四川省广元市2024_2025学年高二数学下学期5月考试试题含解析

这是一份四川省广元市2024_2025学年高二数学下学期5月考试试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题要求的．
1. 已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出导函数，令 可得．
【详解】由已知 ，所以 ．
故选：A．
2. 袋子中有 10 个除颜色外完全相同的小球，其中有 4 个白球，6 个黑球，每次从袋子中随机摸出 1 个球，
摸出的球不再放回．则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
【详解】记第一次摸到白球为事件 ，第二次摸到黑球为事件 ，
则 ， ，
故 ．
故选：D．
3. 从 1，3，5，7 中任取 2 个数字，从 2，4 中任取 1 个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（ ）
A. 8 B. 12 C. 18 D. 72
【答案】D
【解析】
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【分析】利用分步计数原理，结合组合数与排列数，即可计算结果.
【详解】从 1，3，5，7 中任取 2 个数的方法数有 ；
从 2，4 中任取 1 个数的方法数有 ；
选出的 3 个数的排列有 ；
再利用分步计数乘法原理得：
可以组成没有重复数字的三位数的个数有 .
故选：D.
4. 随机变量 X 的分布列为 ， ， .若 ，则 （
）
A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得 求出 ，再利用方差公式可求得结果.
【详解】因为随机变量 X 分布列为 ， ， ， ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故选：B
5. 函数 在 上（ ）
A. 单调递增 B. 单调递减 C. 有增有减 D. 无法判定
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数 导数即可分析函数单调性.
【详解】因为
，函数 在 上单调递减．
故选：B．
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6. 已知函数 的导函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 在区间 内有 2 个极值点
C. 在区间 上是增函数 D. 曲线 在 处的切线的斜率大于 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据导函数 图象确定 的极值点、单调区间、导数的几何意义，进而判断各选项的正误.
【详解】由导函数 的部分图象可得，
当 或 时， ，当 或 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在区间 内有 个极值点，故 BC 错误；
所以 ，故 A 错误；
曲线 在 处的切线的斜率为 ，故 D 正确.
故选：D.
7. 已知等差数列 中， 是函数 的一个极大值点，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得 ，再由等差数列的性质可得 ，从而可求出
的值.
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【详解】因为 是函数 的一个极大值点，
所以 ，
所以 ，
因为 为等差数列，所以 ，
所以 .
故选：D
8. 已知 是数列 的前 项和，若 ，数列 的首项
， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别将 和 带入，求解出 的值，根据 得出 ，然后利用
等比数列求和公式，得出答案.
详解】当 时， ；
当 时， ，所以 ，
又 ，所以 ，因为 ，所以 .
.
故选：D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中．有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
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9. 的展开式，下列说法正确的是（ ）
A. 展开式共有 7 项
B. 展开式的二项式系数的和为 128
C. 展开式中 的系数为 14
D. 展开式中第 3 项或者第 4 项的二项式系数最大
【答案】BC
【解析】
【分析】对于 A，根据二项式展开式的性质判断，对于 B，根据二项式展开式的系数的性质求解判断，对于
C，求出通项公式，令 的次数为 2，求出 ，从而可求出 的系数，对于 D，根据二项式展开式的系数的
性质判断.
【详解】对于 A， 的展开式有 8 项，所以 A 错误，
对于 B， 的展开式的二项式系数的和为 ，所以 B 正确，
对于 C，展开式的通项公式为 ，
令 ，得 ，
所以展开式中 的系数为 ，所以 C 正确，
对于 D，因为 的展开式有 8 项，所以展开式中第 4 项或者第 5 项的二项式系数最大，所以 D 错
误.
故选：BC
10. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. 是等比数列
C. D. 是递增数列
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【答案】ACD
【解析】
【分析】由题中条件可得 ，判断 A；通过两式相减的 ，变形可得出
，判断 B；
根据求和公式结合作差法比较大小判断 C，D；
【详解】对于 A，由 得，
，所以 ．A 正确；
对于 B，将 与 整体相减得， ，
所以 ，
又 ，即 ，
所以 ．
因此 不是等比数列，B 错误；
对于 C,因为 ，
所以当 时， ．
当 时， ．
当 时， ，因此 ,C 正确；
对于 D，因为 ，
所以 ，
所以 ，
因此 是递增数列，D 正确；
故选:ACD．
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11. 对于函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 在 处取得极大值
B.
C. 只有一个零点
D. 若方程 恰好只有一个实数根，则
【答案】AC
【解析】
【分析】对 A：用导数判断的单调性并求极值；对 B：根据单调性比较大小；对 C：直接求零点即可.；对 D：，
由条件转化两函数有一个焦点，求函数的单调性和最大值即可判断；
【详解】对于 A，函数 ， ，
则 ，令 ，即 ，解得 ，
当 时， ，故函数 在 上为单调递增函数，
当 时， ，故函数 在 上为单调递减函数，
故 在 处取得极大值 ，故选项 A 正确；
对于 B，当 时， ，故函数 在 上为单调递减函数，
所以 ，故选项 B 错误；
对于 C，令函数 ，则 ，解得 ，所以函数 只有一个零点，故选项 C 正确；
对于 D，易知 不是方程的解；
当 时， ，方程 恰好只有一个实数根，
等价于 和 只有一个交点，则 且 ，
令 ，即 ，解得 ，
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当 时， ，故函数 在 上为单调递增函数，
当 时， ，故函数 在 上均单调递减，
是一条渐近线，当 时， ，当 时， ，
故 在 处取得极小值 ，
结合条件可知 或 ，故选项 D 错误；
故选：AC.
【点睛】方法点睛：求解函数单调性方法：定义法；利用函数导数判断函数单调性；
求解函数极值方法：利用函数导数求解函数极值；
求解函数最值方法：利用函数单调性解出最值；利用函数导数求解函数最值；基本不等式求解函数最值；
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知 ，若 三个数成等比数列，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】由等比中项 定义列出等式，解方程即可.
【详解】因为 三个数成等比数列，所以 ，
即 .
故答案为： .
13. 已知函数 的导函数为 ，定义方程 的实数根 叫做函数
的“新不动点”．设 ，则 在区间 上的“新不动点”为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据“新不动点”的定义列方程求解即可.
【详解】由 ，得 ，
由 ，得 ，
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，得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，得 ，
所以 在区间 上的“新不动点”为 .
故答案为：
14. 某城区学校派出甲、乙等六名教师去三所乡村学校支教，根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与
支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求甲乙两名教师必须去同一所学校支教，则不同的
安排方案有______种．
【答案】150
【解析】
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分组分配问题和分步乘法计数原理和分类加法计数原理求解．
【详解】当甲乙两位教师到一所学校时，
则不同的分配方案种数为 ，
当甲乙和另外一名共三位教师到一所学校时，
则不同的分配方案种数为 ，
当甲乙和另外两名共四位教师到一所学校时，
则不同的分配方案种数为 ，
则不同的分配方案种数共有 ．
故答案为：150．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. ．已知函数 ．
（1）求函数 在 处的切线方程；
（2）求函数 在区间 上的极值．
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【答案】（1）
（2）极大值为 ，极小值为
【解析】
【分析】（1）根据导函数 算出 时的导数，得到切线斜率.再结合 时的函数值，用点斜式方
程写出切线方程，最后整理成一般式.
（2）令导函数 ，解出可能的极值点，接着根据导数正负判断函数在不同区间的增减性，进而确
定极大值点和极小值点，把对应的值代入函数求出极大值和极小值.
【小问 1 详解】
，则 ，又 ，
则函数 在 处的切线方程为 ，即 ；
【小问 2 详解】
令 ，可得 ，
易知当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
又 ， ，
则函数 在区间 上的极大值为 ，极小值为 ．
16. 在数列 中， ，且 .
（1）证明： 为等比数列，并求 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明见解析，
（2）
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【解析】
【分析】（1）依题意可得 ，即可得到 是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，从
而求出 的通项公式；
（2）由（1）可得 ，对 分奇偶，利用等比数列求和公式计算可得；
【小问 1 详解】
解：因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 是以 4 为首项，2 为公比的等比数列.
故 ，即 .
【小问 2 详解】
解：由（1）得 ，
则 ，
①当 时，
②当 时，
，
综上所述，
17. 如图，在四棱锥 中，底面矩形 垂直于侧面 ，且 分别是棱
的中点， ．
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（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由面面垂直可得 平面 ，则 ，由几何知识可得 ， ，
结合线面垂直的判定定理分析证明；
（2）建系标点，可得平面 、平面 的法向量，利用空间向量求二面角.
【小问 1 详解】
因为 为矩形，则 ，
且平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
则 平面 ，且 平面 ，所以 ．
连接 ．
在 和 中， ，
可知 全等于 ．则 ，
且 是 的中点，则 ．
在 中， ，
而 是 的中点，则 ．
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且 ， 平面 ，所以 平面 ．
【小问 2 详解】
以 A 为坐标原点， 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则 ，可得 ，
由（1）知， 是平面 的法向量，
且平面 的法向量是 ．
可得 ．
所以二面角 的正弦值为 ．
18. 甲、乙两个袋子各装有大小相同的 3 个红球和 2 个白球，第一次从甲袋子随机取出一个球放入乙袋子.
求：
（1）第二次从乙袋子随机取出一个球是红球的概率；
（2）在第二次从乙袋子随机取出一个球是红球的条件下，第一次从甲袋子取出的是白球的概率；
（3）第二次从乙袋子随机取出两个球，其中白球个数的分布列与期望.
【答案】（1）
（2）
（3）分布列、期望见解析
【解析】
【分析】（1）根据全概率公式进行求解即可.
（2）设事件 B 为第 1 次取出的是白球，事件 C 为第 2 次取出的是红球，根据条件概率公式计算即可；
（3）分情况从甲中随机取出一红球或白球写出白球个数的概率及分布列，再求出期望即可.
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【小问 1 详解】
设事件 表示从甲中随机取出一红球放入乙箱中，事件 表示从甲中随机取出一白球放入乙中，设事件 表
示：从甲中随机取出一球放入乙中，再从乙中随机取出一球，则取出的球是红球，
则有： ，
所以 .
【小问 2 详解】
设事件 为第一次从甲取出的是白球，事件 为第二次从乙随机取出一个球是红球；
则 ，所以 ．
【小问 3 详解】
第二次从乙随机取出两个球，取出的白球的个数为 ，则 ，
，
，
,
的分布列为
0 1 2
的数学期望 .
19. 函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降．但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方
向的问题，即函数的凹凸性．函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具
有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：
设 在区间 上连续，如果对 上任意两点 恒有 ，则称 在
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区间 上的图形是凹的【图 1】，区间 为 凹的区间；
设 在区间 上连续，如果对 上任意两点 恒有 ，
则称 在区间 上的图形是凸的【图 2】．区间 为 凸的区间；
关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：
设 在区间 上连续，在区间 上具有一阶和二阶导数，那么
①如果 在 上恒有 ，则 在区间 上的图象是凹的；如果 在区间 上的图象
是凹的，则 在 上恒有 ；
②如果 在 上恒有 ，则 在区间 上的图象是凸的；如果 在区间 上的图象
是凸的，则 在 上恒有
其中 是 的导函数，为 的一阶导数： 是 的导函数，为 的二阶导数．
根据以上内容，完成如下问题：
（1）求函数 的凹的区间和凸的区间；
（2）若 在区间 上图象是凹的，求实数 的取值范围；
（3）证明： ．
【答案】（1）函数 的凹的区间是 和 ，凸的区间是 .
（2）
（3）证明见解析
【解析】
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【分析】（1）根据题意，求二阶导，并判断正负，得出函数 的凹的区间和凸的区间；
（2）由凹凸性得出 ，进而分离参数，将问题转化为 ，利用导数得出最值，进
而得出实数 的取值范围；
（3）等价变形 ，构造函数 和
，利用导数证明 ， ，从而
得出答案.
【小问 1 详解】
，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 .
因此，函数 的凹的区间是 和 ，凸的区间是 .
【小问 2 详解】
，
在区间 上图象是凹的， ，即 .
所以 ，即 .
令 ，
即函数 在 上单调递减.
所以 ，
因此，实数 的取值范围是 .
【小问 3 详解】
，
构造函数 ，
令 ，解得 ，
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易知函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 ，
因此， ，当且仅当 时取等号.
构造函数 ，
令 ，则 ，
易知函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
因此 ，当且仅当 时取等号.
综上，
【点睛】方法点睛：对于不等式的恒成立问题求参数范围时，关键在于分离参数，将问题转化为最值问题，
从而得出参数的范围.
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