2025年福建省泉州市鲤城区科技中学中考数学最后一卷（中考模拟）

这是一份2025年福建省泉州市鲤城区科技中学中考数学最后一卷（中考模拟），共29页。
A．﹣3B．0C．﹣4D．|﹣4|
2．（4分）近年来，中国在全球新能源汽车领域占据着重要地位，已连续多年成为全球最大的新能源汽车市场．以下几个新能源汽车车标中，轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）2025年春节期间，南京夫子庙——秦淮风光带累计迎客约3429000人次．用科学记数法表示3429000是（ ）
A．3.429×106B．3.429×103C．3429×103D．3429×106
4．（4分）如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
5．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．2a﹣a＝2B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．（2a3）2＝4a6D．a6÷a3＝a2
6．（4分）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（ ）
A．2kmB．3kmC．23kmD．4km
7．（4分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（ ）
A．x4-12=x6B．x-124=x6
C．6x﹣12＝4xD．4（x﹣12）＝6x
8．（4分）一组数据：2、0、2、4，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
9．（4分）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），则不等式k（x﹣1）+b＞0的解集是（ ）
A．x＞﹣2B．x＞﹣1C．x＞0D．x＞1
10．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当yx（其中xy≠0）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点P（2a﹣4，a+3）在第二象限，下列说法正确的是（ ）
A．a＜﹣3
B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个
D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10
二.填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）若代数式3x-1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（4分）比较大小：-34 -712．（填“＞”“＜”或“＝”号）
13．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD=3，则点D到AC的距离是 ．
14．（4分）某学校把学生的思想素质测试、行为习惯两项成绩分别按60%、40%的比例计入评价总成绩中的一项．小明行为习惯的成绩是81分，若想评价总成绩中这一项不低于90分，则思想素质测试的成绩至少是 分．
15．（4分）某位小朋友利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC＝119°，AB∥DE，∠D＝80°，则∠ACD＝ °．
16．（4分）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为 分米（结果用含根号的式子表示）．
三.解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：|-3|+(-12)0+cs60°-4．
18．（8分）解方程组：2x-y=54x+3y=-10．
19．（8分）先化简，再求值：(a+1-3a-1)÷a+2a-1，其中a=3+2．
20．（8分）做投球实验的装置如图所示．实验时，将小球从M处投入，通过管道落入甲、乙、丙、丁4个盒子．已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的．
（1）若投入一个小球，求它通过管道B的概率．
（2）若投入足够数量的小球直到某个盒子被填满为止，下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①最先填满的是甲盒；
②4个盒子中的小球的数量一样多；
③甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量；
④乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上， ．
请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形BCDE为平行四边形；
（2）若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长．
22．（10分）如图，在△ABC中，CA＝CB，CG⊥AB于点G．点D在△ABC外，连接CD，BD．
（1）尺规作图：在BC的右侧求作一点E，连接AE，CE，使得△ACE≌△BCD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，BD与CG相交于点F，求证：AE，BD，CG相交于一点．
23．（10分）已知实数a，b，c满足a+b+c＜0，4a+c＝2b．
（1）求证：b＜a；
（2）若b2﹣4ac＝1，且c＞0，求b﹣4a的值．
24．（12分）如何设置挡板？
如图①，点A在直线l上，现有一台粒子发射器在A处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与y=-12x2相同，发射出的粒子最终落在l上．若在直线l上的点O处有一块挡板OP，AO＝3，∠AOP＝α，由于挡板OP的遮挡，使得直线l上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为m．（粒子的反弹忽略不计）
【初步体验】
（1）如图②，若OP＝3，α＝90°，则m＝ ．
【数学思考】
（2）如图③，若OP=22，α＝45°，建立适当的平面直角坐标系，求m的值．
【问题解决】
（3）如图④，B是直线l上一点，O是AB的中点，现要使发射的粒子能覆盖OA段的每一处，且落不到OB段．在满足上述要求的所有挡板位置中：
（Ⅰ）直接写出α最小时的tanα的值；
（Ⅱ）直接写出挡板OP的长的最小值．
25．（14分）【问题背景】
已知点A是半径为r的⊙O上的定点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到OE，连接AE，过点A作⊙O的切线l，在直线l上取点C，使得∠CAE为锐角．
【初步感知】
（1）如图1，当α＝60°时，∠CAE＝ °；
【问题探究】
（2）以线段AC为对角线作矩形ABCD，使得边AD过点E，连接CE，对角线AC，BD相交于点F．
①如图2，当AC＝2r时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC＝CD+ED总成立：
②如图3，当AC=43r，CEOE=23时，请补全图形，并求tanα及ABBC的值．
2025年福建省泉州市鲤城区科技中学中考数学最后一卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一.选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（4分）下列四个数中，最小的是（ ）
A．﹣3B．0C．﹣4D．|﹣4|
【答案】C．
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵|﹣4|＝4，
∴﹣4＜﹣3＜0＜4，
∴﹣4＜﹣3＜0＜|﹣4|，
∴最小的数是：﹣4．
故选：C．
2．（4分）近年来，中国在全球新能源汽车领域占据着重要地位，已连续多年成为全球最大的新能源汽车市场．以下几个新能源汽车车标中，轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
3．（4分）2025年春节期间，南京夫子庙——秦淮风光带累计迎客约3429000人次．用科学记数法表示3429000是（ ）
A．3.429×106B．3.429×103C．3429×103D．3429×106
【答案】A．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：3429000＝3.429×106．
故选：A．
4．（4分）如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，
又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，
故选：D．
5．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．2a﹣a＝2B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．（2a3）2＝4a6D．a6÷a3＝a2
【答案】C
【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方与幂的乘方法法则、同底数幂的除法法则解决此题．
【解答】解：A．根据合并同类项法则，2a﹣a＝a，那么A错误，故A不符合题意．
B．根据完全平方公式，（a﹣1）2＝a2+1﹣2a，那么B错误，故B不符合题意．
C．根据积的乘方与幂的乘方，（2a3）2＝4a6，那么C正确，故C符合题意．
D．根据同底数幂的除法，a6÷a3＝a3，那么D错误，故D不符合题意．
故选：C．
6．（4分）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（ ）
A．2kmB．3kmC．23kmD．4km
【答案】D
【分析】直接利用直角三角形的性质得出∠B度数，进而利用直角三角形中30°所对直角边是斜边的一半，即可得出答案．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4（km）．
故选：D．
7．（4分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足，”其大意：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有x个，则可列方程为（ ）
A．x4-12=x6B．x-124=x6
C．6x﹣12＝4xD．4（x﹣12）＝6x
【答案】B
【分析】根据孩童人数不变列方程即可．
【解答】解：设梨有x个，则人数可表示为x-124或x6，
由题意可列方程x-124=x6．
故选：B．
8．（4分）一组数据：2、0、2、4，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【答案】D
【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
【解答】解：A、原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数仍为2，故A不符合题意；
B、原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数仍为2，故B不符合题意；
C、原来数据的众数是2，添加数字2后众数仍为2，故C与不符合题意；
D、原来数据的方差S2=14[(0-2)2+2×(2-2)2+(4-2)2]＝2，
添加数字2后的方差S2=15[(0-2)2+3×(2-2)2+(4-2)2]=85，故方差发生了变化，故D符合题意．
故选：D．
9．（4分）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），则不等式k（x﹣1）+b＞0的解集是（ ）
A．x＞﹣2B．x＞﹣1C．x＞0D．x＞1
【答案】C
【分析】先把（﹣1，0）代入y＝kx+b得b＝k，则k（x﹣1）+b＞0化为k（x﹣1）+k＞0，然后解关于x的不等式即可．
【解答】解：把（﹣1，0）代入y＝kx+b得﹣k+b＝0，解b＝k，
则k（x﹣1）+b＞0化为k（x﹣1）+k＞0，
而k＞0，
所以x﹣1+1＞0，
解得x＞0．
故选：C．
方法二：
一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象向右平移1个单位得y＝k（x﹣1）+b，
∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），
∴一次函数y＝k（x﹣1）+b（k＞0）的图象过点（0，0），
由图象可知，当x＞0时，k（x﹣1）+b＞0，
∴不等式k（x﹣1）+b＞0的解集是x＞0，
故选：C．
10．（4分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若x，y均为整数，则称点P为“整点”，特别地，当yx（其中xy≠0）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”．已知点P（2a﹣4，a+3）在第二象限，下列说法正确的是（ ）
A．a＜﹣3
B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个
C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个
D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10
【答案】C
【分析】根据点P（2a﹣4，a+3）在第二象限得2a﹣4＜0，a+3＞0，解得﹣3＜a＜2，由此可对选项A进行判断；根据“整点”定义得a＝﹣2，﹣1，0，1，进而得当a＝﹣2时，点P（﹣8，1）；当a＝﹣1时，点P（﹣6，2）；当a＝0时，点P（﹣4，3）；当a＝1时，点P（﹣2，4），由此可对选项B进行判断；根据“超整点”的定义得：当a＝1时，点P（﹣2，4）是“超整点”，由此可对选项C进行判断；根据当点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和为6可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：∵点P（2a﹣4，a+3）在第二象限，
∴2a-4＜0a+3＞0，解得：﹣3＜a＜2，
故选项A不正确，不符合题意；
∵点P（2a﹣4，a+3）为“整点”，
∴a为整数，
又∵﹣3＜a＜2，
∴a＝﹣2，﹣1，0，1，
当a＝﹣2时，2a﹣4＝﹣8，a+3＝1，此时点P（﹣8，1）；
当a＝﹣1时，2a﹣4＝﹣6，a+3＝2，此时点P（﹣6，2）；
当a＝0时，2a﹣4＝﹣4，a+3＝3，此时点P（﹣4，3）；
当a＝1时，2a﹣4＝﹣2，a+3＝4，此时点P（﹣2，4）；
∴“整点”P的个数是4个，
故选项B不正确，不符合题意；
根据“超整点”的定义得：当a＝1时，点P（﹣2，4）是“超整点”，
∴点P为“超整点”，则点P的个数为1个，
故选项C正确，符合题意；
当点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和为：|﹣2|+|4|＝6，
故选项D不正确，不符合题意．
故选：C．
二.填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）若代数式3x-1在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥13 ．
【答案】x≥13．
【分析】根据二次根式a（a≥0）可得：3x﹣1≥0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：3x﹣1≥0，
解得：x≥13．
故答案为：x≥13．
12．（4分）比较大小：-34 ＜ -712．（填“＞”“＜”或“＝”号）
【答案】＜．
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
【解答】解：∵-34=-912，
|-912|=912，|-712|=712，
912＞712，
∴-34＜-712．
故答案为：＜．
13．（4分）如图，AD是△ABC的角平分线．若∠B＝90°，BD=3，则点D到AC的距离是 3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由角平分线的性质可求DE＝BD=3，即可求解．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于E，
∵AD是△ABC的角平分线．∠B＝90°，DE⊥AC，
∴DE＝BD=3，
∴点D到AC的距离为3，
故答案为3．
14．（4分）某学校把学生的思想素质测试、行为习惯两项成绩分别按60%、40%的比例计入评价总成绩中的一项．小明行为习惯的成绩是81分，若想评价总成绩中这一项不低于90分，则思想素质测试的成绩至少是 96 分．
【答案】见试题解答内容
【分析】设思想素质测试的成绩为x分，根据加权平均数的定义及题意列不等式，再求解可得答案．
【解答】解：设思想素质测试的成绩为x分．
由题意得x•60%+81×40%≥90，
解得x≥96，
∴思想素质测试的成绩至少为9（6分）．
故答案为：96．
15．（4分）某位小朋友利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知∠BAC＝119°，AB∥DE，∠D＝80°，则∠ACD＝ 19 °．
【答案】19．
【分析】过点C作CF∥AB，先证明CF∥DE，然后根据平行线的性质求出∠ACF＝119°，∠DCF＝100°，最后利用角的和差关系求解即可．
【解答】解：过点C作CF∥AB，如图所示：
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴∠ACF＝∠BAC，∠D+∠DCF＝180°，
又∠BAC＝119°，∠D＝80°，
∴∠ACF＝119°，∠DCF＝100°，
∴∠ACD＝∠ACF﹣∠DCF＝19°．
故答案为：19．
16．（4分）如图，图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知AB⊥CD于点B，AB与水平线l相交于点O，OE⊥l．若BC＝4分米，OB＝12分米，∠BOE＝60°，则点C到水平线l的距离CF为 (6-23) 分米（结果用含根号的式子表示）．
【答案】见试题解答内容
【分析】延长DC交l于点H，连接OC，根据题意及解三角形确定BH=43，OH=83，再由等面积法即可求解．
【解答】解：延长DC交l于点H，连接OC，
在Rt△OBH中，∠BOH＝90°﹣60°＝30°，OB＝12dm，
∴BH=12×tan30°=43（dm），OH=83（dm），
∵S△OBH＝S△OCH+S△OBC，
∴12OB⋅BH=12OH⋅CF+12OB⋅BC，
∴12×43×12=12×83×CF+12×12×4，
∴CF=(6-23)（dm），
故答案为：(6-23)．
三.解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：|-3|+(-12)0+cs60°-4．
【答案】52．
【分析】先化简绝对值、零次幂及特殊角的三角函数、算术平方根，然后计算加减法即可．
【解答】解：|-3|+(-12)0+cs60°-4
=3+1+12-2
=52．
18．（8分）解方程组：2x-y=54x+3y=-10．
【答案】见试题解答内容
【分析】先有①×3+②得出10x＝5，求出x=12，再把x=12代入①求出y即可．
【解答】解：2x-y=5①4x+3y=-10②，
①×3+②得：10x＝5，
解得：x=12，
把x=12代入①得：2×12-y＝5，
解得：y＝﹣4，
所以方程组的解是x=12y=-4．
19．（8分）先化简，再求值：(a+1-3a-1)÷a+2a-1，其中a=3+2．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：(a+1-3a-1)÷a+2a-1
=a2-1-3a-1•a-1a+2
=(a+2)(a-2)a-1•a-1a+2
＝a﹣2，
当a=3+2时，原式=3+2﹣2=3．
20．（8分）做投球实验的装置如图所示．实验时，将小球从M处投入，通过管道落入甲、乙、丙、丁4个盒子．已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的．
（1）若投入一个小球，求它通过管道B的概率．
（2）若投入足够数量的小球直到某个盒子被填满为止，下列说法正确的是 ③④ ．（填写所有正确结论的序号）
①最先填满的是甲盒；
②4个盒子中的小球的数量一样多；
③甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量；
④乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等．
【答案】（1）12；
（2）③④．
【分析】（1）依据题意先用列举法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率；
（2）根据画出树状图，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【解答】解：（1）如图，
将第一层的两个管道分别记为P，Q，小球通过两层管道下落，可能出现的结果共有4种，
即（P，A），（P，B），（Q，B），（Q，C），它们出现的可能性相同．
所有的结果中，满足小球通过管道B（记为事件N）的结果有2种，分别是（P，B），（Q，B），
∴P(N)=12；
（2）如图，
画树状图，
∴落在甲盒的概率为18，落在乙盒的概率为38，落在丙盒的概率为38，落在丙盒的概率为18，
①最先填满的是乙盒或丙盒，原选项错误；
②4个盒子中的小球的数量不一定一样多，原选项错误；
③甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量，原选项正确；
④乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等，原选项正确；
∴③④正确，
故答案为：③④．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上， ①或② ．
请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形BCDE为平行四边形；
（2）若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证明BC∥DE或BE＝CD，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得DE＝BC＝10，再由勾股定理求出AE的长即可．
【解答】解：（1）选择①或②，证明如下：
选择①，∵∠B＝∠AED，
∴BC∥DE，
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形；
选择②，∵AE＝BE，AE＝CD，
∴BE＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形；
故答案为：①或②；
（2）由（1）可知，四边形BCDE为平行四边形，
∴DE＝BC＝10，
∵AD⊥AB，
∴∠A＝90°，
∴AE=DE2-AD2=102-82=6，
即线段AE的长为6．
22．（10分）如图，在△ABC中，CA＝CB，CG⊥AB于点G．点D在△ABC外，连接CD，BD．
（1）尺规作图：在BC的右侧求作一点E，连接AE，CE，使得△ACE≌△BCD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，BD与CG相交于点F，求证：AE，BD，CG相交于一点．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）分别以A，C为圆心，BD，CD为半径作弧，两弧交于点E，连接AE，CE，△ACE即为所求；
（2）如图，设BD交AE于点F′．证明点F′在AB的垂直平分线上且在线段BD上可得结论．
【解答】（1）解：如图，△ACE即为所求；
（2）证明：如图，设BD交AE于点F′．
∵△ACE≌△BCD，
∴∠CBD＝∠CAE，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴∠F′AB＝∠F′BA，
∴F′A＝F′B，
∴点F′在AB的垂直平分线上且在线段BD上，
∵CA＝CB，CG⊥AB，
∴AG＝GB，
∴CG垂直平分线段AB，
∵BD与CG相交于点F，
∴点F在AB的垂直平分线上且在线段BD上，
∴点F，点F′重合，
∴AE，BD，CG相交于一点．
23．（10分）已知实数a，b，c满足a+b+c＜0，4a+c＝2b．
（1）求证：b＜a；
（2）若b2﹣4ac＝1，且c＞0，求b﹣4a的值．
【答案】（1）见解析；（2）1．
【分析】（1）根据题意可得c＝2b﹣4a，结合已知得倒a+b+2b﹣4a＜0，由不等式的性质可得b﹣a＜0，即可证明；
（2）根据a+b+c＜0，c＞0，得到a+b＜0，结合（1）中b﹣a＜0，求出b＜0，再根据4a+c＝2b，c＞0，求出b﹣4a＞﹣b＞0，进而得到b2﹣4ac＝（b﹣4a）2，结合b2﹣4ac＝1，即可求解．
【解答】解：（1）∵4a+c＝2b，a+b+c＜0，
∴c＝2b﹣4a，a+b+2b﹣4a＜0，
∴3b﹣3a＜0，即b﹣a＜0，
∴b＜a；
（2）根据题意可知，a+b＜0，
∵b﹣a＜0，
∴b﹣a+a+b＜0，即b＜0，
∵4a+c＝2b，c＞0，
∴c＝2b﹣4a＞0，
∴b﹣4a＞﹣b＞0，
∵c＝2b﹣4a，
∴b2﹣4ac＝b2﹣4a（2b﹣4a）＝b2﹣8ab+16a2＝（b﹣4a）2，
∵b2﹣4ac＝1，
∴b﹣4a＝1．
24．（12分）如何设置挡板？
如图①，点A在直线l上，现有一台粒子发射器在A处向外连续发射粒子，发射的粒子沿抛物线运动，这些抛物线的开口方向和大小都与y=-12x2相同，发射出的粒子最终落在l上．若在直线l上的点O处有一块挡板OP，AO＝3，∠AOP＝α，由于挡板OP的遮挡，使得直线l上存在粒子未能落到的一段线段，该线段的长记为m．（粒子的反弹忽略不计）
【初步体验】
（1）如图②，若OP＝3，α＝90°，则m＝ 2 ．
【数学思考】
（2）如图③，若OP=22，α＝45°，建立适当的平面直角坐标系，求m的值．
【问题解决】
（3）如图④，B是直线l上一点，O是AB的中点，现要使发射的粒子能覆盖OA段的每一处，且落不到OB段．在满足上述要求的所有挡板位置中：
（Ⅰ）直接写出α最小时的tanα的值；
（Ⅱ）直接写出挡板OP的长的最小值．
【答案】（1）2；
（2）7-26；
（3）（Ⅰ）32；（Ⅱ）22．
【分析】（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线解析式为y=-12(x+3)(x-m)，把P（0，3）代入求解即可；
（2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作PG⊥OA于G，解直角三角形求出PG＝2，OG＝2，则P（﹣2，2），当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为y1，当粒子的轨迹与OP相切（有唯一交点）时，函数图象为y2刚好落在B1处，此时由于OP遮挡，粒子无法落到BB1上，类似（1）可求B（2，0），设B1（n，0），抛物线解析式为y2=-12(x+3)(x-n)，根据待定系数法求出直线OP解析式为y＝﹣x，联立方程组y=-xy=-12(x+3)(x-n)，化简得x2+（1﹣n）x﹣3n＝0根据直线OP与y2的图象有唯一的交点，可得出Δ＝（1﹣n）2﹣4（﹣3n）＝0，求出解得n=26-5，则B1(26-5，0)，即可求解；
（3）（Ⅰ）当OP与y1在点O处相切时，∠AOP 最小，此时y1=-12x(x+3)，设直线OP解析式为y＝kx，联立方程组y=kxy=-12x(x+3)，化简得x2+（3+2k）x＝0，根据直线OP与y1的图象有唯一的交点，可得出Δ＝（3+2k）2＝0，求出k=-32，则y=-32x，然后根据正切定义求解即可；
（Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作PH⊥OA于H，根据正切的定义可求出PH＝OH•tanα，设OH＝p，则PH＝xtanp，则P（﹣p，ptanα），类似（1）求出y2的解析式为y1=-12(x+3)(x-3)=-12x2+92，把P（﹣p，ptanα） 代入求出-12p2+92=ptanα，根据勾股定理得出OP2＝p2+（ptanα）2，则可求OP2=14(p2-7)2+8，然后根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则OB＝m，
∴B（0，m），
∵OA＝3，OP＝3，
∴A（﹣3，0），P（0，3），
设抛物线解析式为y=-12(x+3)(x-m)，
把P（0，3）代入，得3=-12(0+3)(0-m)，
解得m＝2，
故答案为：2；
（2）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作PG⊥OA于G，
∵OP=22，∠AOP＝45°，
∴PG＝OP•sin 45°＝2，OG＝OP•cs45°＝2，
∴P（﹣2，2），
当粒子经过P时，粒子落在B处，轨迹为y1，
当粒子的轨迹与OP相切（有唯一交点）时，函数图象为y2，刚好落在B1处，此时由于OP遮挡，粒子无法落到BB1上，
设B（m，0），
∵y1经过A（﹣3，0）、P（﹣2，2）、B（m，0），
∴设抛物线解析式为y1=-12(x+3)(x-m)，
把P（﹣2，2）代入，得2=-12(-2+3)(-2-m)，
解得m＝2，
∴B（2，0），
设B1（n，0），
∵y2经过A（﹣3，0）、B1（n，0），
∴设抛物线解析式为y2=-12(x+3)(x-n)，
设直线OP解析式为y＝kx，则﹣2k＝2，解得k＝﹣1，
∴y＝﹣x，
联立方程组y=-xy=-12(x+3)(x-n)，
化简得x2+（1﹣n）x﹣3n＝0，
∵直线OP与y2的图象有唯一的交点，
∴方程x2+（1﹣n）x﹣3n＝0有两个相等的实数根，
即Δ＝（1﹣n）2﹣4（﹣3n）＝0，
解得n＝26-5或n=-26-5（舍去），
∴B1(26-5，0)，
∴BB1=2-(26-5)=7-26，
即m的值为7-26；
（3）（Ⅰ）当OP与y1在点O处相切时，∠AOP 最小，
此时y1=-12x(x+3)，
设设直线OP解析式为y＝kx，
联立方程组y=kxy=-12x(x+3)，
化简得x2+（3+2k）x＝0，
直线OP与y1的图象有唯一的交点，
∴方程x2+（3+2k）x＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（3+2k）2＝0，
解得k=-32，
∴y=-32x，
设P(x，-32x)，
则tanα=-32x-x=32；
（Ⅱ）以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，过P作PH⊥OA于H，
则tanα=tan∠AOP=PHOH，
∴PH＝OH•tanα，
设OH＝p，则PH＝xtanp，
∴P（﹣p，ptanα），
∵AO＝BO＝3，
∴B（3，0），
∴y2的解析式为y2=-12（x+3）（x﹣3）=-12x2+92，
∵点P在y2的图象上，
∴-12p2+92=ptanα，
又OP2＝p2+（ptanα）2，
∴OP2=p2+(-12p2+92)2=14(p2-7)2+8，
∴当p2＝7时，OP2有最小值为8，
∴OP的最小值为8=22．
25．（14分）【问题背景】
已知点A是半径为r的⊙O上的定点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°）得到OE，连接AE，过点A作⊙O的切线l，在直线l上取点C，使得∠CAE为锐角．
【初步感知】
（1）如图1，当α＝60°时，∠CAE＝ 30 °；
【问题探究】
（2）以线段AC为对角线作矩形ABCD，使得边AD过点E，连接CE，对角线AC，BD相交于点F．
①如图2，当AC＝2r时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC＝CD+ED总成立：
②如图3，当AC=43r，CEOE=23时，请补全图形，并求tanα及ABBC的值．
【答案】（1）30；（2）证明过程详见解析；（3）补全图形如图，43，12．
【分析】（1）根据等腰△AOE的角度和切线的性质即可求出∠CAE＝30°；
（2）因为AD＝BC，且AD＝AE+ED，要证BC＝CD+ED，实际要证CD＝AE，根据我们证线段相等的思路：①同一个三角形证等腰②不同三角形证全等，可证△OAE≌△FCD即可；
（3）由AC=43r得tanα=ACOA=43，再作OH⊥AE，证△OEH∽△CED得到EHED=OECE=32，通过设边长，再利用勾股定理表示CD2建立勾股方程即可找到线段之间的关系．
【解答】（1）解：∵α＝60°，OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝α＝60°，
∵AC与圆相切，
∴∠OAC＝90°，
∴∠CAE＝30°．
故答案为：30．
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，AC＝2r，
∴OA＝OE＝CF＝DF＝r，
∵∠OAC＝∠ADC＝90°，
∴∠OAE+∠CAD＝∠ACD+∠CAD，
∴∠OAE＝∠ACD，
∵OA＝OE，CF＝DF，
∴∠OAE＝∠OEA＝∠ACD＝∠CDF，
在△OAE和△FCD中，
∠OEA=∠FDC∠OAE=∠FCDOA=CF，
∴△OAE≌△FCD（AAS），
∴AE＝CD，
∵AD＝AE+ED，
∴BC＝CD+ED．
即无论α在给定的范围内如何变化，BC＝CD+ED总成立．
（3）解：补全图形如图，
∵AC是切线，
∴∠OAC＝90°，
∵AC=43r，
∴tan∠AOC=ACOA=43，
设OA＝3m，则AC=43r=4m，OC＝5m，
∵CEOE=23，OE＝OA＝3m，
∴CE＝2m，OE+CE＝5m＝OC，
即点E在线段OC上，
∴tanα＝tan∠AOC=43．
法一：如图，过O作OH⊥AE，垂足为H，则AH＝EH，
∵∠OHE＝90°＝∠D，∠OEH＝∠CED，
∴△OEH∽△CED，
∴EHED=OECE=32，
设EH＝AH＝3a，则DE＝2a，
∴AD＝AH+EH+ED＝8a，
在Rt△ACD中，CD2＝AC2﹣AD2＝16m2﹣64a2，
在Rt△CED中，CD2＝CE2﹣ED2＝4m2﹣4a2，
∴16m2﹣64a2＝4m2﹣4a2，解得a=55m，
∴BC＝AD=855m，CD=CE2-DE2=455m＝AB，
∴ABBC=455m855m=12．
法二：由OH∥CD，得∠DCE＝∠HOE＝∠CAD，证△CAD∽△ECD，
直接得到CDAD=CEAC=2m4m=12，
∴ABBC=12．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C．
C
A．
D
C
D
B
D
C
C