四川省广元市苍溪中学2024-2025学年高二下学期5月考试数学试题（Word版附解析）

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一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题要求的．
1 已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 袋子中有 10 个除颜色外完全相同的小球，其中有 4 个白球，6 个黑球，每次从袋子中随机摸出 1 个球，
摸出的球不再放回．则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为（ ）
A. B. C. D.
3. 从 1，3，5，7 中任取 2 个数字，从 2，4 中任取 1 个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（ ）
A. 8 B. 12 C. 18 D. 72
4. 随机变量 X 的分布列为 ， ， .若 ，则 （
）
A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8
5. 函数 在 上（ ）
A. 单调递增 B. 单调递减 C. 有增有减 D. 无法判定
6. 已知函数 的导函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 在区间 内有 2 个极值点
C. 在区间 上是增函数 D. 曲线 在 处的切线的斜率大于 0
7. 已知等差数列 中， 是函数 的一个极大值点，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
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8. 已知 是数列 的前 项和，若 ，数列 的首项
， ，则 （ ）
A B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中．有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 的展开式，下列说法正确的是（ ）
A. 展开式共有 7 项
B. 展开式的二项式系数的和为 128
C. 展开式中 的系数为 14
D. 展开式中第 3 项或者第 4 项的二项式系数最大
10. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. 是等比数列
C. D. 是递增数列
11. 对于函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 在 处取得极大值
B.
C. 只有一个零点
D 若方程 恰好只有一个实数根，则
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知 ，若 三个数成等比数列，则 ______．
13. 已知函数 的导函数为 ，定义方程 的实数根 叫做函数
的“新不动点”．设 ，则 在区间 上的“新不动点”为______．
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14. 某城区学校派出甲、乙等六名教师去三所乡村学校支教，根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与
支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求甲乙两名教师必须去同一所学校支教，则不同的
安排方案有______种．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. ．已知函数 ．
（1）求函数 在 处的切线方程；
（2）求函数 在区间 上的极值．
16. 在数列 中， ，且 .
（1）证明： 为等比数列，并求 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 .
17. 如图，在四棱锥 中，底面矩形 垂直于侧面 ，且 分别是棱
的中点， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的正弦值．
18. 甲、乙两个袋子各装有大小相同的 3 个红球和 2 个白球，第一次从甲袋子随机取出一个球放入乙袋子.
求：
（1）第二次从乙袋子随机取出一个球是红球的概率；
（2）在第二次从乙袋子随机取出一个球是红球 条件下，第一次从甲袋子取出的是白球的概率；
（3）第二次从乙袋子随机取出两个球，其中白球个数的分布列与期望.
19. 函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降．但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方
向的问题，即函数的凹凸性．函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具
有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：
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设 在区间 上连续，如果对 上任意两点 恒有 ，则称 在
区间 上的图形是凹的【图 1】，区间 为 凹的区间；
设 在区间 上连续，如果对 上任意两点 恒有 ，
则称 在区间 上的图形是凸的【图 2】．区间 为 凸的区间；
关于导数与函数 凹凸性的关系，有如下定理：
设 在区间 上连续，在区间 上具有一阶和二阶导数，那么
①如果 在 上恒有 ，则 在区间 上的图象是凹的；如果 在区间 上的图象
是凹的，则 在 上恒有 ；
②如果 在 上恒有 ，则 在区间 上的图象是凸的；如果 在区间 上的图象
是凸的，则 在 上恒有
其中 是 的导函数，为 的一阶导数： 是 的导函数，为 的二阶导数．
根据以上内容，完成如下问题：
（1）求函数 的凹的区间和凸的区间；
（2）若 在区间 上图象是凹的，求实数 的取值范围；
（3）证明： ．
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