北京市2024_2025学年高一数学上学期期中检测试题

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这是一份北京市2024_2025学年高一数学上学期期中检测试题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，则下列说法正确的是（）
A． B． C． D．
2．记命题，则为（）
A．B．C．D．
3．集合的真子集有（）个
A．1B．2C．3D．4
4．已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）
A．B． C．D．
5．下列函数中，在区间上单调递减的是（）
A．B．C．D．
6．“”是“”的（）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
7．已知偶函数在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（）
A．B．
C． D．
8．若函数的值域为，则函数的图象大致是（）
A． B．
C． D．
9．已知函数，则不等式的解集是（）
A．B．
C．D．
10．设，则（）
A． B． C． D．
11．已知函数的定义域为，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
12．设集合是集合的子集，对于，定义给出下列三个结论：
①存在的两个不同子集，使得任意都满足且；
②任取的两个不同子集，对任意都有；
③任取的两个不同子集，对任意都有．
其中所有正确结论的序号是（）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
二、填空题（每题5分，共30分）
13．函数的定义域为________．
14．已知函数，则________．
15．若在上是增函数，能够说明“在上也是增函数”是假命题的一个的解析式________．
16．函数的值域为________．
17．已知下列四个函数：．从中选出两个函数分别记为和，若的图象如图所示，则________．
18．已知函数．若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围为________．
三、解答题（每题12分，共72分）
19．已知集合．
（Ⅰ）若，求集合
（Ⅱ）若，求的取值范围．
20．分别求下列关于的不等式的解集：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
21．为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴．现计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道．设温室的一边长度为米，如图所示．
（I）将两个养殖池的总面积表示为的函数，并写出定义域；
（Ⅱ）当温室的边长取何值时，总面积最大？最大值是多少？
22．已知函数．
（I）当时，直接写出函数的单调递增区间；
（Ⅱ）当时，求函数在区间[1，2]上的最小值．
23．已知是定义在[3，3]上的奇函数，当]时，．
（I）求在（0，3]上的解析式；
（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
24．若集合A具有以下性质：
①；
②若，则，且时，．
则称集合是“好集”．
（I）分别判断集合，有理数集是否是“好集”，并说明理由；
（Ⅱ）设集合是“好集”，求证：若，则；
（Ⅲ）对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由．
命题：若，则必有；
命题：若，且，则必有．
参考答案
一、选择题DACDC，BDBDC，BA
二、填空题
13．或写为14．2 15．（答案不唯一） 16．
17． 18．
三、解答题
19．（I）（1，5]（Ⅱ）
20．（I）
（Ⅱ）时，解集为[2，]；时，解集为；时，解集为[，2]．
21．解：（I）依题意得温室的另一边长为米．
因此养殖池的总面积，
因为，所以．
所以定义域为．
（Ⅱ），
当且仅当，即时上式等号成立，
当温室的边长为30米时，总面积取最大值为1215平方米．
22．解：（1）当时，，
，
由二次函数的性质知，单调递增区间为（，1]，[2，）．或写为（，1），（2，）
（Ⅱ）∵，[1，2]时，
所以，
当，即时，；
当，即时，； ∴．
23．（I）因为是定义在[3，3]上的奇函数，[3，0]时，
，
所以，解得，所以（3，0]时，
当时，，所以，
又，即在上的解析式为，
（Ⅱ）因为时，，
所以可化为，
整理得，
令，根据指数函数单调性可得，所以也是减函数．
所以，所以，故实数的取值范围是[7，）．
24．解：（I）集合不是“好集”．理由是：假设集合是“好集”．
因为，所以．这与矛盾．
有理数集是“好集”．因为，对任意的，有，且时，．
所以有理数集是“好集”．
（Ⅱ）因为集合是“好集”，
所以．若，则，即．所以，即．
（Ⅲ）命题均为真命题．理由如下：
对任意一个“好集”，任取，
若中有0或1时，显然．
下设均不为0，1．由定义可知：．
所以，即．所以．
由（Ⅱ）可得：，即．同理可得．
若或，则显然．
若且，则．
所以．所以．
由（Ⅱ）可得：．
所以．
综上可知，，即命题为真命题．
若，且，则．
所以，即命题为真命题．