2025年高考真题完全解读：数学（北京卷）

这是一份2025年高考真题完全解读：数学（北京卷），共24页。试卷主要包含了题型与题量的变化，知识覆盖与命题特色，难度与计算量的比较，新情境与素养考查，后续命题趋势与复习侧重等内容，欢迎下载使用。

本套试卷依据最新修订的《普通高中数学课程标准》和北京市对于高考命题的整体要求，在考查内容、能力层次、题型分布和难易梯度等方面都进行了较为系统、科学的设计，体现了对学生数学素养与思维能力的综合考查。全卷共包含两大部分：第一部分为选择题，共计10题，合计40分；第二部分为非选择题（填空题与解答题），合计110分；试卷总分150分，考试时长120分钟。与往年北京高考数学试题相比，本卷在结构上延续了“一卷多题、能力立意”的方向，保持了相对稳定的题型设置，如函数与方程、数列与不等式、三角与向量、解析几何、概率与统计以及立体几何等知识模块均有分布，做到了覆盖面广、考查内容均衡。
本次考试与过往试题的主要变化与差异有以下四点：
1、题型与题量的变化
本卷选择题数量依旧为10道，每题4分，总分40分，与近几年的北京卷保持一致。不过，在非选择题部分，填空题位置与解答题的设置更融合，且对知识的交叉考查有了一定程度的加深，提升了问题情境的综合性。
2、知识覆盖与命题特色
试卷中的常规考点如函数的图像变换、数列及其性质、三角恒等变换、解析几何等均有所覆盖，并围绕学生对概念实质与数学方法的掌握情况进行区分度设计。以高考评价体系中的“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”为指导，较好地衔接了高中数学学习的主干知识，也针对北京市学生的学情特点，将选考内容与必修内容做了适度整合，着力考查学生综合运用多种思维模型解决问题的能力。
3、难度与计算量的比较
从整体难度来看，试卷难度层次分明。选择题部分的前4～5题相对基础，便于考生建立信心。而后续部分如几何的综合题与函数题，需要较强的逻辑分析及运算推理能力，题目在计算量与思维量之间取得了平衡。与往年相比，高分段的区分度仍相对明显，中等难度题的比例略有提高，能够更好地检测学生对基础内容的掌握深度与熟练度。
4、新情境与素养考查
试卷中多次出现蕴含现实背景或科技前沿情境的题目，例如关于“大语言模型训练数据量与时间的对数关系”考查了函数与对数运算结合的综合运用；在立体几何中也出现了带有平行多边形、三棱柱、棱锥组合体的复杂空间想象要求。通过这些题目的设置，检验了学生将数学知识运用于实际场景的能力，回应了“学科素养”与“跨学科思维”的培养要求。
与《高考评价体系》《课程标准》的契合度：
1、课程标准要求的落实
试卷充分体现了《普通高中数学课程标准》中对“函数、几何、统计、推理”四大核心知识领域的均衡分配。在函数部分，涉及一次函数与分段函数的图像、三角函数的诱导公式以及对函数单调性、周期性的综合考查；解析几何部分涵盖抛物线、椭圆、双曲线的标准方程与焦点性质；统计与概率部分则突出对实际问题的建模与推断。试题设计在易、中、难层层递进，将数学核心概念、思想与方法多角度呈现，实现了对考纲要求的全面覆盖。
2、强调应用意识和创新精神
北京地区在近年来的高考命题中一直注重联系社会热点、产业创新、科技前沿等元素，并将之与学科关键能力相结合。本套试卷对学生“运用数学知识解决实际问题”提出了更高的期望：如考查极坐标与向量分析、立体几何与平面几何的综合、随机抽样及概率估计等内容，均体现了学生对数学模型的理解与迁移能力，同时也引导学校教学在知识讲授过程中加强实践与探究。
3、对教学与评价的启示
试卷命题追求“双基”与高阶能力并重，要求一方面要扎实做好基础知识、基本技能的训练；另一方面要鼓励学生进行探究式、研究型学习，以便在复杂问题情境下迅速辨明思路。对于学校而言，应依据新课标的理念，着力培养学生综合运用多学科知识的能力与创新意识；对教师而言，应继续丰富教学方式，将数学思想方法（如分类讨论、数形结合、方程思想等）渗透到课堂教学与日常练习之中，为学生未来的学科发展打下坚实的素养基础。
综上所述，北京卷本套真题整体布局合理、梯度清晰，对基础知识与关键能力的考察兼顾得当，注重数学素养的多维度评价：既检验了学生对课标主体内容的掌握情况，也引导学生将所学知识与生活实践相融合，体现了选拔与育人的双重功能。题目的新颖度和开放度有利于激发学生的思考深度和创新意识。对于后续教学，应继续夯实常规知识体系，并在此基础上加强学生对新情境、新题型的分析与应对能力，为未来的数理综合素养培养奠定更为坚实的基础。
1、整体题型结构保持稳定
仍分为选择题、填空题、解答题三大部分，题量与分值配置（10 道选择题、5 道填空题、6 道解答题，共 21 题，总分 150 分）与上一年基本一致。
考查知识点覆盖代数、几何、三角、数列、解析几何、统计和概率等传统模块，题型未发生明显变化，但试题情境设置更加贴近实际应用。
2、情境融合与考查深度有所增强
如第 9 题引入“大语言模型训练数据量”的背景，第 14 题运用“3D 打印机零件”的空间几何场景，第 18 题涉及“统计推断与概率估计”，明显增强了与现实科技热点的结合。
试题在计算与推理的基础上，进一步强调多知识点交叉，如数列与不等式、几何与向量、正弦定理与三角恒等式等融合考查，要求学生具备较强的综合分析能力。
3、对思维与能力要求进一步提升
多题通过建模、数据分析或函数性质研究，考查学生灵活转化和多角度分析问题的能力。
试题的设问更注重过程与细节，往往需要运用严谨的数学语言、逻辑推理与图形转换等手段，鼓励学生在解决问题中体现思维的条理性与创新性。
总之，本卷题型结构虽未发生重大调整，但在情境化设置、综合考查深度、知识交叉度等方面有所提升，考生需要注重联结多知识模块、加强数理思维的综合运用。
1、试卷整体结构
本试卷分为三大题型：
选择题：共 10 小题，第 1～10 题，每小题 4 分，共40 分；
填空题：共 5 小题，第 11～15 题，每小题5 分，共25分；
解答题：共 6 小题，第 16～21 题，共85分。
全卷总分为150分，考试时长为120 分钟。
整体来看，选择题与填空题注重知识点的直接测查与运用，解答题考查理解、综合与推理能力。
2、试题分值与考查内容表
整体来看，本套试卷对高中数学的各知识块均有覆盖，难度分配合理，能区分不同层次考生的能力水平。通过选择、填空、解答题的形式层层深入，较好地考查了考生在概念掌握、技能运用以及综合思维方面的整体水平。
在本次试卷的考查内容中，函数与方程、数列、三角、平面几何与立体几何、解析几何（含抛物线、椭圆、双曲线等）以及统计与概率均有分布。其中，以下几点值得特别关注和总结：
1、回顾审题与知识框架
在遇到集合与复数问题时，一定要明确每个集合或复数所对应的取值范围或模的计算方式。对于集合运算，务必先找出具体元素然后再进行交、并、补等操作。
数列（包括等差数列和等比数列）常与方程或不等式结合出现，解题时可利用数列的通项和基本性质快速锁定公差、公比。
解析几何部分，双曲线、椭圆、抛物线等都要熟悉其标准方程与几何性质，注意不同题型中对焦点、准线、离心率、离心距的灵活考查。
在立体几何与空间向量部分，平行、垂直及距离计算是高频考点，要着重把握“线面平行”“面面平行”的判定与体积运算等知识点。
三角函数部分要格外留意辅助角、正弦定理及余弦定理的运用，以及t=tanθ2等常用技巧在求解三角方程和三角不等式中的灵活应用。
概率与统计题型通常结合对数、对偶事件及分布列等基础概念来考查建模能力。对“抽样统计”类题目做好分类讨论与列出事件概率的过程分析，是提高正确率的关键。
2、常见易错与易混点
容易忽视定义域限制。从而使最终答案超出题意。解函数方程或不等式，要先确保自变量满足D。
三角变形时，常出现符号失误或对函数周期性的忽略，务必在每次解完后做一次简要检验，或先判断函数对应的周期区间。
立体几何中，平面与平面、平面与线的平行或垂直判定常有疏漏，需反复使用向量方法或几何关系进行印证。
统计与概率部分，将“互斥”与“独立”两种情形混为一谈，是常见错误。要注意1-P(A)=P(A)和P(A∩B)=P(A)×P(B)的使用条件是否满足。
3、不同题型的复习重点与答题策略
选择题：先划定可行范围，再用排除法或简易验证。紧扣题干信息，利用最值、特殊值或代入简化是快速定位正确选项的关键。
填空题：注意格式简洁与准确。遇到需要写出所有解的题目，先确立主干思路（如先求出通解或通项），再精细化讨论是否需要剔除不合法解。
解答题：过程规范、逻辑清晰很重要。
①作辅助线或加辅助变量时，要明确标注或说明。
②应用向量或几何方式解决立体问题，建议先画示意图。
③在函数问题及不等式的求解中，强调每一步的理由，用恰当的记号（如令t替代sinx、csx等）简化表达。
④始终关注解的有效性与最终域的匹配。
4、心理调适与考试心态
保持自信与平稳心态：切忌考试前猛攻太难题而丧失信心，也不要一直纠结细微漏洞导致精神紧张。
规律作息、劳逸结合：适当进行体育锻炼，保证睡眠。紧张复习之余可做简单放松训练，例如深呼吸、冥想等。
考试作答时，若遇到一时难以突破的题型，可先做标记，迅速转换到自己更有把握的题目，力争将整体得分最大化。
5、后续命题趋势与复习侧重
从近年来趋势看，考题会持续关注函数模型与实际应用、复合函数不等式、立体几何中线面关系的综合，以及概率统计应用背景题。
建议深挖对数与指数类考题中常见的函数变形、多项式与对数方程混合求解的技巧，结合三角与数列交叉的综合题型。
2025年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出.
【详解】因为，所以，
故选：D.
2. 已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出．
【详解】由可得，，所以，
故选：B.
3. 双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率．
【详解】由得，，所以，
即，所以，
故选：B．
4. 为得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ）
A. 横坐标变成原来的倍，纵坐标不变B. 横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变
C. 纵坐标变成原来的倍，横坐标不变D. 纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变
【答案】A
【解析】
【分析】由，根据平移法则即可解出．
【详解】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象，
故选：A.
5. 已知是公差不为0的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A B. C. 16D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为成等比数列，且，
所以，即，解得或（舍去），
所以.
故选：C.
6. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由基本不等式结合特例即可判断.
【详解】对于A,当时，，故A错误；
对于BD，取，此时，
，故BD错误；
对于C，由基本不等式可得，故C正确.
故选：C.
7. 已知函数的定义域为D，则“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由函数值域概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得，
取，则，充分性成立；
取，，则对任意，一定存在，使得，
取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立；
所以“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.
故选：A.
8. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解.
【详解】函数，
设函数的最小正周期为T，由可得，
所以，即；
又函数在上存在零点，且当时，，
所以，即；
综上，的最小值为4.
故选：C.
9. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（ ）
A. 2B. 4C. 20D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解.
【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为,
由题意，，
，
，
因为，所以，
所以，
所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时.
故选：B.
10. 已知平面直角坐标系中，，，设，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出．
【详解】因为，，
由平方可得，，所以．
，，
所以，
，
又，即，
所以，即，
故选：D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线的几何性质可求的值.
【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故，
故答案为：.
12. 已知，则________；________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值.
【详解】令，则，
又，
故，
令，则，
令，则，故
故答案为：.
13. 已知，且，，写出满足条件的一组________，_________．
【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解.
【详解】因为，，
所以的终边关于轴对称，且不与轴重合，
故且，
即，
故取可满足题设要求；
故答案为：；（答案不唯一）
14. 某科技兴趣小组通过3D打印机的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平行多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，，若，则该多面体的体积为________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，将一半的几何体分割成直三棱柱和四棱锥后结合体积公式可求几何体的体积.
【详解】先证明一个结论：如果平面平面，平面平面，平面，则.
证明：设，， 在平面取一点，，
在平面内过作直线，使得，作直线，使得，
因为平面平面，，故，而，故，
同理，而，故 .
下面回归问题.
连接，因为且，故，同理，，
而，故直角梯形与直角梯形全等，
故，
在直角梯形中，过作，垂足为，
则四边形为矩形，且为以为直角的等腰直角三角形，
故，
平面平面，平面平面，,
平面，故平面，
取的中点为，的中点为，的中点为，连接，
则，同理可证平面，而平面，
故平面平面，同理平面平面，
而平面平面，故平面，
故，故四边形为平行四边形，故.
在平面中过作，交于，连接.
则四边形为平行四边形，且，故，
故四边形为平行四边形，
而平面，
故平面，故平面平面，
而，故，
故几何体为直棱柱，
而，故,
因为，故平面，
而平面，故平面平面，
在平面中过作，垂足为，同理可证平面，
而，故，故，
由对称性可得几何体的体积为，
故答案为：.
15. 关于定义域为的函数，以下说法正确的有________．
①存在在上单调递增的函数，使得恒成立；
②存在在上单调递减的函数，使得恒成立；
③使得恒成立的函数存在且有无穷多个；
④使得恒成立的函数存在且有无穷多个．
【答案】②③
【解析】
【分析】利用反证法可判断①④的正误，构造函数并验证后可判断②③的正误.
【详解】对于①，若存在在上的增函数，满足，
则，即，
故时，，故，
故即，矛盾，故①错误；
对于②，取，该函数为上的减函数且，
故该函数符合，故②正确；
对于③，取，
此时，由可得有无穷多个，
故③正确；
对于④，若存在，使得，
令，则，但，矛盾，
故满足的函数不存在，故④错误.
故答案为：②③
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在中，．
（1）求c；
（2）在以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC的高．
①；②；③面积为．
【解析】
【分析】（1）由平方关系、正弦定理即可求解；
（2）若选①，可得都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理、平方关系求得，，进一步由求得高，并说明此时三角形存在即可；若选③，首先根据三角形面积公式求得，再根据余弦定理可求得，由此可说明三角形存在，且可由等面积法求解.
【小问1详解】
因为，所以，
由正弦定理有，解得；
【小问2详解】
如图所示，若存在，则设其边上的高为，
若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角，
而这是不可能的，所以此时三角形不存在，故边上的高也不存在；
若选②，，由正弦定理有，解得，
此时，，
而，，，
所以，可以唯一确定，
所以此时也可以唯一确定，
这表明此时三角形是存在，且边上的高；
若选③，的面积是，则，
解得，由余弦定理可得可以唯一确定，
进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定，
这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即.
17. 四棱锥中，与为等腰直角三角形，，E为BC的中点．
（1）F为的中点，G为PE的中点，证明：平面PAB；
（2）若平面ABCD，，求AB与平面PCD所成角的正弦值．
【解析】
【分析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明即可；
（2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解.
【小问1详解】
取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，
与为等腰直角三角形且，
不妨设，..
E、F分别为BC、PD的中点，
，且.
，，
，∴四边形FGMN为平行四边形，
，
平面PAB，平面PAB，平面PAB；
【小问2详解】
平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
，
设平面PCD的一个法向量为，
，，
取，，.
设AB与平面PCD所成角为，
则，
即AB与平面PCD所成角的正弦值为.
18. 有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率．
（1）从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率．
（2）从甲、乙两校各随机抽取1人，设X为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及X的数学期望．
（3）若甲校同学掌握这个知识点，则有的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点，则有的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为，乙校学生掌握该知识点的概率为，试比较与的大小（结论不要求证明）
【解析】
【分析】（1）用频率估计概率后可得从甲校随机抽取1人做对该题目的概率；
（2）利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及的分布列，从而可求其期望；
（3）根据题设可得关于的方程，求出其解后可得它们的大小关系.
【小问1详解】
用频率估计概率，从甲校随机抽取1人，做对题目的概率为.
【小问2详解】
设为“从甲校抽取1人做对”，则，，
设为“从乙校抽取1人做对”，则，，
设为“恰有1人做对”，故
依题可知，可取，
，，，
故的分布列如下表：
故.
【小问3详解】
设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”，
因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目，
未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，
故，即，故，
同理有，，故，
故.
19. 已知的离心率为，椭圆上的点到两焦点距离之和为4，
（1）求椭圆方程；
（2）设O为原点，为椭圆上一点，直线与直线，交于A，B．与的面积为，比较与的大小．
【解析】
【分析】（1）根据椭圆定义以及离心率可求出，再根据的关系求出，即可得到椭圆方程；
（2）法一：联立直线方程求出点坐标，即可求出，再根据，即可得出它们的大小关系.
法二：利用直线的到角公式或者倾斜角之间的关系得到，再根据三角形的面积公式即可解出.
【小问1详解】
由椭圆可知，，所以，又，所以，，
故椭圆方程为；
【小问2详解】
联立，消去得，，
整理得，①，
又，所以，，
故①式可化简为，即，所以，
所以直线与椭圆相切，为切点.
设，易知，当时，由对称性可知，．
故设，易知，
联立，解得，
联立，解得，
所以
，
，
故．
法二：不妨设，易知，当时，由对称性可知，．
故设，
联立，解得，
联立，解得，
则，，,
又，所以，
所以
，
，
则，即，
所以.
20. 函数的定义域为，为处的切线．
（1）的最大值；
（2）证明：当时，除点A外，曲线均在上方；
（3）若时，直线过A且与垂直，，分别于x轴的交点为与，求的取值范围．
【解析】
【分析】（1）利用导数判断其单调性，即可求出最大值；
（2）求出直线的方程，再构造函数，只需证明其最小值（或者下确界）大于零即可；
（3）求出直线的方程，即可由题意得到的表示，从而用字母表示出，从而求出范围.
【小问1详解】
设，，
由可得，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值为.
【小问2详解】
因为，所以直线的方程为，即，
设，，
由（1）可知，在上单调递增，而，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，且，
而当时，，所以总有，单调递增
故，从而命题得证；
【小问3详解】
由可设，又，所以，即，
因为直线方程为，易知，
所以直线的方程为,
，.
所以
,由（1）知,当时，，所以,
所以.
21. ，从M中选出n个有序数对构成一列：．相邻两项满足：或，称为k列．
（1）若k列的第一项为，求第二项．
（2）若为k列，且满足i为奇数时，：i为偶数时，；判断：与能否同时在中，并说明；
（3）证明：M中所有元素都不构成k列．
【解析】
【分析】（1）根据新定义即可得解；
（2）假设与能同时在中，导出矛盾，从而得出与不能同时在中的结论；
（3）假设全体元素构成一个列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论.
【小问1详解】
根据题目定义可知，或，
若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中），所以下一项是或；
【小问2详解】
假设二者同时出现在中，由于列取反序后仍是列，故可以不妨设在之前.
显然，在列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从到必定要向下一项走奇数次.
但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从到必定要向下一项走偶数次.
这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中.
【小问3详解】
法1：若中的所有元素构成列，考虑列中形如的项，
这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个，
而，因为只能6由2来，3只能由7来，
横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点，
即对于16个，有12个与之相对应，矛盾．
综上，M中所有元素都无法构成列．
法2：全体元素构成一个列，则.
设，
则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中.
如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目，
所以至多存在一对相邻的项属于.
如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和，
否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时.
从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于；
这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于.
如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况.
这意味着必定存在，使得.
由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）.
但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点，所以，得.
从而有.
这就得到.
再设，.
则同理有.
这意味着.
从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾.
所以全体元素不能构成一个列.
适用省份
北京
题号
分值
题型
考查内容
难易分析
1
4
选择题
集合及其运算（交集），集合元素的求解
容易
2
4
选择题
复数的模与代数运算
容易
3
4
选择题
双曲线标准方程及离心率
容易
4
4
选择题
函数图象的伸缩变换
容易
5
4
选择题
等差数列与等比数列的混合考查
中等
6
4
选择题
不等式与特殊值验证
中等
7
4
选择题
函数值域、充分条件与必要条件
中等
8
4
选择题
三角函数的恒等变换与零点存在性分析
中等
9
4
选择题
对数型函数（训练时间与训练数据量）的变化与增量计算
中等
10
4
选择题
向量几何与坐标运算，点的范围确定
略难
11
5
填空题
抛物线顶点、焦点距离与方程参数求解
容易
12
5
填空题
复合函数求值与换元技巧
中等
13
5
填空题
三角函数值给定条件下的角度求解
中等
14
5
填空题
立体几何多面体体积的综合分析
较难
15
5
填空题
函数单调性与不等式恒成立的综合探讨
较难
16
13
解答题
三角形边角关系、正弦定理、余弦定理及其应用
中等
17
14
解答题
四棱锥的空间几何性质、平面与线段中点连接、向量平行四边形判断
中等
18
13
解答题
概率与统计（独立事件、期望、频率估计概率），对比不同学校答题正确率
中等
19
15
解答题
椭圆方程及焦点性质、直线切椭圆及三角形面积比较
中等
20
15
解答题
函数极值与导数、切线几何、函数图象上下方位置关系、综合求范围
较难
21
15
解答题
数列与坐标网格中“相邻”定义的新型问题，奇偶性与数学归纳分析
困难