2024~2025学年第二学期福建省部分优质高中高二年级6月联考数学试题（解析版）

这是一份2024~2025学年第二学期福建省部分优质高中高二年级6月联考数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的.）
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的求解以及对数函数的定义域化简两个集合，即可由并集的定义求解.
【详解】由 可得，
故，
故选：B
2. 已知等差数列的前项和为，若，则数列的公差是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合条件根据等差数列前n项和的基本量运算求解即可.
【详解】由题意为等差数列，前项和为，
，得 ，即，
设的公差为，则 ．
故选：B．
3. 已知随机变量服从二项分布，且，则（ ）
A. 10B. 16C. 18D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】应用二项分布的方差，计算求得，结合二项分布的期望计算可得结果.
【详解】因为，解得，
所以，则
故选：D
4. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先将看成一个整体，再结合的形式，利用二项式定理的通项公式求解.
【详解】的通项公式为，
当时，，
中，含项的系数为，
所以展开式中的系数为.
故选：A.
5. Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）
（参考数据：，）
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可．
【详解】由于，所以，
依题意，则，
则，由，
所以，即，
所以所需的训练迭代轮数至少为16次．
故选：C.
6. 已知函数的定义域是，满足，且，，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由和即可推出周期，又即可求解.
【详解】由有，又，
得，即，所以，
所以，所以函数是周期为的周期函数，
由，，，
所以，
故选：B.
7. 随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解概率即可.
【详解】设事件示“自驾”，事件表示“坐公交车”，事件表示“骑共享单车”，事件“表示迟到”，
由题意可知：，，，，
则，，
若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是．
故选：B
8. 有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有，，，，，，，共八个点，一枚棋子起始位置在点处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为. 则棋子前进步，每步从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点，可以循环进行，抛掷三次骰子后，游戏结束.若此时棋子在点处，则游戏过关. 试问游戏结束时过关的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意棋子在点处，可得三次骰子点数之和为或，再利用列举法以及古典概型的概率公式计算可得．
【详解】举出在点数中能够使得三次数字和为或的有：
，，共有7种组合，
前2种组合每种情况可以排列出种结果，共有种结果；
后5种组合各有3种结果，共有种结果，
由分类加法计数原理知，共有种结果；
拋次骰子共有种结果，
故拋掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的概率.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题关键是分析出三次骰子点数之和为或，列出所有可能得组合，在分析相应的排列数，最后由古典概型的概率公式计算.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，有多个选项是符合题意的.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的不得分.）
9. 已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为4
C. 的最大值为2D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用基本不等式计算并判断A，结合常数代换可计算并判断B，C，利用两点间距离公式和点到直线的距离公式可计算并判断D.
【详解】因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最大值为，故A正确；
因为，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为6，故B错误；
因为，当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为2，故C错误；
可以看作直线落在第一象限内的点到原点距离的平方，易知最短距离为，
所以的最小值为，故D正确.
故选：AD.
10. 已知函数.则下列说法正确的是（ ）
A. ，则
B. ，的值域为
C. 当时，有2个不相等的实数根，则
D. 若在上单调递减，则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，将代入，得，再将代入，即可得的值；对于B，画出的图象，即可得到的值域；对于C，当时，，有一个零点，从而只需，即可得到的范围；对于D，只需且 ，即可解得，即可判断.
【详解】对于A，，即，则，得，故A正确；
对于B，，图象如图，由图可知的值域为，故B错误；

对于C，当时，有2个不相等的实数根，当时，，因为，所以此时有一个零点；当时，，所以，解得，故C正确；
对于D，，则在上单调递减，
首先当时，单调递减，则；当时，单调递减成立；还需，解得，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，构造函数，计算即可判断；对于B，写出点处的切线程联立并化简得，而，计算即可判断；对于C，根据斜率相等可得，为两切线的交点代入化简得，再计算可得；对于D，根据，计算即可判断.
【详解】令，则，
故时，递增；时，递减，
所以的极大值，且，，
因为直线与曲线相交于､两点，
所以与图像有2个交点，
所以，故A正确；
设，且，可得，
在点处的切线程为
，得，即，
因，所以，即，故B错误；
因为，所以，
因为为两切线的交点，
所以，
即，所以，
所以，故C正确；
因为，所以，所以，
同理得，得，即，
因为，所以，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：判断B，关键在于根据切线方程联立求得，而两点得斜率即为直线得斜率得，化简可得；判断C，根据斜率相等得，根据在切线上，代入化简计算可得，计算得后即可判断，判断D，关键在于利用不等式进行计算化简即可判断.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】首先求出命题为真时参数的取值范围，再取其补集即可.
【详解】若命题“，使”是真命题，
当时，，解得，舍去；
当时，则，解得，
即当时命题“，使”是真命题；
因为命题“，使”是假命题，
所以，即实数的取值范围是.
故答案为：
13. 随着国家对中小学“双减”政策逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注.某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（，）
若通过计算得，根据小概率值的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为__________.
附：，其中.
【答案】66
【解析】
【分析】根据独立性检验公式列出不等式，进而求解即可.
【详解】因为有95%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，
所以，
即，
因为函数在时单调递增，
且，，，
所以的最小值为16，
所以在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为.
故答案为：66.
14. 项数为的数列满足，当且仅当时（其中,规定：），称为“好数列”．在项数为6且的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据分布乘法求出所有的个数，由0出现的次数讨论数列是“好数列”的个数，利用概率公式计算即可.
【详解】由题意，因为项数为6且，
所以每一项都有两种选择，根据分布乘法计数原理，
可构成的数列个数为个，
由题意，若为“好数列”，则意味着若，其前一项与后一项相等，
①则若中没有0，则数列为，不符合题意，
②若中有1个0，不论0在那个位置，都会出现3个1相邻，不符合题意，
③若中有2个0，则，，符合“好数列”定义；
④若中有3个及以上0，若0相邻，根据定义，数列只能为，
若0不相邻，只能1和0间隔出现，会出现两个0中间出现1，不符合题意，
综上，符合题意的“好数列”只有4个，
所以数列是“好数列”的概率为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解“好数列”的定义，根据题意能列出符合条件的数列.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.

表中，，.
（1）根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型并求出关于的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出两个鱼卵，求取出“死卵”个数为1的概率.
附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据散点图确定模型，代入数据计算即可；
（2）设相应事件，可得相应概率，结合全概率公式计算概率运算求解；
【小问1详解】
根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数图象的周围，
所以适宜作为y与x之间的回归方程模型．
令，则，
则，
所以，所以y关于x的回归方程为．
【小问2详解】
设事件“所取两个鱼卵来自第i批”，
所以，
设事件“所取两个鱼卵有个“死卵”，
则，
由全概率公式，
所以取出“死卵”个数为1的概率为.
16. 已知数列满足，，记，
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）通过数列奇数项的递推关系，利用构造法求得数列相邻两项的比值，证明等比数列.
（2）通过数列的通项公式得的通项公式，进而得的通项公式，分析通项公式得特点，分组求和、错位相减得前项和.
【小问1详解】
证明：因为，，，
所以，
即，，
又，
所以数列是首项为4，公比为2的等比数列.
【小问2详解】
由（1）可知，
所以.
则，
设，其前n项和为，
则，
，
两式相减得，
所以，
所以.
17. 冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼．
（1）已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列
（2）为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率；
（3）经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：．
【答案】（1）分布列见解析
（2）
（3）高二年级学生体能检测合格
【解析】
【分析】（1）由题意有服从超几何分布，利用超几何分布即可求解；
（2）利用条件概率公式即可求解；
（3）利用正态分布的区间即可求解.
【小问1详解】
由题意的可能取值为，
所以，
所以的分布列为
【小问2详解】令事件表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲前2局比赛均获胜”，
所以，
所以，
，
所以；
【小问3详解】
由已知有，所以，
所以，
所以高二年级学生体能检测合格.
18. 已知函数.
（1）若，，求曲线在点处的切线方程；
（2）若是的极大值点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若对恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）若，求出解析式，求导，求出切线方程；（2）根据定义域为，求导，分类讨论，，，满足是的极大值点，求出的取值范围；（3）由（2）可知，且时，，由恒成立，构造，进行求解.
【小问1详解】
若，则，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为.
【小问2详解】
由题意，得的定义域为，，所以.
当时，在区间上，单调递减，
在区间和上，单调递增，
所以是的极大值点，满足条件.
当时，在区间上单调递增，没有极值，不满足条件.
当时，在区间上，单调递减，
在区间和上，单调递增，
是的极小值点，不满足条件.
当时，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，所以是的极小值点，不满足条件.
综上，的取值范围是.
【小问3详解】
由（2）知，，且时，，
所以在上，恒成立，即恒成立，
即恒成立.
设，则.
令，则，当时，，
所以即区间上单调递减，又，
所以，所以在区间上单调递减.
又，所以的取值范围是.
19. 在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球次，红球出现次．假设每次摸出红球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为．
（1）若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为，则．
（注：表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率）
（ⅰ）完成下表，并写出计算过程；
（ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值．
（2）把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值．已知的参数的对数似然函数为，其中．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．
【答案】（1）（ⅰ）表格见解析；过程见解析（ⅱ）；
（2），答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可知，的值为或，根据二项公布的概率公式求解概率填入表格，由表中数据确定的值；
（2）由参数的对数似然函数，利用导数研究单调性，求出最大似然估计，与频率估计的概率比较后下结论.
【小问1详解】
因为袋中这两种颜色球的个数之比为，且，所以的值为或；
（ⅰ）当时，，，
当时，，，
表格如下
（ⅱ）由上表可知．
当或1时，参数的概率最大；当或3时，参数的概率最大．
所以；
【小问2详解】
由，
则，
令，
即，
故，即当时，，
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
即当时，取最大值，故，
因此，用最大似然估计的参数与频率估计概率的是一致的，故用频率估计概率是合理的．
支持
不支持
男生
女生
0.050
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
360
54.4
1360
44
384
3
588
32
6430
1
2
0
1
2
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0
1
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