四川省苍溪中学校2024-2025学年高二下学期4月考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份四川省苍溪中学校2024-2025学年高二下学期4月考试数学试题（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
（时间：120分钟；满分：150分：）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知空间向量，则（ ）
A. B. C. 2D. 14
2. 设为直线与圆的两个交点，则
A. B. C. D.
3. 如图，在四面体中，是中点.设，，，则（ ）

A. B.
C. D.
4. 若定义在 上的函数 的图象如图所示，则函数 的增区间为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（ ）
A. B. C. 505D. 1013
6. 下列命题正确的是（ ）
A. 若某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，则该质点在秒时的瞬时速度为米/秒
B. 命题“”是真命题
C. 设函数的导函数为，且，则
D. 已知函数在R上可导，若，则
7. 已知双曲线C：右焦点为F，过F作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点，且，，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
8. 若函数有三个零点，则k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小
B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C. 若空间向量满足，则与夹角为钝角
D. 若已知空间向量和，则在上的投影向量为
10. 设正项数列的前n项和为，已知．则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的极大值为
B 有且仅有2个零点
C. 点是的对称中心
D
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设曲线在点处的切线与直线平行，则a为______．
13. 在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为_______.
14. 设函数，，若对任意，恒成立，则的取值范围为_______．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.）
15 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）如果函数的导数为，且在上的零点从小到大排列后构成数列，求的前20项和．
16. 已知函数．
（1）若为的一个极值点，求在上的最小值和最大值；
（2）若在上是增函数，求实数的取值范围．
17. 已知在数列中，且，记.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）记求数列的前n项和.
18. 如图，在三棱锥中，，M是线段上的点．
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
19. 已知椭圆的焦距为2，，分别为其左右焦点，为原点，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过左焦点的直线与椭圆交于，两点（异于左右顶点），M为线段AB的中点，
①若，求线段OM的长度；
②求点到直线OM的距离的最小值.
高2023级高二下学期第一次学段考试
数学试题
（时间：120分钟；满分：150分：）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知空间向量，则（ ）
A. B. C. 2D. 14
【答案】B
【解析】
【分析】根据模长公式即可求解.
【详解】,
故选：B
2. 设为直线与圆的两个交点，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：直线与圆的交点弦长可由两种方法得到:①求出圆心到直线的距离,所以直径②直线与圆联立方程,由弦长公式来求得.故选D.
考点：直线与圆的交点弦长
3. 如图，在四面体中，是的中点.设，，，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的线性关系即可求解.
【详解】,
故选：C
4. 若定义在 上的函数 的图象如图所示，则函数 的增区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象可得的正负可判断的单调性从而得到答案.
【详解】由图象可得，
当时，由得，在上单调递增，
当时，由得，在上单调递减，
当时，由得，在上单调递减，
综上，函数 的增区间为.
故选：B.
5. 已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（ ）
A. B. C. 505D. 1013
【答案】D
【解析】
【分析】根据成等比数列，结合等差数列的通项公式可得，进而得到，，进而求和即可.
【详解】设首项为，因为成等比数列，
所以，则，
解得或，当时，，此时与成等比数列矛盾，故排除，
当时，，此时令，
而其前2025项和为，
.
故选：D
6. 下列命题正确的是（ ）
A. 若某质点运动的位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为，则该质点在秒时的瞬时速度为米/秒
B. 命题“”是真命题
C. 设函数的导函数为，且，则
D. 已知函数在R上可导，若，则
【答案】B
【解析】
【分析】求解导函数后利用瞬时速度的概念计算判断A；构建，利用导数法证明，即可判断B；先求出导函数，然后建立方程求解判断C；根据导数的定义计算判断D.
【详解】对于A，由得，则该质点在秒时的瞬时速度为米/秒，错误；
对于B，构建，因为，
则，
可知函数在内单调递增，则，即，
所以命题“，”是真命题，故B正确；
对于C，由，得，故，
所以，C错误；
对于D，由导数定义知，
所以，D错误.
故选：B
7. 已知双曲线C：的右焦点为F，过F作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点，且，，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知得，，，利用，借助正切值列方程求双曲线的离心率.
【详解】双曲线的右焦点为，渐近线方程为，
，则有，到渐近线的距离，

，，∴，，
则，，，
由，有，即，
解得，则有，所以离心率.
故选：B.
8. 若函数有三个零点，则k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用分离变量法将与分开，将零点问题转化为两个函数的图像有三个交点的问题，数形结合容易得到答案.
【详解】由，得，设，令，解得，当时，，当或时，，且，其图象如图所示：
若使得函数有3个零点，则.
故选：A.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.）
9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小
B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C. 若空间向量满足，则与夹角为钝角
D. 若已知空间向量和，则在上的投影向量为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A项，由空间向量的模为实数可知；B项，由系数和为，整理变形为，由平面向量基本定理可知共面；C项，由两向量共线且反向情况可判断；D项，由单位向量与投影向量的定义可得.
【详解】A项，空间向量不能比较大小，
而空间向量的模是非负实数，可以比较大小，故A正确；
B项，由可得，
则，
即，故四点共面，故B正确；
C项，若与为两非零向量，共线且反向时，，
此时两向量的夹角为，不为钝角，故C错误；
D项，与方向相同的单位向量为 ，
由投影向量的定义，则在上的投影向量为，故D正确.
故选：ABD.
10. 设正项数列的前n项和为，已知．则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据所给的递推关系可求出,即可判断A选项，再利用可以将递推关系化简可求出的通项公式，再利用做差法可求出的通项公式，可判断B,C，再由的通项公式的取值范围可判断D选项
详解】对于A，令得，，解得，故A正确；
对于B和C，当时，，所以，化简得，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，又因为是正项数列，所以．
当时，，所以，当时，，也满足条件，所以，故B错误，C正确；
对于D，因为，故D正确，
故选：ACD
11. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的极大值为
B. 有且仅有2个零点
C. 点是对称中心
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，，得出函数单调性，结合极值概念，可判定A正确；B选项，根据极大值为，极小值，进而得到函数有3个零点，可判定B错误；C选项，求得，令，求得，得出，可判定C正确；D选项，根据对称性，得到，结合倒序相加法，可判定D正确.
【详解】A选项，由函数，
可得，
令，解得或；令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
在单调递增，当时，取得极大值，
极大值为，所以A正确；
B选项，由A知，当时，取得极小值，
极小值，且当时，，
当时，，，
所以函数有3个零点，所以B错误；
C选项，由，可得，
令，可得，
又由，
所以点是函数的对称中心，所以C正确；
D选项，因为是函数的对称中心，所以，
令，
可得，
所以
，
所以，即，
所以D正确
故选：ACD.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设曲线在点处的切线与直线平行，则a为______．
【答案】
【解析】
【分析】求出导函数，利用导数的几何意义及直线平行的条件建立方程求解即可.
【详解】由得，所以切线斜率为，
又直线斜率为2，则，解得.
故答案为：1
13. 在正四面体中，点M在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】在正方体中构造出正四面体，建立空间直角坐标系.设正方体边长为，求出向量和的坐标，根据向量法即可求解.
【详解】如图，在正方体中构造出正四面体，建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体边长为.因为，
∴，，，，
∴，，
，
∴异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
14. 设函数，，若对任意，恒成立，则的取值范围为_______．
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，可知，函数在内单调递增，则在上恒成立．参变分离得出，求出函数的最小值，即可求出实数的取值范围.
【详解】对任意，，可得，可得，
构造函数，则，
所以函数在内单调递增，即在上恒成立．
因为，即在上恒成立．
分离参数有，
当时，取最小值，所以，即.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.）
15. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）如果函数的导数为，且在上的零点从小到大排列后构成数列，求的前20项和．
【答案】（1）单调递增区间为.
（2）
【解析】
【分析】（1）由二倍角公式结合辅助角公式化简，再由正弦函数的递增区间可得；
（2）求导后令导数为零，求出零点，然后由等差数列的通项和求和公式可得.
【小问1详解】
，
令，可得，
所以函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
，则，
令，可得，
因为在上的零点从小到大排列后构成数列，可知，
所以，公差，
所以，
所以的前20项和
16. 已知函数．
（1）若为的一个极值点，求在上的最小值和最大值；
（2）若在上是增函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）最小值是，最大值是；
（2）．
【解析】
【分析】（1）求导根据得到，再计算函数的单调区间，计算得到最值.
（2）求导得到导函数，根据单调性变换得到，构造新函数，根据函数的单调性计算最值即可.
【小问1详解】
的定义域为，，，则，
解得，
故，令，即，
解得或，
故在上的最小值是，最大值是；
【小问2详解】
在区间上恒成立，故，
设，当时，是增函数，其最小值为，
故，即实数的取值范围为．
17. 已知在数列中，且，记.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）记求数列的前n项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的定义并结合对数的运算证明，即可证明数列是等差数列；
（2）求出数列的通项，利用裂项相消求出数列的前n项和.
【小问1详解】
，，
又，，
，
又,
数列是首项为，公差为的等差数列.
【小问2详解】
由（1）知 ，
则 ，
.
18. 如图，在三棱锥中，，M是线段上的点．
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立.
（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，设，借助空间向量求线面角建立关于的方程，求出即可求得的长.
【小问1详解】
取的中点，连接，，，
则，，，，
于是，则，
由，平面，得平面，
又平面，所以平面平面.
【小问2详解】
由（1）知，直线两两垂直，以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
设，，
则，
设平面的法向量为，则，
令，得，由直线与平面所成角的正弦值为，
得
整理得，解得，
由于点在线段上，所以，
即.
19. 已知椭圆的焦距为2，，分别为其左右焦点，为原点，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过左焦点的直线与椭圆交于，两点（异于左右顶点），M为线段AB的中点，
①若，求线段OM的长度；
②求点到直线OM的距离的最小值.
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）由焦距求，代入点的坐标联立方程求解可得；
（2）①设直线AB的方程为，将条件转化为，联立直线与椭圆方程，由韦达定理将根的关系转化为系数的方程，求解可得；②由韦达定理用分别表示弦中点坐标与，利用面积关系得关于的函数关系，再求函数最值可得.
【小问1详解】
由题知，，即，，
由点在椭圆上，代入椭圆方程得，
，解得，则，
故椭圆的标准方程为：.
【小问2详解】
①由题意可知，直线AB不与轴垂直，且经过点，
所以可设直线AB的方程为，并设，
由得.
则，，.
因为，则，即，
即
，
解得，.
由，
所以AB的中点为，
即点，所以；

②由①可知AB的中点为，
则，且直线OM的斜率为，
所以直线OM的方程为.
设点A到直线的距离为，
因为点是弦AB的中点，所以点到直线的距离也为，
又因为
，
由知，，
所以，
解得，
由，令，
则，由在单调递增，
得，即当时，.
即点到直线OM的距离的最小值为.
【点睛】方法点睛：解析几何中面积求解问题中，当三角形某条边过定点时，可以把三角形某个定顶点和该定点为边，转化为定底边的两个三角形面积之和，从而简化运算.
1
3
4
0
极小值