3 ．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数k值的几何意义解答即可．
【解答】解：设AC交y轴于点E，连接AO，
∵四边形ABOC是菱形，
∴∠ABO＝∠OCA，
∵tan∠ABO=34，
∴tan∠OCA=34，
设OE＝3x，CE＝4x，
∵12OE⋅CE=12×12，
∴12×3x×4x=12×12，
解得x＝1（已舍去负值），
∴AC＝OC=32+42=5，
∴S△AOE＝S△AOC﹣S△COE=12×5×3-6=32，
∴|k|＝2S△AOE＝3，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k＝﹣3．
故答案为：﹣3．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．
【分析】（1）先根据立方根、负整数指数幂、绝对值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可；
（2）先算括号里面的，再约分即可．
【解答】解：（1）3-8+(12)-1+|1-2|+(-2025)0
＝﹣2+2+2-1+1
=2；
（2）(1x+1+1x-1)⋅x2-1x
=x-1+x+1x2-1⋅x2-1x
＝2．
20．
【分析】（1）用配方法解方程即可；
（2）求出每个不等式的解集，再找公共解集即可．
【解答】解：（1）∵x2+6x﹣1＝0，
∴（x+3）2＝10，
∴x+3=10或x+3=-10，
∴x1=10-3，x2=-10-3；
（2）解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
21．
【分析】（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中小明从A入口进入商品博览会的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小亮都从D出口走出博览会的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中小明从A入口进入商品博览会的结果有1种，
∴小明从A入口进入商品博览会的概率是12．
故答案为：12．
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小亮都从D出口走出博览会的结果有1种，
∴小明和小亮都从D出口走出博览会的概率为19．
22．
【分析】（1）设B生产线加工x小时，则A生产线加工（11﹣x）小时，利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合工作总量不少于5000个，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论；
（2）利用工作总量＝工作效率×工作时间，可列出关于a的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设B生产线加工x小时，则A生产线加工（11﹣x）小时，
根据题意得：400（11﹣x）+500x≥5000，
解得：x≥6，
∴x的最小值为6．
答：B生产线至少加工6小时；
（2）根据题意得：（400+100a）（8﹣2a）+（500+100）（8﹣a）＝6000，
整理得：a2+3a﹣10＝0，
解得：a1＝2，a2＝﹣5（不符合题意，舍去）．
答：a的值为2．
23．
【分析】（1）由“SAS”可证△BCE≌△DCH，即可求解；
（2）由“SAS”可证△BCH≌△DCE，可得DE＝CH，即可求解．
【解答】（1）证明：如图1，过点C作CH⊥CE交ED的延长线于H，
∴∠ECH＝90°＝∠BCD，
∴∠ECB＝∠HCD，
∵∠CED＝45°，
∴∠H＝45°＝∠CED，
∴CE＝CH，
又∵BC＝DC，
∴△BCE≌△DCH（SAS），
∴∠H＝∠BEC＝45°；
（2）解：DE+BE=2CE，理由如下：
过点C作CH⊥CE，交EB的延长线于H，
∴∠ECH＝90°＝∠BCD，
∴∠ECD＝∠HCB，
∵∠BEC＝45°，
∴∠CEB＝∠H＝45°，
∴CE＝CH，EH=2CE，
又∵BC＝DC，
∴△BCH≌△DCE（SAS），
∴CH＝DE，
∴DE+BE=2CE．
24．
【分析】（1）根据喜欢敖丙的人数除以占比即可得出样本的容量，进而求出喜欢哪吒的人数；
（2）根据喜欢李靖角色对应的百分比乘以乘以360°即可求解；
（3）用样本估计总体，用观众总人数2600乘以喜欢哪吒和敖丙的观众的占比即可求解．
【解答】解：（1）本次调查的观众共有45÷30%＝150（人），
喜欢哪吒的人数为150×40%＝60（人），
故答案为：150，60；
（2）∵360°×30150=72°；
∴喜欢李靖角色对应的圆心角度数为72°；
（3）∵2600×60+45150=1820（人），
∴估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有1820人．
25．
【分析】（1）根据题意得tan∠CEG=tan60.3°=CDDE≈1.75，即可确定CD长度，再由∠BEG＝45°得出BD＝DE＝24米，即可求解；
（2）过点A作AM⊥GH于点M，继续利用正切函数确定AB＝MD＝36米，即可求解面积．
【解答】解：（1）由题意可得：tan∠CEG=tan60.3°=CDDE≈1.75，
∴CD＝42米；
∵∠BEG＝45°，
∴BD＝DE＝24米，
∴BC＝CD﹣BD＝18米；
（2）过点A作AM⊥GH于点M，如图所示：
∵∠AEG＝21.8°，
∴tan∠AEG=tan21.8°=AMME≈0.4，
∵AM＝BD＝24米，
∴ME＝60米，
∴AB＝MD＝60﹣24＝36米，
∴小岛△ABC的面积为：12×36×18=324（平方米）．
26．
【分析】（1）“慧泉”点的定义得到﹣x＝2x﹣3，解得x＝1，即可得到其“慧泉”点的坐标为（1，﹣1）；
（2）①根据“慧泉”点定义得到x＝ax2+3x+c，即ax2+4x+c＝0，由二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“慧泉”点以及，点（2，﹣2）在函数y＝ax2+3x+c图象上，即可得到Δ=42-4ac=04a+6+c=-2，解方程组即可求得a、c的值；
②由①可知二次函数为y＝﹣x2+3x﹣4，根据二次函数的性质即可得到当x=32时，函数有最大值为-74，而x＝﹣1时，y＝﹣8，由﹣1≤x≤n时，函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为-74，即可求得实数n的取值范围是32≤n≤4．
【解答】解：（1）函数y＝2x﹣3的图象上存在“慧泉”点，
根据题意﹣x＝2x﹣3，解得x＝1，
故其“慧泉”点的坐标为（1，﹣1）；
（2）①∵二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有“慧泉”点，
∴﹣x＝ax2+3x+c，即ax2+4x+c＝0，
∵二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“慧泉”点（2，﹣2）．
∴Δ=42-4ac=04a+6+c=-2，
解得a＝﹣1，c＝﹣4；
②∵a＝﹣1，c＝﹣4，
∴二次函数为y＝﹣x2+3x﹣4，
∴x＝﹣1时，y＝﹣1﹣3﹣4＝﹣8，
∵y＝﹣x2+3x﹣4＝﹣（x-32）2-74，
∴对称轴为直线x=32，
∴当x=32时，函数有最大值为-74，
∵若﹣1≤x≤n时，函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为-74，
∴实数n的取值范围是32≤n≤4．
27．
【分析】（1）连接BD，根据外角的性质，得到∠ADB＝∠DBP2+∠P2，即可解答．
（2）设点C（a，﹣a+5），求出AC，根据AC＝PC，列出等式，即可解答．
（3）连接PC并延长，交⊙C于点E，连接AE，证明△PDA∽△BDP，求出PO，即可解答．
（4）有三种作法，方法一：根据第（3）问，可知c2＝a•b，则在图中构造c=ab；方法二：思路如上，构造位似图形；方法三：DP2＝DA•DB＝（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2＝c2．
【解答】解：（1）如图，连接BD，
∴∠P1＝∠ADB
∵∠ADB是△BDP2的外角，
∴∠ADB＝∠DBP2+∠P2，
∴∠ADB＞∠P2，
∴∠P1＞∠P2；
（2）直线l的表达式为y＝﹣x+5，
∵点C在直线l上，
设点C（a，﹣a+5），
∴AC=a2+(-a+5-2)2=a2+(a-3)2，PC＝﹣a+5．
∵AC＝PC，
∴a2+(a-3)2=-a+5，
∴a2+4a﹣16＝0，
解得a1=25-2，a2=-25-2（不合题意，舍去），
∴P点坐标为(25-2，0)；
（3）连接PC并延长，交⊙C于点E，连接AE，如图，
∵PE是⊙C直径，
∴∠PAE＝90°，
∴∠E+∠EPA＝90°，
∵⊙C与x轴相切于点P，
∴PC⊥x轴，
∴∠APD+∠EPA＝90°，
∴∠E＝∠APD，
又∵∠E＝∠B，
∴∠APD＝∠B，
∵∠PDA＝∠BDP，
∴△PDA∽△BDP，
∴PD2＝DA•DB，
∵A（0，2）、B（3，5），
∴AD=22，BD=52，
∴PD2=DA⋅DB=22×52=20，即PD=25，
∴PO=PD-DO=25-2，
∴P点的坐标为(25-2，0)；
（4）提供三种作法如下：
方法一：
根据第（3）问，可知c2＝a•b，则在图中构造c=ab；
方法二：
思路如上，构造位似图形；
方法三：
DP2＝DA•DB＝（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2＝c2．
28．
【分析】（1）分为△ABP∽△BCP或△ABP∽△CAP或△ABP∽△CAP时，可推出∠BCP+∠CBP＝∠ABP+∠CBP＝60°，进而求得∠BPC的值，另外两种情形同理可得出结果；
（2）选①：设∠BAC＝α，则∠BPC＝2α，可推出∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝360°﹣2α﹣（180°﹣α）＝180°﹣α，从而∠PAB＝∠APC，进而得出结论；
（3）作法：①作AC垂直平分线MN，交AC于点D，②连接BD，作△BCD的外接圆O，③作直径DE，连接AE，交⊙O于点P，可得出BD＝CD＝AD，从而∠ABD＝∠BAC，BD=CD，进而推出∠BPE＝∠CPE，∠APB＝∠APC，进而得出∠ABP＝∠PAC，从而得出△ABP∽△CAP，进而得出结论．
【解答】（1）解：如图1，
当△ABP∽△BCP时，
∠ABP＝∠BCP，
∴∠BCP+∠CBP＝∠ABP+∠CBP＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°，
当△ABP∽△CAP时，
同理可得：∠APC＝∠APB＝110°，
∴∠BPC＝360°﹣2×110°＝140°，
当△ACP∽△CBP时，
可得∠BPC＝180°﹣50°＝130°，
综上所述：∠BPC＝120°或140°或130°；
（2）选①：∠BAP＝∠ACP，此时△BAP∽△ACP，理由如下：
设∠BAC＝α，则∠BPC＝2α，
∵∠BAP＝∠ACP，
∴∠ACP+∠PAC＝∠BAP+∠PAC＝∠BAC＝α，
∴∠APC＝180°﹣（∠ACP+∠PAC＝180°﹣α，
∴∠APB＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝360°﹣2α﹣（180°﹣α）＝180°﹣α，
∴∠APB＝∠APC，
∴△BAP∽△ACP，
∴点P是△ABC的内相似点；
（3）如图2，
①作AC垂直平分线MN，交AC于点D，
②连接BD，作△BCD的外接圆O，
③作直径DE，连接AE，交⊙O于点P，
则点P就是求得的图形，
理由如下：
∵MN是AC得垂直平分线，
∴点D是AC得中点，
∵∠ABC＝90°，
∴BD＝CD＝AD，
∴∠ABD＝∠BAC，BD=CD，
∴∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝2∠BAC，DE⊥BC，
∴∠BPC＝∠BDC＝2∠BAC，BE=CE，
∴∠BPE＝∠CPE，
∴∠APB＝∠APC，
∵∠BPE＝∠BAP+∠ABP，∠BAD＝∠BAP+∠CAP，
∴∠ABP＝∠PAC，
∴△ABP∽△CAP，
∴P是△ABC的内相似点．