北京市2024_2025学年高一数学上学期期中检测题含解析

这是一份北京市2024_2025学年高一数学上学期期中检测题含解析，共18页。
1. 若集合{}，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由交集定义可得答案；
【详解】由题可得.
故选：D
2. 若实数a，b满足，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用不等式的性质即可判断.
【详解】由，，
，故A错；
，故C错；
，故D错；
由不等式的性质易知B正确.
故选：B
3. 已知命题，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在性量词命题关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称量词命题与存在性量词命题的关系，可得：
命题的否定是．
故选：D
4. 已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件可得函数在上单调递增，所以自变量的绝对值越大函数值越大，再根据，可得，进而得出结论.
【详解】因为偶函数在区间上单调递减，
所以函数在上单调递增，故自变量的绝对值越大，对应的函数值越大，
又，所以，
故选：.
5. 已知集合，集合，若，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合相等的概念以及集合中元素的互异性求解.
【详解】因为，且集合中，
所以集合中的元素，解得，
又因为，所以，所以或，
若，解得或，
经检验，时，与集合中元素的互异性矛盾，时，满足题意，
若，由上述过程可知，不满足题意；
综上，所以，
故选：A.
6. 已知函数，若，则实数（ ）.
A. B. C. 1D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】求出，再根据，分和两种情况讨论即可得出答案．
【详解】解：，
则，即，
当时，，无解；
当时，，解得，
综上所述，.
故选：A．
7. 若，则“”是 “”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.
【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
8. 已知定义在上的函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于对称B. 的图象关于对称
C. 在单调递增D. 有最小值
【答案】A
【解析】
【分析】利用特殊值可排除B、C，利用函数的性质可确定A、D.
【详解】对于BC，由题意可知：，
显然的图象不关于对称，而，故B、C错误；
对于D，若为有理数，则，显然，函数无最小值，故D错误；
对于A，若是有理数，即互质，则也互质，即，
若无理数，则也为无理数，即，
所以的图象关于对称，故A正确.
下证：互质，则也互质.
反证法：若互质，不互质，不妨设，
则，此时与假设矛盾，所以也互质.
故选：A
【点睛】思路点睛：根据抽象函数的对称性结合互质的定义去判定A、B，而作为抽象函数可以适当选取特殊值验证选项，提高正确率.
9. 已知函数的定义域为，满足，且当时，．若，则t的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由时， ，利用得到，，且，在求得时的解析式，由求解.
【详解】解：当时，，
则在上递增，在上递减，且，
由知：时，，
时，，且在上递增，在上递减，
因为，当时， ，
因为，
所以，
令，解得，
所以满足，的t的最大值是，
故选：C
10. 已知若，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】画出函数图象，结合对称性，数形结合得到，，，求出，得到答案.
【详解】画出的图象，如下，

设，则，
令，解得或0，
因为的对称轴为，由对称性可得，
且，
其中，
因为，所以，
故，
又，故，
.
故选：A
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义即可求得定义域.
【详解】解：由解析式可知，
故函数的定义域为：
12. 已知集合有且仅有两个子集，则实数________
【答案】1或2
【解析】
【分析】若恰有两个子集，则为单元素集，所以关于 的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数的取值范围.
【详解】因为有且仅有两个子集，所以中只有一个元素，
所以有且仅有一解.(1)当时, ，符合题意，(2)当时, ,即，综上,得或.
故答案为： 或.
【点睛】本题考查根据子集与真子集的概念，实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分析法、讨论法和等价转化法的合理运用.
13. 已知,且，则的最小值为__________
【答案】9
【解析】
【分析】把“1”换成，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值
【详解】解：，且，
，当且仅当，时取等号，
的最小值为9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换，属于基础题．
14. 已知奇函数定义域为R，当时， ，则______；若，则实数m的取值范围是______ ．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空，由奇函数定义可得答案；第二空，由奇函数性质可判断单调性，即可得答案.
【详解】第一空，由奇函数定义，；
第二空，注意到在0,+∞上单调递增，
又奇函数在对称区间上单调性相同，则在R上单调递增，
则f4>f1-1m⇒4>1-1m⇒3m+1m>0⇒m3m+1>0，故.
故答案为：；.
15 已知函数给出下列四个结论：
①当时，；
②若存在最小值，则a的取值范围为；
③若存在零点，则a的取值范围为；
④若是减函数，则a的取值范围为．
其中所有正确结论的序号是________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据所给分段函数直接计算求解可判断①，根据分段函数的最小值的求法判断②，分段求函数的零点可判断③，根据分段函数的单调性结合二次函数、一次函数的单调性可求解判断④.
【详解】①当时，，，故①正确；
②当时，有最小值0，此时为减函数，且，无最小值，故无最小值，
当时，无最小值，无最小值，
故无最小值，
当时，为增函数，最小值为，单调递减，所以只需满足，解得或，所以，故②正确；
③令若有解，则，令若有解，则，解得或，综上若存在零点，则a的取值范围为，故③错误；
④若是减函数，则需满足且且，解得或，故④正确.
故答案为：①②④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知集合．
（1）求，；
（2）记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围．
【答案】（1）或，．
（2）或
【解析】
【分析】（1）先通过绝对值不等式的解集为集合，进而可求解；
（2）根据不等式先求解出，然后根据，列出不等式，由此能求出实数的取值范围．
【小问1详解】
由，可得：或，
所以或，
所以或，
所以，
所以．
【小问2详解】
因为关于的不等式的解集为，
解得：，
所以，
又或，
所以或，解得或，
所以实数的取值范围是或.
17. 已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）已知，且在上恒成立，求的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得，求解即可得出答案；
（2）函数，可得二次函数图象的开口向上，且对称轴为，题意转化为，利用二次函数的图象与性质，即可得出答案.
【小问1详解】
解：当时，，
所以，即，解得或，
所以不等式的解集为：；
【小问2详解】
因为，且在上恒成立，
则二次函数图象的开口向上，且对称轴为，
所以在上单调递增，则，
又在上恒成立，转化为，
所以，解得，
故实数的取值范围为.
18. 已知函数．
（1）判断在区间上的单调性，并用定义进行证明；
（2）设，若，，使得，求实数a的取值范围．
【答案】（1）单调递增，证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据函数的单调性定义证明即可；
（2）由函数单调性求出函数值域，若，，使得可转化为值域的包含关系，建立不等式求解即可.
【小问1详解】
在区间上的单调递增，证明如下：
设且，
则，
因为，所以，，，
所以，即，
所以在区间上的单调递增.
【小问2详解】
由（1）知时，，即时，f(x)的值域，
因为当时为减函数，所以，
若，，使得，则,
即，解得，
故实数a取值范围为
19. 已知定义在R上的函数满足：①对任意实数x，y，都有；②对任意．
（1）求；
（2）判断并证明函数的奇偶性；
（3）若，直接写出的所有零点（不需要证明）．
【答案】（1）
（2）为偶函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）令，化简可求出，
（2）令，则，化简后结合函数奇偶性的定义判断即可，
（3）利用赋值求解即可
【小问1详解】
令，则，
，得或，
因为对任意，所以
【小问2详解】
为偶函数
证明：令，则，
得，
所以为偶函数
【小问3详解】
令，则，
因为，所以，
当时，，
当时，，
当时，，
当时， ，
……，
所以
即当时，，
所以函数的零点为
20. 已知关于x的函数．
（1）当时，求在上的最小值；
（2）如果函数同时满足：
①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在函数的定义域内存在区间，使得函数在区间上的值域为．
则我们称函数是该定义域上的“闭函数”．
（i）若关于的函数是“闭函数”，求实数的取值范围；
（ii）判断（1）中是否为“闭函数”？若是，求出的值或关系式；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii），满足.
【解析】
【分析】（1）对于函数，根据对称轴，分类讨论即可；
（2）（i）据闭函数的定义，列出方程组，可得，为方程的二实根，再由二次方程实根的分布，即可得到所求的范围
（ii）由新定义，假设为“闭函数”，讨论的范围，通过方程的解即可判断
【小问1详解】
函数，其对称轴方程为，
当时，在上单调递增，其最小值为；
当时，在上的最小值为；
函数在上的最小值为.
【小问2详解】
（i）∵在递增，
由闭函数的定义知，该函数在定义域内，
存在区间，使得该函数在区间上的值域为，
所以，，
∴为方程的二实根，
即方程在上存在两个不等的实根且恒成立，
令，
∴∴，
解得
∴实数的取值范围．
（ii）对于（1），易知在上为减函数，
①若，递减，若为“闭函数”，
则，
两式相减得，这与矛盾．
②时，若为“闭函数”，则
此时满足条件的存在，
∴时，使得为“闭函数”存在，
③时，若为“闭函数”，则，
消去得，即
解得此时，，且，
∴时，使得为“闭函数”存在，
综上所述，当满足时，为“闭函数”.
21. 设n 为不小于3的正整数，集合，对于集合中的任意元素，记
（Ⅰ）当时，若，请写出满足的所有元素
（Ⅱ）设且，求的最大值和最小值；
（Ⅲ）设S是的子集，且满足：对于S中的任意两个不同元素，有成立，求集合S中元素个数的最大值.
【答案】（1）； （2）的最大值为，当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，； （3）中的元素个数最大值为.
【解析】
【分析】（Ⅰ）结合题意列举可得；（Ⅱ）先根据，得到的关系式，再求解的最值；（Ⅲ）通过对集合的拆分，逐一求解.
【详解】(Ⅰ)满足的元素为
（Ⅱ）记，，
注意到，所以，
所以
因为，所以
所以中有个量的值为1，个量的值为0.
显然
，
当，时，
满足，.所以的最大值为
又
注意到只有时，，否则
而中个量的值为1，个量的值为0
所以满足这样的元素至多有个，
当为偶数时，.
当时，满足，且.
所以的最小值为
当为奇数时，且，这样的元素至多有个，
所以.
当，时，满足，.
所以的最小值为
综上：的最大值为，当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，.
（Ⅲ）中的元素个数最大值为
设集合是满足条件的集合中元素个数最多的一个
记 ，
显然
集合中元素个数不超过个，下面我们证明集合中元素个数不超过个
，则
则中至少存在两个元素
，
因为，所以不能同时为
所以对中的一组数而言，
在集合中至多有一个元素满足同时为
所以集合中元素个数不超过个
所以集合中的元素个数为至多为 .
记 ，则中共个元素，
对于任意的，，.
对，记其中，，
记，
显然，，均有.
记，中的元素个数为，且满足，，均有.
综上所述，中的元素个数最大值为.
【点睛】本题主要考查集合新定义及数论.难度较大，根据集合元素特征及定义的运算规则逐步突破.