四川省苍溪中学2024-2025学年高二下学期4月考试数学试卷（Word版附解析）

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（时间：120 分钟；满分：150 分：）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.）
1. 已知空间向量 ，则 （ ）
A. B. C. 2 D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】根据模长公式即可求解.
【详解】 ,
故选：B
2. 设 为直线 与圆 的两个交点，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【 详 解 】 试 题 分 析 ： 直 线 与 圆 的 交 点 弦 长 可 由 两 种 方 法 得 到 :① 求 出 圆 心 到 直 线 的 距 离
,所以直径 ②直线与圆联立方程,由弦长公式 来求得
.故选 D.
考点：直线与圆的交点弦长
3. 如图，在四面体 中， 是 的中点.设 ， ， ，则 （ ）
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A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的线性关系即可求解.
【详解】 ,
故选：C
4. 若定义在 上的函数 的图象如图所示，则函数 的增区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象可得 的正负可判断 的单调性从而得到答案.
【详解】由图象可得，
当 时，由 得 ， 在 上单调递增，
当 时，由 得 ， 在 上单调递减，
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当 时，由 得 ， 在 上单调递减，
综上，函数 的增区间为 .
故选：B.
5. 已知等差数列 的公差 ，且 成等比数列，则数列 的前 2025 项和为（
）
A. B. C. 505 D. 1013
【答案】D
【解析】
【分析】根据 成等比数列，结合等差数列的通项公式可得 ，进而得到 ，
，进而求和即可.
【详解】设首项为 ，因为 成等比数列，
所以 ，则 ，
解得 或 ，当 时， ，此时与 成等比数列矛盾，故排除，
当 时， ，此时令 ，
而其前 2025 项和为 ，
.
故选：D
6. 下列命题正确的是（ ）
A. 若某质点运动的位移 s（单位：米）与时间 t（单位：秒）之间的函数关系为 ，则该质点在
秒时的瞬时速度为 米/秒
B. 命题“ ”是真命题
C. 设函数 的导函数为 ，且 ，则
D. 已知函数 在 R 上可导，若 ，则
【答案】B
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【解析】
【分析】求解导函数后利用瞬时速度的概念计算判断 A；构建 ，利用导数法证明
，即可判断 B；先求出导函数，然后建立方程求解 判断 C；根据导数的定义计算判断
D.
【详解】对于 A，由 得 ，则该质点在 秒时的瞬时速度为 米/秒，错误；
对于 B，构建 ，因为 ，
则 ，
可知函数 在 内单调递增，则 ，即 ，
所以命题“ ， ”是真命题，故 B 正确；
对于 C，由 ，得 ，故 ，
所以 ，C 错误；
对于 D，由导数定义知 ，
所以 ，D 错误.
故选：B
7. 已知双曲线 C： 的右焦点为 F，过 F 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于 A、
B 两点，且 ， ，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知得 ， ， ，利用 ，借助正切值列方程求双
曲线的离心率.
【详解】双曲线的右焦点为 ，渐近线方程为 ，
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，则有 ， 到渐近线的距离 ，
， ，∴ ， ，
则 ， ， ，
由 ，有 ，即 ，
解得 ，则有 ，所以离心率 .
故选：B.
8. 若函数 有三个零点，则 k 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用分离变量法将 与 分开，将零点问题转化为两个函数的图像有三个交点的问题，数形结合容
易得到答案.
【详解】由 ，得 ，设 ，令 ，解得
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，当 时， ，当 或 时， ，且
，其图象如图所示：
若使得函数 有 3 个零点，则 .
故选：A.
二、选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.）
9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小
B. 若对空间中任意一点 ，有 ，则 ， ， ， 四点共面
C. 若空间向量 满足 ，则 与 夹角为钝角
D. 若已知空间向量 和 ，则 在 上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A 项，由空间向量的模为实数可知；B 项，由系数和为 ，整理变形为 ，由平
面向量基本定理可知共面；C 项，由两向量共线且反向情况可判断；D 项，由单位向量与投影向量的定义可
得.
【详解】A 项，空间向量不能比较大小，
而空间向量的模是非负实数，可以比较大小，故 A 正确；
B 项，由 可得 ，
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则 ，
即 ，故 四点共面，故 B 正确；
C 项，若 与 为两非零向量，共线且反向时， ，
此时两向量 的夹角为 ，不为钝角，故 C 错误；
D 项，与 方向相同的单位向量为 ，
由投影向量的定义，则 在 上的投影向量为 ，故 D 正确.
故选：ABD.
10. 设正项数列 的前 n 项和为 ，已知 ．则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据所给的递推关系可求出 ,即可判断 A 选项，再利用 可以将递推关系化简
可求出 的通项公式，再利用做差法可求出 的通项公式，可判断 B,C，再由 的通项公式的取值范围可
判断 D 选项
详解】对于 A，令 得， ，解得 ，故 A 正确；
对于 B 和 C，当 时， ，所以 ，化简得 ，所以 是以
1 为首项，1 为公差的等差数列，所以 ，又因为 是正项数列，所以 ．
当 时， ，所以 ，当 时， ，也满足条件，所以
，故 B 错误，C 正确；
对于 D，因为 ，故 D 正确，
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故选：ACD
11. 对于三次函数 ，给出定义： 是函数 的导数，
是函数 的导数，若方程 有实数解 ，则称 为函数 的“拐点”.某同学
经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若
函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的极大值为
B. 有且仅有 2 个零点
C. 点 是 对称中心
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A 选项， ，得出函数单调性，结合极值 概念，可判定 A 正确；B 选项，
根据极大值为 ，极小值 ，进而得到函数 有 3 个零点，可判定 B 错误；C 选项，
求得 ，令 ，求得 ，得出 ，可判定 C 正确；D 选项，根据对称性，
得到 ，结合倒序相加法，可判定 D 正确.
【详解】A 选项，由函数 ，
可得 ，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
在 单调递增，当 时， 取得极大值，
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极大值为 ，所以 A 正确；
B 选项，由 A 知，当 时， 取得极小值，
极小值 ，且当 时， ，
当 时， ， ，
所以函数 有 3 个零点，所以 B 错误；
C 选项，由 ，可得 ，
令 ，可得 ，
又由 ，
所以点 是函数 的对称中心，所以 C 正确；
D 选项，因为 是函数 的对称中心，所以 ，
令 ，
可得 ，
所以
，
所以 ，即 ，
所以 D 正确
故选：ACD.
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
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12. 设曲线 在点 处的切线与直线 平行，则 a 为______．
【答案】
【解析】
【分析】求出导函数，利用导数的几何意义及直线平行的条件建立方程求解即可.
【详解】由 得 ，所以切线斜率为 ，
又直线 斜率为 2，则 ，解得 .
故答案为：1
13. 在正四面体 中，点 M 在 上，且 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为
_______.
【答案】
【解析】
【分析】在正方体中构造出正四面体 ，建立空间直角坐标系.设正方体边长为 ，求出向量 和
的坐标，根据向量法即可求解.
【详解】如图，在正方体中构造出正四面体 ，建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体边长为 .因为 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
，
∴异面直线 与 所成角的余弦值为 .
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故答案为： .
14. 设函数 ， ，若对任意 ， 恒成立，则 的取值范围
为_______．
【答案】
【解析】
【分析】构造函数 ，可知，函数 在 内单调递增，则 在
上恒成立．参变分离得出 ，求出函数 的最小值，即可求出实数
的取值范围.
【详解】对任意 ， ，可得 ，可得 ，
构造函数 ，则 ，
所以函数 在 内单调递增，即 在 上恒成立．
因为 ，即 在 上恒成立．
分离参数有 ，
当 时， 取最小值 ，所以 ，即 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.）
15. 已知函数 ．
（1）求函数 的单调递增区间；
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（2）如果函数 的导数为 ，且 在 上的零点从小到大排列后构成数列 ，求 的
前 20 项和．
【答案】（1）单调递增区间为 .
（2）
【解析】
【分析】（1）由二倍角公式结合辅助角公式化简，再由正弦函数的递增区间可得；
（2）求导后令导数为零，求出零点，然后由等差数列的通项和求和公式可得.
【小问 1 详解】
，
令 ，可得 ，
所以函数 的单调递增区间为 .
【小问 2 详解】
，则 ，
令 ，可得 ，
因为 在 上的零点从小到大排列后构成数列 ，可知 ，
所以 ，公差 ，
所以 ，
所以 的前 20 项和
16. 已知函数 ．
（1）若 为 的一个极值点，求 在 上的最小值和最大值；
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（2）若 在 上是增函数，求实数 的取值范围．
【答案】（1）最小值是 ，最大值是 ；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）求导根据 得到 ，再计算函数的单调区间，计算得到最值.
（2）求导得到导函数，根据单调性变换得到 ，构造新函数，根据函数的单调性计算最值即
可.
【小问 1 详解】
的定义域为 ， ， ，则 ，
解得 ，
故 ，令 ，即 ，
解得 或 ，
1 3 4
0
极小值
故 在 上的最小值是 ，最大值是 ；
【小问 2 详解】
在区间 上恒成立，故 ，
设 ，当 时， 是增函数，其最小值为 ，
故 ，即实数 的取值范围为 ．
17. 已知在数列 中 ，且 ，记 .
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（1）证明：数列 是等差数列；
（2）记 求数列 的前 n 项和 .
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的定义并结合对数的运算证明 ，即可证明数列 是等差数列；
（2）求出数列 的通项，利用裂项相消求出数列 的前 n 项和 .
【小问 1 详解】
， ，
又 ， ，
，
又 ,
数列 是首项为 ，公差为 的等差数列.
【小问 2 详解】
由（1）知 ，
则 ，
.
18. 如图，在三棱锥 中， ，M 是线段 上的点．
（1）求证：平面 平面 ；
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（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连接 、 ，推导出 平面 ，再利用面面垂直的判定定理可
证得结论成立.
（2）以点 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 ，借助空间向量求线面角建立关于 的方程，
求出 即可求得 的长.
【小问 1 详解】
取 的中点 ，连接 ， ， ，
则 ， ， ， ，
于是 ，则 ，
由 ， 平面 ，得 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
【小问 2 详解】
由（1）知，直线 两两垂直，以点 为坐标原点，直线 分别为 轴建立空间
直角坐标系，
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则 ， ，
设 ， ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，得 ，由直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
得
整理得 ，解得 ，
由于点 在线段 上，所以 ，
即 .
19. 已知椭圆 的焦距为 2， ， 分别为其左右焦点， 为原点，且点
在椭圆 上.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）经过左焦点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点（异于左右顶点），M 为线段 AB 的中点，
①若 ，求线段 OM 的长度；
②求点 到直线 OM 的距离 的最小值.
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）由焦距求 ，代入点的坐标联立方程求解 可得；
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（2）①设直线 AB 的方程为 ，将条件 转化为 ，联立直线与
椭圆方程，由韦达定理将根的关系转化为系数 的方程，求解可得；②由韦达定理用 分别表示弦中点
坐标与 ，利用面积关系 得 关于 的函数关系，再求函数最值可得.
【小问 1 详解】
由题知， ，即 ， ，
由点 在椭圆 上，代入椭圆方程 得，
，解得 ，则 ，
故椭圆 的标准方程为： .
【小问 2 详解】
①由题意可知，直线 AB 不与 轴垂直，且经过点 ，
所以可设直线 AB 的方程为 ，并设 ，
由 得 .
则 ， ， .
因为 ，则 ，即 ，
即
，
解得 ， .
由 ，
所以 AB 的中点 为 ，
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即点 ，所以 ；
②由①可知 AB 的中点 为 ，
则 ，且直线 OM 的斜率为 ，
所以直线 OM 的方程为 .
设点 A 到直线 的距离为 ，
因为点 是弦 AB 的中点，所以点 到直线 的距离也为 ，
又因为
，
由 知， ，
所以 ，
解得 ，
由 ，令 ，
则 ，由 在 单调递增，
得 ，即当 时， .
第 18页/共 19页
即点 到直线 OM 的距离 的最小值为 .
【点睛】方法点睛：解析几何中面积求解问题中，当三角形某条边过定点
时，可以把三角形某个定顶点和该定点为边，转化为定底边的两个三角形面积之和，从而简化运算.
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