数学（江苏无锡卷）2023年中考考前最后一卷（全解全析）

这是一份数学（江苏无锡卷）2023年中考考前最后一卷（全解全析），共28页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年中考考前最后一卷【江苏无锡卷】
数学·全解全析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
B
A
D
C
C
B
A
C
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.）
1．化简﹣[﹣（﹣4）]的结果是（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣ D．
【思路点拨】根据相反数，即可解答．
【规范解答】解：﹣[﹣（﹣4）]＝﹣（+4）＝﹣4，故选：A．
【考点剖析】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数．
2．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≤﹣1
【思路点拨】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列式计算即可．
【规范解答】解：由题意得，x+1≥0，1+x≠0，解得，x＞﹣1，故选：B．
【考点剖析】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0是解题的关键．
3．下列计算正确的是（　　）
A．a2•a4＝a8 B．（a2）2＝a4 C．（2a）3＝2a3 D．a10÷a2＝a5
【思路点拨】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
【规范解答】解：A、a2•a4＝a6，故A不符合题意；
B、（a2）2＝a4，故B符合题意；
C、（2a）3＝8a3，故C不符合题意；
D、a10÷a2＝a8，故D不符合题意；
故选：B．
【考点剖析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
4．在今年的体育考试中，某校甲、乙、丙和丁四个班级的平均分相等，方差分别为：S甲2＝10，S乙2＝25，S丙2＝20，S丁2＝15，则四个班体育考试成绩最整齐的是（　　）
A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班
【思路点拨】根据四个班的平均分相等结合给定的方差值，即可找出成绩最稳定的班级．
【规范解答】解：∵甲、乙、丙和丁四个班级的平均分相等，方差分别为：S甲2＝10，S乙2＝25，S丙2＝20，S丁2＝15，且10＜15＜20＜25，
∴甲班体育考试成绩最整齐．
故选：A．
【考点剖析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5．如果x＝2是关于x的方程2x﹣a＝6的解，那么a的值是（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【思路点拨】把x＝2代入方2x﹣a＝6得出4﹣a＝6，求出方程的解即可．
【规范解答】解：把x＝2代入方程2x﹣a＝6得：4﹣a＝6，
解得：a＝﹣2，
故选：D．
【考点剖析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
6．把一张有一组对边平行的纸条，按如图所示的方式折叠，若∠EFB＝35°，则下列结论错误的是（　　）

A．∠CEF＝35° B．∠BGE＝70° C．∠BFD＝110° D．∠AEC＝120°
【思路点拨】根据平行线的性质即可求解．
【规范解答】解：A．∵AE∥BF，
∴∠C'EF＝∠EFB＝35°（两直线平行，内错角相等），
由折叠性质可得：∠CEF＝∠C'EF＝35°，
故A选项不符合题意；
B．∵AE∥BF，
∴∠C'EF＝∠EFB＝35°，
由折叠可得：∠C'EF＝∠FEG＝35°，
∵∠BGE＝∠FEG+∠EFB＝35°+35°＝70°，
故B选项不符合题意；
C．∵AE∥BF，
∴∠EGF＝∠AEC＝110°（两直线平行，内错角相等），
∵EC∥FD，
∴∠BFD＝∠EGF＝110°（两直线平行，内错角相等），
故C选项不符合题意；
D∵纸条按如图所示的方式析叠，
∴∠FEG＝∠C'EF＝35°，
∴∠AEC＝180°﹣∠FEG﹣∠C'EF＝180°﹣35°﹣35°＝110°，
故D选项符合题意；
故选：D．
【考点剖析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
7．如图，点C为扇形OBA的半径OB上一点，将△AOC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且：＝3：1，若此扇形OAB的面积为，则的长为（　　）

A． B． C． D．
【思路点拨】连接OD，能得∠AOB的度数，再利用弧长公式和扇形面积公式可求解．
【规范解答】解：连接OD交AC于M．

由折叠的知识可得：OM＝OA，∠OMA＝90°，
∴∠OAM＝30°，
∴∠AOM＝60°，
∵：＝3：1，
∴∠AOB＝80°
设扇形的半径为r，
∴＝，
∴r＝4（负值已舍去），
∴＝＝π．
故选：C．
【考点剖析】本题运用了弧长公式弧长公式和扇形面积公式，轴对称的性质，关键是熟记弧长公式和扇形面积公式．
8．已知反比例函数y＝（k＜0）的图象经过点A（a，﹣1），B（b，3），则a与b的关系正确的是（　　）
A．a＜b B．a＞b C．a＝b D．a＝﹣b
【思路点拨】利用反比例函数的性质可判断a和b的大小关系，可求得答案．
【规范解答】解：∵k＜0，
∴反比例函数图象在二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，
∴点A（a，﹣1）在第四象限，点B（b，3）在第二象限，
∴a＞0，b＜0，
∴a＞b，
故选：B．
【考点剖析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标图象，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
9．当直线y＝kx+2与函数y＝的图象至少有两个公共点时，关于k的不等式a（k﹣2）﹣k＞0有解，则实数a的取值范围是（　　）
A．﹣1＜a＜ B．a＜﹣1 C．a＜ D．a＞﹣1
【思路点拨】当直线y＝kx+2与函数y＝（x＞0）相切时，直线y＝kx+2与函数y＝的图象至少有两个公共点，直线y＝kx+2与函数y＝﹣（x＜0）相切时，直线y＝kx+2与函数y＝的图象至少有两个公共点，通过解方程求得k的值，即可求得符合题意的k的取值，然后解不等式即可求解．
【规范解答】解：当直线y＝kx+2与函数y＝（x＞0）相切时，直线y＝kx+2与函数y＝的图象至少有两个公共点
故令kx+2＝（x＞0），
整理得，kx2+2x﹣1＝0，
令△＝22﹣4k•（﹣1）＝0，解得k＝﹣1；
直线y＝kx+2与函数y＝﹣（x＜0）相切时，直线y＝kx+2与函数y＝的图象至少有两个公共点
故令kx+2＝﹣（x＜0），
整理得，kx2+2x+1＝0，
令△＝22﹣4k＝0，解得k＝1；
∴﹣1≤k≤1，
∴﹣3≤k﹣2≤﹣1，
∵a（k﹣2）﹣k＞0，
∴﹣1＜a＜；
故选：A．

【考点剖析】本题考是反比例函数与一次函数的交点问题，方程与函数解析式的关系，求得k的取值是解题的关键．
10．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED，正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】根据矩形的性质求出OA＝OC＝OD，求出∠ADB＝30°，求出∠ABO＝60°，得出等边三角形AOB，求出AB＝BO＝AO＝OD＝OC＝DC，推出BF＝AB，求出∠H＝∠CAH＝15°，求出DE＝EO，根据以上结论推出即可．
【规范解答】解：∵∠AFC＝135°，CF与AH不垂直，
∴点F不是AH的中点，即AF≠FH，
∴①错误；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AD＝，AB＝1，
∴tan∠ADB＝＝，
∴∠ADB＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC＝BD，AC＝2AO，BD＝2BO，
∴AO＝BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝BO，∠AOB＝∠BAO＝60°＝∠COE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFB，
∴∠BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
∵AB＝BO，
∴BF＝BO，∴②正确；
∵∠BAO＝60°，∠BAF＝45°，
∴∠CAH＝15°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEO＝90°，
∵∠EOC＝60°，
∴∠ECO＝30°，
∴∠H＝∠ECO﹣∠CAH＝30°﹣15°＝15°＝∠CAH，
∴AC＝CH，
∴③正确；
∵△AOB是等边三角形，
∴AO＝OB＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，
∴DC＝OC＝OD，
∵CE⊥BD，
∴DE＝EO＝DO＝BD，
即BE＝3ED，∴④正确；
即正确的有3个，
故选：C．

【考点剖析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，角平分线定义，定义三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的综合运用，难度偏大，对学生提出较高的要求．
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.）
11．因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝　x（x﹣y）2　．
【思路点拨】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【规范解答】解：原式＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2，
故答案为：x（x﹣y）2
【考点剖析】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．若有意义，则x的取值范围为　x≤且x≠﹣1　．
【思路点拨】利用二次根式有意义的条件可得1﹣2x≥0，再利用分式有意义的条件可得x+1≠0，再解即可．
【规范解答】解：由题意得：1﹣2x≥0，且x+1≠0，
解得：x≤且x≠﹣1，
故答案为：x≤且x≠﹣1．
【考点剖析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．
13．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆的半径为3，则圆锥的母线l＝　9　．

【思路点拨】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【规范解答】解：圆锥的底面周长＝2π×3＝6πcm，
则：＝6π，
解得l＝9．
故答案为：9．
【考点剖析】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：．
14．请写出一个开口向下，且与y轴的交点坐标为（0，﹣3）的抛物线的解析式 　y＝﹣x2﹣3（答案不唯一）　．
【思路点拨】设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），根据二次函数图象的开口方向及与y轴的交点坐标，可得出a＜0，c＝﹣3，取a＝﹣1，b＝0即可得出结论（答案不唯一）．
【规范解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
∵二次函数的图象开口向下，与y轴的交点坐标为（0，﹣3），
∴a＜0，c＝﹣3，
∴二次函数的解析式可以为y＝﹣x2﹣3．
故答案为：y＝﹣x2﹣3（答案不唯一）．
【考点剖析】本题考查了二次函数的性质，牢记二次函数a＜0时开口向下，c为图象与y轴交点的纵坐标解题的关键．
15．某楼盘2016年房价为每平方米10000元，经过两年连续涨价后，2018年房价为每平方米12100元．设该楼盘这两年平均每年房价上涨的百分率为x，根据题意可列方程为　10000（1+x）2＝12100　．
【思路点拨】设该楼盘这两年平均每年房价上涨的百分率为x，根据该楼盘2016及2018年的房价，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【规范解答】解：设该楼盘这两年平均每年房价上涨的百分率为x，
根据题意得：10000（1+x）2＝12100．
故答案为：10000（1+x）2＝12100．
【考点剖析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．如图⊙O中，∠BAC＝74°，则∠BOC＝　148°　．

【思路点拨】直接利用圆周角定理求解．
【规范解答】解：∠BOC＝2∠BAC＝2×74°＝148°．
故答案为148°．
【考点剖析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
17．已知一平面直角坐标系内有点A（﹣4，3），点B（1，3），点C（﹣2，5），若在该坐标系内存在一点D，使CD∥y轴，且S△ABD＝10，点D的坐标为　（﹣2，7）或（﹣2，﹣1）　．
【思路点拨】将点A（﹣4，3），点B（1，3），点C（﹣2，5）的坐标在平面直角坐标系中标出来，由点A和点B的坐标可知，AB∥x轴，从而可求得AB的长；再由点C的坐标及CD∥y轴，可知点D的横坐标，设点D的纵坐标为m；然后根据S△ABD＝10，可得关于m的方程，解得m的值即可．
【规范解答】解：将点A（﹣4，3），点B（1，3），点C（﹣2，5）的坐标在平面直角坐标系中标出来，如图所示：

∵点A（﹣4，3），点B（1，3），
∴AB∥x轴，
∴AB＝1﹣（﹣4）＝5，
∵点C（﹣2，5），CD∥y轴，
∴点D的横坐标为﹣2，设点D的纵坐标为m，
∵S△ABD＝10，
∴×5×|m﹣3|＝10，
∴|m﹣3|＝4，
∴m＝7或m＝﹣1．
∴点D的坐标为（﹣2，7）或（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，7）或（﹣2，﹣1）．
【考点剖析】本题考查了平面直角坐标系中的坐标与图形的性质，明确平面直角坐标系中点的坐标特点并数形结合是解题的关键．
18．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝S△FGH；④AG+DF＝FG．其中正确的是 　①③④　．（把所有正确结论的序号都选上）

【思路点拨】利用折叠性质得∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，BF＝BC＝10，BH＝BA＝6，AG＝GH，则可得到∠EBG＝∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt△ABF中利用勾股定理计算出AF＝8，则DF＝AD﹣AF＝2，设AG＝x，则GH＝x，GF＝8﹣x，HF＝BF﹣BH＝4，利用勾股定理得到x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，所以AG＝3，GF＝5，于是可对④进行判断；接着证明△ABF∽△DFE，利用相似比得到＝＝，而 ＝＝2，所以≠，所以△DEF与△ABG不相似，于是可对②进行判断；分别计算S△ABG和S△GHF可对③进行判断．
【规范解答】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，
将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，BF＝BC＝10，BH＝BA＝6，AG＝GH，
∴∠EBG＝∠EBF+∠FBG＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝45°，所以①正确；
在Rt△ABF中，AF＝＝＝8，
∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝2，
设AG＝x，则GH＝x，GF＝8﹣x，HF＝BF﹣BH＝10﹣6＝4，
在Rt△GFH中，
∵GH2+HF2＝GF2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴GF＝5，
∴AG+DF＝FG＝5，所以④正确；
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处
∴∠BFE＝∠C＝90°，
∴∠EFD+∠AFB＝90°，
而∠AFB+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠EFD，
∴△ABF∽△DFE，
∴＝，
∴＝＝＝，
而 ＝＝2，
∴≠，
∴△DEF与△ABG不相似；所以②错误．
∵S△ABG＝×6×3＝9，S△GHF＝×3×4＝6，
∴S△ABG＝S△FGH．所以③正确．
故答案为：①③④．
【考点剖析】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了折叠和矩形的性质．
三、解答题：（本大题共10个小题，共96分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤。
19．（8分）（1）计算：；
（2）化简：．
【思路点拨】（1）先算算术平方根、立方根、负整数指数幂，再算加减即可；
（2）先通分算括号内的，将除化为乘，再分解因式约分即可．
【规范解答】解：（1）原式＝2﹣2+
＝；
（2）原式＝÷
＝•
＝x﹣1．
【考点剖析】本题考查实数运算及分式的运算，解题的关键是掌握实数运算、分式运算的相关法则．
20．（8分）解答下列各题．
（1）解不等式组：．
（2）解方程：3x2﹣x﹣1＝0．
【思路点拨】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集；
（2）利用公式法求解即可．
【规范解答】解：（1）解不等式6x﹣2＞2（x﹣4），得：x＞﹣，
解不等式﹣≤﹣，得：x≤1，
则不等式组的解集为﹣＜x≤1；
（2）∵a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴△＝（﹣1）2﹣4×3×（﹣1）＝13＞0，
则x＝＝，
即x1＝，x2＝．
【考点剖析】本题主要考查解一元一次不等式组和一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21．（10分）已知，如图在△ABC中，AD、BE分别是BC，AC边上的高，AD、BE交于H，DA＝DB，BH＝AC，点F为BH的中点，DC＝DF．
（1）求证：△ADC≌△BDH；
（2）求证：∠ABE＝15°．

【思路点拨】（1）由AD⊥BC，得∠ADC＝∠BDH＝90°，即可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△ADC≌Rt△BDH；
（2）由点F为BH的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得DF＝HF＝BH，而DC＝DH，DC＝DF，即可推导出DH＝HF＝DF，则∠DHB＝60°，所以∠DBH＝30°，由等腰直角三角形的性质得∠ABD＝∠BAD＝45°，则∠ABE＝∠ABD﹣∠DBH＝15°．
【规范解答】证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠BDH＝90°，
在Rt△ADC和Rt△BDH中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△BDH（HL）．
（2）∵∠BDH＝90°，点F为BH的中点，
∴DF＝HF＝BH，
∵Rt△ADC≌Rt△BDH，
∴DC＝DH，
∵DC＝DF，
∴DH＝HF＝DF，
∴∠DHB＝60°，
∴∠DBH＝30°，
∵DA＝DB，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴∠ABE＝∠ABD﹣∠DBH＝15°．
【考点剖析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、直角三角形的两个锐角互余等知识，证明Rt△ADC≌Rt△BDH是解题的关键．
22．（10分）“垃圾分类”进校园，锦江教育出实招．锦江区编写小学生《垃圾分类校本实施指导手册》，给同学们介绍垃圾分类科学知识，要求大家将垃圾按A，B，C，D四类分别装袋投放．其中A类指有害垃圾，B类指厨余垃圾，C类指可回收垃圾，D类指其他垃圾．小明和小亮各有一袋垃圾，需投放到小区如图所示的垃圾桶．
（1）“小明投放的垃圾恰好是有害垃圾”这一事件是 　③　.（请将正确答案的序号填写在横线上）
①必然事件
②不可能事件
③随机事件
（2）请用列表或画树状图的方法，求小明与小亮投放的垃圾是同类垃圾的概率．

【思路点拨】（1）根据随机事件和必然事件及不可能事件的概念求解即可；
（2）首先利用树状图法得出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【规范解答】解：（1）（1）“小明投放的垃圾恰好是有害垃圾”这一事件是③，
故答案为：③．
（2）画树状图如图所示：

由图可知，共有16种等可能结果，其中小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的结果有4种，
∴小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的概率为＝．
【考点剖析】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，正确画出树状图．
23．（10分）某学校七年级举行“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”为主题的一分钟跳绳大赛，校团委组织了全级900名学生参加．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中100名学生的成绩作为样本进行统计，制成如图不完整的统计图表．根据所给信息，解答下列问题：
成绩x（分）
频数（人）
频率
50≤x＜60
5
5%
60≤x＜70
15
15%
70≤x＜80
20
20%
80≤x＜90
m
35%
90≤x≤100
25
n
（1）m＝　35　，n＝　25%　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若成绩在80分以上（包括80分）为“优”，请你估计该校七年级参加本次比赛的900名学生中成绩是“优”的有多少人．

【思路点拨】（1）根据频数分布表中的数据，可以得到m和n的值；
（2）根据（1）中m的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布表中的数据，可以计算出该校七年级参加本次比赛的90名学生中成绩是“优”的有多少人．
【规范解答】解：（1）m＝100×35%＝35，n＝1﹣5%﹣15%﹣20%﹣35%＝25%，
故答案为：35，25%；
（2）由（1）知，m＝35，
补全的频数分布直方图如图所示；

（3）900×（35%+25%）＝900×60%＝540（人），
答：估计该校七年级参加本次比赛的900名学生中成绩是“优”的有540人．
【考点剖析】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（10分）在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，P为AC延长线上一点，且，连接BE．
（1）求证：BP是⊙O的切线；
（2）若，AB＝15，求BE的长．

【思路点拨】（1）连接AD，由圆周角定理得出∠ADB＝90°，由等腰三角形的性质得出，可得出∠PBC＝∠BAD，证得AB⊥BP，则可得出结论；
（2）由锐角三角函数的概念得出BD＝3，由勾股定理求出AD＝6，由等腰三角形的性质得出BC＝6，根据三角形ABC的面积可得出答案．
【规范解答】（1）证明：连接AD，

∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴，
∵，
∴∠PBC＝∠BAD，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠PBC+∠ABD＝90°，
∴AB⊥BP，
∴BP是⊙O的切线．
（2）解：由（1）知∠PBC＝∠BAD，∠ADB＝90°，
∴，
在Rt△ABD中，，AB＝15，
即，
解得，
∴，
∵∠ADB＝90°，AB＝AC，
∴，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴S△ABC＝，
即，
∴BE＝12．
【考点剖析】本题考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
25．（10分）如图，正方形网格中每个小正方形边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：
（1）画一个△ABC，使AC＝．BC＝，AB＝5．
（2）作△ABC的高CD，标出D点．
（3）直接写出点C到AB的距离为 　2　．

【思路点拨】（1）根据网格画一个△ABC，使AC＝．BC＝，AB＝5即可；
（2）根据垂线定义即可作△ABC的高CD；
（3）结合（1）利用三角形的面积即可求出点C到AB的距离．
【规范解答】解：（1）如图，△ABC即为所求；

（2）如图，高CD即为所求；
（3）∵AC＝．BC＝，AB＝5．
∴AC2+BC2＝25，AB2＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∵CD⊥AB，
∵∠ACB＝90°，
∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，
∴×＝5CD，
∴CD＝2，
所以点C到AB的距离为2．
故答案为：2．
【考点剖析】本题考查了作图﹣应用与设计作图、勾股定理，解决本题的关键是根据网格准确画图．
26．（10分）2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京隆重举行，会上习总书记庄严宣告，我国脱贫攻坚取得了全面胜利，同时要切实做好巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接各项工作．某企业准备帮扶甲脱贫村建造西红柿和蓝莓大棚共100亩，已知建造西红柿大棚每亩的价格为0.15万元，蓝莓大棚每亩的价格为0.2万元．
（1）若建造大棚的总费用为17万元，那么分别能建多少亩西红柿大棚和蓝莓大棚？
（2）如果建造西红柿大棚的面积不超过蓝莓大棚面积的3倍，那么建造多少亩蓝莓大棚时，可使总费用最少？总费用最少是多少？
【思路点拨】（1）设西红柿大棚建x亩，则蓝莓大棚建（100﹣x）亩，由题意：建造西红柿大棚每亩的价格为0.15万元，蓝莓大棚每亩的价格为0.2万元．建造大棚的总费用为17万元，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设西红柿大棚建m亩，则蓝莓大棚建（100﹣m）亩，由题意：建造西红柿大棚的面积不超过蓝莓大棚面积的3倍，列出一元一次不等式，解得m≤75，再设总费用为w万元，则w＝0.15m+0.2（100﹣m）＝﹣0.05m+20，然后由一次函数的性质即可求解．
【规范解答】解：（1）设西红柿大棚建x亩，则蓝莓大棚建（100﹣x）亩，
由题意得：0.15x+0.2（100﹣x）＝17，
解得：x＝60，
∴100﹣x＝40，
答：西红柿大棚建60亩，则蓝莓大棚建40亩．
（2）设西红柿大棚建m亩，则蓝莓大棚建（100﹣m）亩，
依题意得：m≤3（100﹣m），
解得：m≤75，
设总费用为w万元，则w＝0.15m+0.2（100﹣m）＝﹣0.05m+20，
∵﹣0.05＜0，
∴w随m的增大而减小
∴当m取最大值75时，w有最小值，最小值为：﹣0.05×75+20＝16.25（万元），
此时100﹣m＝25，
即建造多25亩蓝莓大棚时，可使总费用最少，总费用最少是16.25万元．
【考点剖析】本题考查了一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出一元一次方程；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式．
27．（10分）已知：如图，点A（1，0），B（3，0），D（2，﹣1），C是y轴上的点，且OC＝3．
（1）过点A作AM⊥BC，垂足为M，连接AD、BD，求证：四边形ADBM为正方形；
（2）若过A、B、C三点的抛物线对称轴上有一动点P，当PC﹣PB的值最大时，求出点P的坐标；
（3）设Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

【思路点拨】（1）证明四边形ADBM为矩形，而AD＝BD，故四边形ADBM为正方形；
（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点A，连接CA交对称轴于点P，则点P为所求点，进而求解；
（3）在x轴取点A′（﹣1，0），连接A′C，过点A作AH⊥A′C于点H，交y轴于点Q，则点Q是所求点，进而求解．
【规范解答】解：（1）由点A、D的坐标得，AD＝＝，
同理可得，BD＝，
而AB＝3﹣1＝2，
故AB2＝AD2+BD2，
故△ABD为等腰直角三角形，
由B、C的坐标知，OB＝OC，
则∠CBO＝45°，
则∠DBM＝∠CBO+∠ABD＝90°＝∠ADB＝∠AMB，
故四边形ADBM为矩形，
而AD＝BD，
∴四边形ADBM为正方形；

（2）∵OC＝3，故点C（0，3），
设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；

点B关于抛物线对称轴的对称点为点A．连接CA交对称轴于点P，则点P为所求点，
理由：PC﹣PB＝PC﹣PA＝AC为最大值，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为y＝﹣3x+3，
而抛物线的对称轴为直线x＝（1+3）＝2，
当x＝2时，y＝﹣3x+3＝﹣3，
故点P的坐标为（2，﹣3）；

（3）存在，理由：
在x轴取点A′（﹣1，0），连接A′C，过点A作AH⊥A′C于点H，交y轴于点Q，则点Q是所求点，

理由：由点A′、C的坐标得，OA′＝1，OC＝3，则CA′＝，
则sin∠HCQ＝＝，
则AQ+CQ×＝AH＝AQ+CQsin∠HCQ＝AH为最小，
∵tanCA′O＝＝3，则tan∠HAA′＝，
而直线AH过点A（1，0），故其表达式为y＝﹣（x﹣1），
令x＝0，则y＝，故点Q的坐标为（0，），则CQ＝3﹣＝
由点A、Q的坐标得，AQ＝＝，
∴AQ+QC的最小值＝+×＝＝．
【考点剖析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
28．（10分）【观察与猜想】
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若DE⊥CF，则的值为 　1　；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，若CE⊥BD，则的值为 　　；
【类比探究】
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；
【拓展延伸】
（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，AB＝3，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处，得到△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，若DE⊥CF，则的值为 　　．

【思路点拨】（1）通过证明△AED≌△DFC得到ED＝FC，结论可得；
（2）通过证明△EDC∽△DCB，得到，利用矩形的性质结论可得；
（3）过点F作FH⊥BC于点H，则四边形ABHF为矩形；类比（2）的方法证明△AED∽△HCF，即可得出结论；
（4）解法一：过点C作CM⊥AD于点M，连接AC，交BD 与点H，利用勾股定理和相似三角形的性质求得AH，BH，AC，DH的长度，利用三角形的面积公式求得CM的长度，类比（2）的方法证明△AED∽△FMC，利用相似三角形的性质即可得出结论．
解法二：直接证明三角形AFC相似于三角形BED，利用相似三角形的性质可得．
【规范解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝CD．
∴∠ADE+∠EDC＝90°．
∵DE⊥CF，
∴∠ADE+∠DFC＝90°．
∴∠AED＝∠DFC．
在△AED和△DFC中，
，
∴△AED≌△DFC（AAS）．
∴ED＝FC．
∴＝1．
故答案为：1．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°．
∴∠ADB+∠BDC＝90°．
∵CE⊥BD，
∴∠ADB+∠DEC＝90°．
∴∠BDC＝∠DEC．
∵∠EDC＝∠DCB＝90°，
∴△EDC∽△DCB，
∴．
∵AD＝BC＝7，CD＝4，
∴＝．
故答案为：．
（3）证明：过点F作FH⊥BC于点H，如图，

∵∠A＝∠B＝90°，FH⊥BC，
∴四边形ABHF为矩形．
∴AB＝FH，∠AFH＝90°．
∴∠HFC+∠DFG＝90°．
∵∠CFH+∠HCF＝90°，
∴∠HCF＝∠DFG．
∵CG⊥DG，∠A＝90°，
∴∠A＝∠G＝90°．
∵∠ADE＝∠GDF，
∴∠AED＝∠DFG，
∴∠AED＝∠HCF．
∵∠A＝∠FHC＝90°，
∴△AED∽△HCF．
∴．
∴．
∴DE•AB＝CF•AD；
（4）解法一：过点C作CM⊥AD于点M，连接AC，交BD 与点H，如图，

由题意：△ABD与△CBD关于BD轴对称，
∴BD垂直平分AH，
即AH＝HC，AH⊥BD．
∵∠BAD＝90°，BD⊥AH，
∴△ABH∽△BDA．
∴．
∴AB2＝BH•BD．
∵BD2＝AB2+AD2，
∴BD＝，
∴BH＝．
∴DH＝BD﹣BH＝．
∵AH＝，
∴AC＝2AH＝．
∵，
∴×＝9×CM．
∴CM＝．
∵∠BAD＝90°，
∴∠AED+∠ADE＝90°．
∵CF⊥DE，
∴∠CFD+∠EDA＝90°．
∴∠AED＝∠CFD．
∵∠EAD＝∠FMC＝90°，
∴△AED∽△FMC．
∴．
解法二：连接AC，交BD 与点H，设DE，FC交于点G，BD，FC交于点M，如图，

：△ABD与△CBD关于BD轴对称，
∴BD垂直平分AH，
即AH＝HC，AH⊥BD．
∵∠BAD＝90°，BD⊥AH，
∴△ABH∽△BDA．
∴．
∴AB2＝BH•BD．
∵BD2＝AB2+AD2，
∴BD＝，
∴BH＝．
∴DH＝BD﹣BH＝．
∵AH＝，
∴AC＝2AH＝．
∵∠ACF+∠BMC＝90°，∠BDE+∠DMF＝90°，
∴∠ACF+∠BMC＝∠BDE+∠DMF．
∵∠BMC＝∠DMF，
∴∠ACF＝∠BDE．
∵∠EBD+∠BAH＝90°，∠FAC+∠BAH＝90°，
∴∠EBD＝∠FAC，
∴△BED∽△AFC．
∴＝．
故答案为：．
【考点剖析】本题是相似三角形的综合题，主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角形的面积，利用礼拜的方法解答是解题的关键