2025年北京数学卷高考真题（含答案解析）

这是一份2025年北京数学卷高考真题（含答案解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. (☆☆)集合M={r2Z-1>5}，N={1,2,3}，则MnN= ()
A.{1,2,3}
B.{2,3}
C.{3}
D .
【答案】D
【解析】本题主要考查交集的运算
【分值】 4
2. (☆☆)已知复数 z 满足，则 = ()
A .
B .
C.4
D.8
【答案】B
【解析】本题考查复数的运算和复数的模
【分值】 4
3. (☆☆)双曲线a2-4y2=4的离心率为()
A .
B .
C .
D .
【答案】B
【解析】本题考查双曲线的离心率
:'2-4y2=4
: a=2, c=v5
【分值】 4
4. (☆☆)为得到函数y=9"的图象，只需把函数y=3"的图象上的所有点()
A.横坐标变成原来的倍，纵坐标不变
B.横坐标变成原来的 2 倍，纵坐标不变
C.纵坐标变成原来的倍，横坐标不变
D.纵坐标变成原来的 3 倍，横坐标不变 【答案】A
【解析】本题考查函数图像的伸缩变换
y=3"的图像，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=32"=9"的图 像 ,故选 A
【分值】 4
5. (☆☆)已知{a}是公差不为。的等差数列，，若成等 比数列，则a1= ()
A.-20
C .16
D .18
【答案】C
【解析】本题考查等差数列的通项公式、等比中项的应用 设{an}的公差为d，: d 产0
,
, ,
.'. a10=a1 +9d =-2+9x 2 = 16
故选 C
【分值】 4
6. (☆☆)已知 a>0 ，b>0，则()
A .a2+b2 >2ab
B .
C .a+b>v丽
D .
【答案】C
【解析】本题考查不等式比较大小
A 选项：当a = b时，a2+ = 2ab，故 A 错误
B 选项：取，，，故 B 错误
C 选项：:a-1，，，故 C 正确
D 选项：，，，故 D 错误 故选 C
【分值】 4
7. (☆☆)已知函数 f(x)的定义域为 D，则“函数 f(x)的值域为 R”是“对任意
MeR，存在reD，使得lf(rn)l> M”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】
本题考查充分必要条件的判断
解析：的定义域为
若f(a)的值域为，则对yme R，存在，使得，所以 充分性成立；
反之，若ym e R，，使If(r)l >m，f(ar)的值域不一定为R，
比如f(a:)的值域为[0,+)，必要性不成立
故选 A
【分值】 4
8. (☆☆)设函数f(ac)=sin(u ac)+cs(wsr)(w >0)，若f(z r+T) = f(ar)恒成
立，且f(ar)在上存在零点，则u的最小值为()
A.8 B.6 C.4 D.3
【答案】C
【解析】本题考查三角恒等变换和三角函数的性质 解析：f(ar) =sin(wa)+cs(wa)
-VA sin(r+)
当时，，
在上存在零点， 又.: f(ar+m)=f(ar)，可知T为f(a:)周期的整数倍
即T=kiT, KE Z，，，
,
.". w的最小值为4
故选：C
【分值】 4
9. (☆☆)在一定条件下，某人工智能大语言模型训练 N 个单位的数据量所需 要时间T=klg zN（单位：小时），其中 k 为常数，在此条件下，已知训练数 据量 N 从10b个单位增加到1,024x 10?个单位时，训练时间增加 20 小时；当训 练数据量 N 从1,024x 10'个单位增加到4.096x 10'个单位时，训练时间增加
（单位：小时）()
A .2
B .4
C .20
D .40
【答案】B
【解析】本题考查对数的运算在实际问题中的应用
由题意可得
, , ,
,
, ,
故选：B
【分值】 4
10. (☆☆)已知平面直角坐标系 xOy 中，，，设 C(3,4)，则的取值范围是()
A.[6,14]
B.[6,12]
C.[8,14]
D.[8,12]
【答案】D
【解析】本题考查平面向量的运算，向量的模的取值范围。
,可知 ，
A、B两点在以。为圆心，为半径的圆上，
取AB的中点H，可知IOH =1，,'.H点在以0为圆心，1为半径的圆上。
【分值】 4
二、填空题。
11. (☆)已知抛物线y2=2pac(p>0)的顶点到焦点的距离为 3，则 p= . 【答案】 6
【解析】本题考查抛物线的焦点坐标和几何性质 抛物线y2=2pac(p>0)的顶点为(0,0)
焦点为，，.'. p=6
【分值】 4
12. (☆☆)已知 ，则a=；
= .
【答案】① 1
②15
【解析】本题考查赋值法求二项展开式的系数．
解:令r=0，得a0= 1，
令 ，得 把a0 = 1代入，得
故答案为:①1②15 【分值】 4
13. (☆☆)已知 ，且sin(a+⃞) =sin(a-B)，
,写出满足条件的一组=_ .
【答案】 ，答案不唯一。
【解析】本题考查了两角和与差的正、余弦公式
".-sin(a+B)=sin(a-B)
.". si nac sB+csa sin$= sina cs, B-csa sinF
①
由①,②可知 ,siu940
可取 , ,
故答案为（答案不唯 一）
【分值】 4
14. (☆☆)某科技兴趣小组使用 3D 打印机制作的一个零件可以抽象为如图所 示的多面体，其中 ABCDEF 是一个平行多边形，平面.AFRL平面 ABC，平面
CDrl平面 ABC，AB上B口，AB IEF II RSI ICD，BC II DEI ST IIAF ,若 AB=BC=8 ，AF=CD=4 ，RA=RF=TC=TD=，则该多面体的体积为_ .
【答案】 60
【解析】本题考查了求多面体的体积，考查了利用切割法求体积 ，以及柱体与 锥体的体积公式
.Q为CD中点．
为BF的中点；Q为CD中点．
.
故为梯形的中位线
面RAT上面ABC，且交线为AT :.Rpl面ABCRP ISO IITQ
:v3zx=2vcneesr=2(24+2+4)=60
【分值】 4
15. (☆☆) 关于定义域为 R 的函数 f(x)，以下说法正确的有 .
① 存在在 R 上单调递增的函数 f(x)使得 f(x)+f(2x)=-x 恒成立；
② 存在在 R 上单调递减的函数 f(x)使得 f(x)+f(2x)=-x 恒成立；
③ 使得 f(x)+f(-x)=csx 恒成立的函数 f(x)存在且有无穷多个；
④ 使得 f(x)-f(-x)=csx 恒成立的函数 f(x)存在且有无穷多个 . 【答案】②③
【解析】本题考查函数的性质、抽象函数，以及与量词有关的知识，在判定命 题是否正确时，需要根据函数性质作出合理的推断。
①y=f(r)为R上的单调增函数，f'(r) >0在reR上恒成立，而y=f(2r)，
在上恒成立，
:. If(r)+f(2ar)'=f"(r)+2f"(ar)之0在rR上恒成立，
.'. y=f(ar)+f(2ac)为单调增函数。而v=-r为单调减函数， :. f(ar)+f(2ar) =-1不恒成立，
故①错误。
② 令，
,
,
存在在R上单调递减的函数f(ar)使得f(r)+f(2ar')=-z恒成立，
故②正确。
③ 设，
,
, ③ 正确。
④.令F(ar) =f(ar)-f(-r)，reR，F(-') =f(-)-f(r)， ,
F(r)为奇函数。令，reR，g(-r) =cs(-t)=cs z=g(ar)， .'. g(ac)为偶函数，
"."f(ar)-f(-z) =cs zr恒成立的函数f(ar)存在且有无穷多个是不成立的。
故答案为②③。
【分值】 4
三、解答题。
16.在AAbc中，，as inc=4区 .
(1)求 c；
(2)在以下三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求 BC 的高 .
【答案】 (1)c=6
(2)选②,BC 边上的高为；选③ , BC 边上的高为 . 【解析】本题考查了正、余弦定理和三角形的面积公式
(1)
又
(2)若选①
a=6，由(1)知 c=6，
,
为钝角，则 为钝角
这样的三角形不存在。 若选②
,
这样的三角形是存在的 .
设边上的高为，则
若选③
则 ，
". a"=⃞+c2-2bc csA
【分值】 12
17.四棱锥P-ABC D中， 为等腰直角三角形，LA DC=90e ，
, E 为 BC 的中点 .
(1)F 为 PD 的中点，G 为 PE 的中点，证明 :rc面p ab；
(2)若PA上面ABC D ，PA=PC，求 AB 与面 PCD 所成角的正弦值 . 【答案】（1）见解析
（2）见解析
【解析】（1）证明：取 PA 的中点 N ，PB 的中点 M ，连接 FN 、MN ∵△ ACD 与△ABC 为等腰直角三角形∠ADC=90。， ∠ BAC=90。
不妨设 AD=CD=2， ∴ AC=AB=
∴ BC=4， ∵ E 、F 分别为 BC 、PD 的中点∴ FN=AD=1 ，BE=2， ∴GM=1
∵∠ DAC=45。， ∠ ACB=45。
∴ AD ∥ BC，
∴FN ∥GM
∴四边形 FGMN 为平行四边形
∴FG∥MN
∵FG⊄ 面 PAB ，MNc面 PAB， ∴FG∥面 PAB
（2） ∵ PA⊥面 ABCD， ∴以 A 为原点，AC 、AB 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设 AD=CD=2，则 A(0,0,0) ，B(0,,0) ，C(,0,0)D( , −,0) ，P(0,0, )
设面 PCD 的一个法向量为
【分值】 16
18.有一道选择题考查了一个知识点， 甲 、乙两校各随机抽取 100 人， 甲校有 80 人答对，乙校有 75 人答对，每位同学是否答对相互独立，用频率估计概率 .
(1)从甲校随机抽取 1 人，求这个人做对该题目的概率；
(2)从甲 、乙两校各随机抽取 1 人，设X为做对的人数，求恰有 1 人做对的概率 以及X的数学期望；
(3)若甲校同学掌握这个知识点，则有 100%的概率做对该题目 ，乙校同学掌握 这个知识点，则有 85%的概率做对该题目 ，未掌握该知识点的同学都是从四个 选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为 ，乙校学生掌握 该知识点的概率为pa ，试比较pi与P的大小（结论不要求证明） .
【答案】 (1)
(2)1人做对的概率
(3)B>R
【解析】本题考查了概率 ,数学期望与事件之间的关系 .考查了加权平均数问题 .
(1)甲校随机取 100 人 ,其中有 80 人答对 .用频率估计概率 ,则从甲校随机抽取 1 人 ,这个人答对的概率为事件 A,
(2)由(1)可知 ,乙校中随机抽取 1 人 ,这个人答对题目的概率为事件 B,
:P(B)-品-
.".从甲乙两校各随机抽取 1 人 ,恰有 1 人做对的概率
P(X=1)=P(AB+P(⃞B) =P(A)·P(B+P(习·P(B)
X的可能取值为 0,1,2
.".X的分布列为:
:E(x)-0x+1x元+2x⃞-影
(3)由题意可知 .
R1x100%+(1-B)x-
解得
R X85%+(1-%)x-
解得
.'. P2> P
【分值】 15
19.已知椭圆 E:的离心率为 ，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为
4.
(1)求椭圆方程；
(2)设 O 为原点，为椭圆上一点 ，直线x x+2yy-4=0与y=2
和 y=-2 分别相交于 A 、B 两点，设的面积分别为S和S2 ， 比
较的大小 .
【答案】 (1)
(2)
【解析】本题考查了椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系，涉及到三 角形的面积公式等知识
(1)由题可知，解得
:椭圆方程为
(2)
直线T q十2yy-4=0与直线y=2和y=一2分别交于A，B两点，可得
, 设LAO. M=a，LB OM=B
: M(r, yn)在椭圆上，
,
, ,
,即
【分值】 12
20.函数 f(x)定义域为(-1,+0)，且 f(0)=0， ，f(x)在 A(a,f(a)) 处的切线为 .
(1)求f"(x)的最大值；
(2)证明:当-10，T(r)单调递增 , ,
在(-1,0)恒成立，当tr=a时取等号
当时， 除 A 外，y=f(r)均在上方。
(3)'. la与l1垂直，l1的斜率为，l2的斜率为
,
, 令y=0，，
, 令y-0，，
设
由(1)知，，
在单调递减
":a →0时，t→0，
综上所述，原式的取值范围为
【分值】 15
21.A={1,2,3,4,5,6,7,8}，M={(X, Y)⃞EA, YEA，从M 中选出n构成一
列 :(y, y)…,(xy n) .相邻两项满足 :或
, 称为 K 列 .
(1)若 K 列的第一项为(3,3)，求第二项；
(2)若t为 K 列，且满足 i 为奇数时， ；i 为偶数时，XE(3,4.5,6y； 判断:(3,2)与(4,4)能否同时在t中， 并说明；
(3)证明:M 中所有元素都不构成 K 列 .
【答案】 (1)(6,7)或(7,6)
(2)不能
(3)见解析
【解析】本题考查了数列的新定义，考查了归纳推理能力 .
(1)由题意，可得或
若 K 列的第一项为(3,3)，则第二项为(6,7)或(7,6)
(2)设， 或，
或
即(rx1 +yr x1)与奇偶轮换
即与奇偶性不同，+2与奇偶性相同 .
若(t3, y)=(3,2)，(t, yy)=(4,4)均在t中，
由，tj =4知，i，j均为偶性，与奇偶性相同，
而，奇偶性不同，矛盾，
故(3,2) ，(4,4)不能同时在t中 .
(3)由题知，M 为点集，由(2)知，设M,(ar, y.)，z,Y E{1,2,7,8}， 则(r x1,y x1)E3,4,5,6}，其中M共有4 x 4 = 16个点，
而， 因为 6 由 2 来，3 由 7 来 , 横、纵坐标不能同时相差4，:.Mxi有 12 个点，
即对于 16 个，有 12 个与之相对应，矛盾 . 综上，M 中所有元素都无法构成 K 列 .
【分值】 20